葛愛通

摘 要：應(yīng)試教育下很多課堂教學(xué)常有重解題輕概念的現(xiàn)象發(fā)生，而新課標(biāo)要求高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)要讓學(xué)生體會(huì)概念產(chǎn)生的源頭，親歷概念形成的過程，自主抽象概括形成概念，自覺應(yīng)用概念去解決問題. 這就要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)把握好學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)，設(shè)計(jì)具有導(dǎo)向性、整體性、層次性、探究性、反思性的“問題串”，并圍繞這些“問題串”組織教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在解決問題中感悟數(shù)學(xué)概念逐步形成的過程，理解概念的本質(zhì)，體會(huì)蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)提高提出問題、分析問題、解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；問題情境；問題串；整體性；層次性；探究性

[?] 概念教學(xué)現(xiàn)狀

前不久，筆者在高三復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性時(shí)，給出了這樣一道判斷題：若函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，則f（-x-1）=-f（x+1），這個(gè)結(jié)論正確嗎？全班53名學(xué)生竟有多半學(xué)生回答正確.筆者讓一位學(xué)生說說自己的理由，這位學(xué)生回答說，函數(shù)的奇偶性就是這么定義的！若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則對(duì)于定義域中任意自變量x，都有f（-x）=-f（x）成立. 筆者追問他函數(shù)f（x+1）的自變量是什么？你能用語言敘述一下奇函數(shù)的定義嗎？結(jié)果該生知道自變量為x，但對(duì)于第二個(gè)問題沒答上來. 其實(shí)學(xué)生判斷失誤的關(guān)鍵在于對(duì)奇函數(shù)的定義沒有真正理解，沒有弄清概念的本質(zhì)：互為相反數(shù)的一對(duì)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也互為相反數(shù). 而要弄清這一點(diǎn)，就必須讓學(xué)生在學(xué)習(xí)奇函數(shù)的概念時(shí)，經(jīng)歷由特殊到一般的概念抽象、概括過程. 主要原因在于我們很多教師只重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學(xué)最小化和習(xí)題講解最大化，這樣學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念只知道機(jī)械記憶，死記硬背、不求甚解，并未理解概念的本質(zhì)，直接后果表現(xiàn)為學(xué)生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會(huì)模仿教師解決某些典型例題的題型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情況、新的題目就束手無策.

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出了與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”的基本理念，概念教學(xué)是“雙基”教學(xué)的重要組成部分，如何進(jìn)行好概念教學(xué)？在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本，要讓學(xué)生主動(dòng)去探索，大膽去實(shí)踐，親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程. 為了達(dá)成這一目標(biāo)，筆者認(rèn)為教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要把握好學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)，設(shè)計(jì)具有導(dǎo)向性、整體性、層次性、探究性、反思性的“問題串”，并圍繞這些“問題串”組織教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在解決問題中感悟數(shù)學(xué)概念逐步形成的過程，理解概念的本質(zhì)，體會(huì)蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)提高學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力.

[?] 引入課題的問題情境要有適度性、導(dǎo)向性

《三角函數(shù)的周期性》的引入：

1. 教師先投影詩詞“年年歲歲花相似，歲歲年年人不同”，讓學(xué)生感知生活中周期現(xiàn)象，然后引導(dǎo)學(xué)生舉出類似的例子，并概括出它們的共同特征.

2. 結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線讓學(xué)生感受三角函數(shù)的周期性. 這樣很自然地提出問題：問題1如何用數(shù)學(xué)語言刻畫三角函數(shù)函數(shù)的周期性？

在對(duì)引入課題的問題情境進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，先由學(xué)生熟悉的自然現(xiàn)象入手，過渡到數(shù)學(xué)中的周期現(xiàn)象，接著提出數(shù)學(xué)問題，這樣符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 筆者在研究該課的相關(guān)案例時(shí)，發(fā)現(xiàn)有的教學(xué)設(shè)計(jì)直接從數(shù)學(xué)問題角度提出問題，這樣設(shè)計(jì)未嘗不可，因?yàn)槲覀円惨朴趶臄?shù)學(xué)內(nèi)部挖掘問題，但是由于函數(shù)周期性的高度抽象性，先結(jié)合實(shí)例形象感知周期現(xiàn)象，再探究數(shù)學(xué)中的周期現(xiàn)象更自然合理.

設(shè)置問題情境是為提出數(shù)學(xué)問題服務(wù)的，不能為了情境而情境，經(jīng)歷完眼花繚亂情境后學(xué)生沒有能自主提出問題，這樣的問題情境是失敗的，也就是說在設(shè)置時(shí)沒有考慮問題的導(dǎo)向性，讓學(xué)生經(jīng)歷之后到底想讓學(xué)生產(chǎn)生怎樣的問題.

[?] 概念形成過程中的問題情境要有整體性、層次性、探究性

數(shù)學(xué)問題必須講究整體性，不能是隨意、孤立的，從初始問題開始直到回顧反思為止，應(yīng)當(dāng)是一個(gè)系統(tǒng)、完整的思維整體. 同時(shí)問題還要有層次性、探究性，由淺入深逐步展開讓學(xué)生去探究，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也是學(xué)生思維形成的過程.

問題1：如何用數(shù)學(xué)語言刻畫三角函數(shù)的周期性？

問題2：如果函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，如何用數(shù)學(xué)語言刻畫？

評(píng)析：先由學(xué)生熟悉的正弦函數(shù)進(jìn)行探究，概括出作為周期函數(shù)的兩個(gè)主要特征，再通過問題2加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)特征的認(rèn)識(shí)，由特殊到一般，符合學(xué)生認(rèn)知習(xí)慣，為定義一般函數(shù)的周期性做鋪墊. 上述兩個(gè)問題是為了解決 “如何用數(shù)學(xué)語言刻畫三角函數(shù)的周期性”而設(shè)置的，自上而下體現(xiàn)了統(tǒng)一性，延續(xù)性，并非孤立分散的，這就體現(xiàn)了問題情境的設(shè)置要有整體性.

問題1-1：結(jié)合前面所學(xué)的知識(shí)你能說說正弦函數(shù)有怎樣“周而復(fù)始”的特點(diǎn)嗎？

問題1-2：這個(gè)結(jié)論如何用數(shù)學(xué)等式表示？

問題1-3：上式的成立與x有關(guān)嗎？

評(píng)析：上述三個(gè)小問題是為了解決問題1而設(shè)置的，讓學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)周期性的特點(diǎn)進(jìn)行直觀感知，然后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言對(duì)兩個(gè)特征（任意性、周而復(fù)始）進(jìn)行刻畫，再對(duì)正弦函數(shù)的周期性下一定義，這是概念形成的關(guān)鍵一步，同時(shí)也體現(xiàn)了設(shè)置問題時(shí)的層次性.

[?] 概念形成后要注重反思內(nèi)涵挖掘外延

數(shù)學(xué)概念形成之后，通過具體問題，從概念的內(nèi)涵挖掘外延，引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問題中的作用，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生的對(duì)數(shù)學(xué)概念的鞏固以及能力的形成.

問題4：你怎么理解“定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=f（x）”？從這句話的表述上，你會(huì)聯(lián)想到函數(shù)的哪個(gè)性質(zhì)？

追問1：奇函數(shù)和偶函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)？

追問2：周期函數(shù)的圖象有何特征？

問題5：如何判斷一個(gè)常數(shù)是否為一個(gè)函數(shù)的周期？

（投影）判斷下列說法正確與否，簡述理由.

問題6：一個(gè)周期函數(shù)有多少個(gè)周期？能否舉例說明？

問題7：能說出正切函數(shù)的最小正周期嗎？是不是任何的周期函數(shù)都有最小正周期？

評(píng)析：提出問題4是為了讓學(xué)生深化對(duì)周期函數(shù)概念中兩個(gè)重要特征的理解，同時(shí)和函數(shù)的奇偶性作一比較，這對(duì)學(xué)生理解和掌握周期函數(shù)概念是十分有幫助的. 緊接著“周期函數(shù)的圖象有何特征”的提出就顯得自然了. 設(shè)置問題5，是讓學(xué)生在充分理解定義后形成能力，在解決問題過程中升華學(xué)生思維，提升學(xué)生解決問題的能力是教學(xué)設(shè)計(jì)的根本目標(biāo)所在.問題6既是對(duì)概念的運(yùn)用，也挖掘了概念的外延——最小正周期的定義.

[?] 運(yùn)用概念時(shí)要注意滲透數(shù)學(xué)思想

對(duì)例1的教學(xué)，在解決兩個(gè)問題時(shí)，筆者分別讓學(xué)生思考了兩個(gè)問題，（1）周期函數(shù)圖象有何特征？（2）要求t=10 s時(shí)鐘擺的高度，沒有這部分圖象怎么辦？你能畫出來嗎？如果不畫，你能解決這個(gè)問題嗎？前面對(duì)問題（1）已經(jīng)做了鋪墊，將周期函數(shù)的周而復(fù)始的特征和圖象的重復(fù)出現(xiàn)相聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 問題（2）的作用，一是對(duì)問題1結(jié)論的運(yùn)用，二是將周期函數(shù)“無限”的問題都轉(zhuǎn)化成“有限“的問題去解決，即在一個(gè)周期內(nèi)解決函數(shù)在整個(gè)定義域上的問題，這為下一節(jié)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的學(xué)習(xí)做了鋪墊.

對(duì)于例2的教學(xué)，在學(xué)生知道f（x）=cosx的周期是2π的情況下，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將f（x）=cos2x轉(zhuǎn)化成余弦函數(shù)來求周期，這里體現(xiàn)了化未知為已知的轉(zhuǎn)化化歸思想.

[?] 幾點(diǎn)反思

1. 營造寬松的教學(xué)氛圍，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要把學(xué)生豐富的活動(dòng)設(shè)計(jì)好，結(jié)合問題的需要給學(xué)生創(chuàng)造較多的展示機(jī)會(huì)，其中有討論、交流、思考等多種方式，要讓學(xué)生成為課堂的主體.

2. 問題的設(shè)計(jì)要實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的高立意與低起點(diǎn)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求把三角函數(shù)作為一種描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型來研究. 在建立了三角函數(shù)的概念之后，下面要研究的問題理所當(dāng)然的就是“三角函數(shù)如何刻畫周期性現(xiàn)象？”“刻畫周期性現(xiàn)象的這一數(shù)學(xué)模型有著怎樣的性質(zhì)？”這是教材數(shù)學(xué)研究的基本過程. 問題1的設(shè)計(jì)拉開了本節(jié)課的序幕，同時(shí)也是本節(jié)的核心問題，實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)的高立意. 因此教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要把握教材編寫意圖，理清知識(shí)的起點(diǎn)與發(fā)展，在此基礎(chǔ)上設(shè)置問題情境，這樣的問題使學(xué)生能夠提出問題，從而實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)的低起點(diǎn).

3. 以體現(xiàn)概念本質(zhì)的問題串組織教學(xué)，努力揭示概念的形成過程

結(jié)合本文開始舉的例子，為什么學(xué)生會(huì)對(duì)概念不清、定義不明？因?yàn)閷W(xué)生腦海中僅僅有幾個(gè)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，缺乏對(duì)這些數(shù)學(xué)符號(hào)的具體經(jīng)驗(yàn)感受. 因此有必要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象這一過程，感受概念的本質(zhì)，不能讓數(shù)學(xué)的本質(zhì)淹沒在形式化的海洋里. 本文的教學(xué)設(shè)計(jì)先由正弦函數(shù)入手探究周期性的特點(diǎn)，延后由特殊到一般得出一般周期函數(shù)的定義，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這也是概念的一種獲得方式——概念形成.

4. 從數(shù)學(xué)理論內(nèi)部設(shè)置問題，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神

對(duì)于三角函數(shù)周期性的教學(xué)，有的教學(xué)設(shè)計(jì)是從求值開始的，如：已知函數(shù)f（x）=sinx，求值：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013），隨之提出“正弦函數(shù)有沒有這種周而復(fù)始的現(xiàn)象”的問題. 這樣設(shè)計(jì)是為了讓學(xué)生經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)問題中隱含的“重復(fù)、循環(huán)”的現(xiàn)象，從而認(rèn)為問題的提出顯得自然. 事實(shí)上，正弦函數(shù)有沒有這種周而復(fù)始的現(xiàn)象，在學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式時(shí)已經(jīng)解決了，本課的核心問題應(yīng)該是“如何用數(shù)學(xué)語言刻畫三角函數(shù)的周期性”，因此這樣設(shè)計(jì)是有所偏頗的. 數(shù)學(xué)理論的建立未必一定要從解決實(shí)際問題的需要出發(fā)才顯得合理，而源于數(shù)學(xué)理論內(nèi)部的發(fā)展，也是建立數(shù)學(xué)理論的一種手段，這也有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.

總之，問題的設(shè)計(jì)要考慮多方面的因素，既要把握教材意圖，又要考慮學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，將兩個(gè)方面融合起來.通過問題的解決讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題、分析問題、解決問題，學(xué)會(huì)思維，學(xué)會(huì)運(yùn)用，學(xué)會(huì)反思.