盧焱堯

摘 要：學習統(tǒng)計的核心目標就是發(fā)展學生的統(tǒng)計觀念. 我們的教學過多重視知識點的傳授，對統(tǒng)計知識的考核也局限在知識點的考核. 學生由于沒有經(jīng)歷統(tǒng)計過程，難以形成正確的統(tǒng)計觀念. 觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷.要使學生逐步建立統(tǒng)計觀念，最有效的方法是讓他們真正投入統(tǒng)計活動的全過程中去. 本堂課，筆者以“活動體驗”為主線，以“問題導引”為核心，以“應用感悟”為目標，并力圖通過“提出問題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，進行交流、評價與改進”教學活動環(huán)節(jié)達成教學目標，并讓學生在參與活動中學會統(tǒng)計方法，感受統(tǒng)計思想.

關(guān)鍵詞：活動設計；目標達成；案例

[?] 內(nèi)容和內(nèi)容解析

統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)以及由數(shù)據(jù)分析結(jié)果做出決策的科學. 現(xiàn)代社會是信息化的社會，人們常常需要收集數(shù)據(jù)，根據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價值的信息，做出合理的決策.統(tǒng)計可以為人們制定決策提供依據(jù).

本節(jié)課是普通高中新課程標準實驗教科書《數(shù)學》（必修3）中第二章《統(tǒng)計》第三節(jié)“變量間的相關(guān)關(guān)系”的內(nèi)容.本節(jié)主要是探討利用回歸直線方程對生活中的實際問題進行分析與預測，使學生理解變量間的相關(guān)關(guān)系，增強應用回歸直線方程對實際問題進行分析和預測的意識，同時為選修2-3回歸分析的應用奠定基礎.

“變量間的相關(guān)關(guān)系”一節(jié)教材的教學共分兩個課時：第一課時介紹變量間的相關(guān)關(guān)系，區(qū)分函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系；了解正相關(guān)、負相關(guān)的概念；利用統(tǒng)計抽樣的方法收集生活中變量間的相關(guān)關(guān)系. 第二課時介紹回歸直線的概念、意義；利用最小二乘法推導回歸直線方程的數(shù)學思想；利用回歸直線方程分析預測生活中的實際問題.這一課時的內(nèi)容是一個比較完整的建立回歸直線模型解決實際問題的例子，可以讓學生經(jīng)歷運用回歸直線模型分析、預測實際問題的全過程.

“變量間的相關(guān)關(guān)系”的主要內(nèi)容為采用定性和定量相結(jié)合的方法研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，主要研究線性相關(guān)關(guān)系.主要概念有“相關(guān)關(guān)系”、“散點圖”、“回歸直線和回歸直線方程”、“相關(guān)系數(shù)”等. 研究方法為先繪制散點圖，直觀表示觀測數(shù)據(jù)，定性描述變量間相關(guān)關(guān)系的類型、方向、相關(guān)程度. 然后應用最小二乘法確定變量間相關(guān)關(guān)系的具體表達形式，描述變量間的數(shù)量規(guī)律，并由一個變量的取值去推測另一個變量的取值.

因此，本節(jié)的教學重點是：了解最小二乘法的思想，利用此思想借助適合的信息技術(shù)手段求出回歸方程，并利用回歸直線進行簡單的分析和預測.

[?] 教學目標設置及解析

（一）教學目標

知識與技能目標

1. 根據(jù)散點圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想及回歸方程系數(shù)公式的推導過程.

2. 利用電子表格求出回歸直線的方程并對實際問題進行分析和預測，通過實例加強對回歸直線方程含義的理解.

過程與方法目標

1. 通過啟發(fā)引導，讓學生體會回歸直線是“從整體上看，各點與此直線的距離最小”的直線，并通過類比轉(zhuǎn)化、化繁為簡，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，感受最小二乘法的數(shù)學思想方法；

2. 讓學生全程參與對實際問題中數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、判斷、預測等過程，讓學生真實感受統(tǒng)計思想的應用，培養(yǎng)學生的統(tǒng)計觀念，增強學生對抽樣方法、相關(guān)關(guān)系等統(tǒng)計知識的理解，并培養(yǎng)學生應用回歸直線方程對實際問題進行分析和預測的能力.

3. 通過讓學生參與利用電子表格處理回歸直線方程，降低運算量，增強分析功能，讓學生感受計算機等現(xiàn)代教育技術(shù)在統(tǒng)計中的重要作用.

情感態(tài)度價值觀目標

通過小組合作，探究生活中具有相關(guān)關(guān)系的變量，并利用回歸方程分析、預測變量間的關(guān)系，使學生在親身經(jīng)歷解決實際問題的過程中感知統(tǒng)計思想的應用價值，體會統(tǒng)計對決策的作用，以及統(tǒng)計“源于生活，服務于生活”的理念，并感受到課堂教學與生活應用接軌時帶來的成就和快樂.

（二）目標解析

1. 學生在學習了抽樣方法和相關(guān)關(guān)系后，對生活中具有線性相關(guān)的變量較為關(guān)注，此時調(diào)動學生的積極性，讓學生參與提出問題、收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的全過程，有利于激發(fā)學生學習新知的內(nèi)驅(qū)力，為線性回歸方程的推導，創(chuàng)造良好的學習氛圍.

2. 通過經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)并利用回歸直線分析和預測實際問題的過程，使學生在觀察、分析、探究、歸納、類比等思維活動中獲取新知，這不僅可以提高學生的思維能力，培養(yǎng)學生運用電子表格等信息技術(shù)手段解決實際問題的能力，同時也可以增強學生的應用意識，促進學生良好思維品質(zhì)的形成.

[?] 學生學情分析

1. 在學習本堂課內(nèi)容之前，學生已經(jīng)學習了隨機抽樣的基本方法，基本掌握用樣本數(shù)據(jù)的特征去估計總體數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計思想，會進行簡單統(tǒng)計圖，例如：直方圖、散點圖的制作，了解統(tǒng)計圖在刻畫樣本數(shù)據(jù)特征中的作用及不足，同時通過對上一課時 “變量間的相關(guān)的關(guān)系”學習，學生了解到生活中的眾多變量中除了函數(shù)這一確定性的關(guān)系外，還有許多非確定性的關(guān)系，比如相關(guān)關(guān)系. 研究變量的相關(guān)關(guān)系能幫助我們對變量進行預測、估計，為決策提供相關(guān)的統(tǒng)計依據(jù).

2. 為了達成教學目標中關(guān)于回歸直線是最能體現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系中樣本點“代表性”的直線，如何把這種“代表性”轉(zhuǎn)化為點與線的接近程度，進一步轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，然后通過化繁為簡轉(zhuǎn)化為平行于縱軸的直線上兩點間的距離，最后轉(zhuǎn)化為用最小二乘法求一個二元函數(shù)最小值從而解決回歸直線方程的過程. 這一探究過程是本堂課所體現(xiàn)的數(shù)學思想的核心過程，學生對這一過程的理解在認知上有困難，這需要教師在課堂教學中問題的設計上充分考慮學生的“最近發(fā)展區(qū)”，采取層層遞進的提問方式；在師生的對話中充分關(guān)注和發(fā)現(xiàn)學生的觀點，對學生的發(fā)現(xiàn)給予積極的肯定與評價，讓推導過程水到渠成而不牽強附會.

3. “最小二乘法”作為經(jīng)典的回歸方程估算方法：通過用數(shù)學方法刻畫“從整體上看，各點與此直線的距離最小”這一直觀的幾何描述，并采取合適的數(shù)學處理方法，最終獲得回歸直線，對學生認可統(tǒng)計估算的科學性有很大的幫助.

基于此，如何把“從整體上看，各點與此直線的距離最小”用合適的代數(shù)符號刻畫并化簡，化幾何問題為代數(shù)問題，是順利了解“最小二乘法”思想的前提；而如何化簡復雜的代數(shù)表達式，學生缺乏處理的經(jīng)驗，在計算能力的要求上也較高. 要了解“最小二乘法思想”，接受“由系數(shù)公式得到的線性方程”為回歸方程，理解此方程可作為兩個具有線性相關(guān)關(guān)系變量的代表這一回歸直線概念本質(zhì)，并體現(xiàn)相對于其他估算方法的優(yōu)越性，又必須要求對給出的系數(shù)公式來源進行一定的說理.

4. 知識發(fā)展的要求與學生能力和經(jīng)驗的欠缺成為本節(jié)課將會遇到的最大矛盾. 教學中，要防止兩種傾向：一是直接套用回歸系數(shù)公式求解回歸方程而回避說理過程；二是過多糾纏于數(shù)學刻畫過程，甚至在課堂內(nèi)花大量時間對回歸系數(shù)公式進行證明說理. 這兩種傾向，都脫離了實際情況，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本節(jié)課的教學目標；后者則人為地拔高了教材要求，脫離了本節(jié)課教學要求.

基于以上教學目標，確定本堂課的難點為：如何通過數(shù)學方法刻畫“從整體上看，各點與此直線的距離最小”并在此過程中了解最小二乘法思想. 以及利用相關(guān)統(tǒng)計知識對生活中相關(guān)變量的收集、處理、分析、預測與評價.

[?] 教學策略分析

學習統(tǒng)計的核心目標就是發(fā)展學生的統(tǒng)計觀念. 針對“學生對統(tǒng)計有怎樣的印象”曾經(jīng)做過一次調(diào)查問卷，獲得的信息大致有以下幾類：（1）統(tǒng)計就是分類；（2）統(tǒng)計是計算；（3）統(tǒng)計就是做加法；（4）統(tǒng)計就是填統(tǒng)計表；（5）統(tǒng)計就是畫統(tǒng)計圖，或者是根據(jù)統(tǒng)計圖回答問題……問卷的結(jié)果說明了什么？說明我們對統(tǒng)計知識的教學出現(xiàn)了偏差. 我們的教學過多重視知識點的傳授，對統(tǒng)計知識的考核也局限在知識點的考核. 因此在教學過程中，重點放在有關(guān)數(shù)據(jù)的計算上，學生沒有經(jīng)歷統(tǒng)計過程，難以形成正確的統(tǒng)計觀念. 觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷. 要使學生逐步建立統(tǒng)計觀念，最有效的方法是讓他們真正投入統(tǒng)計活動的全過程中去：提出問題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，進行交流、評價與改進. 在參與活動中學會統(tǒng)計方法，滲透統(tǒng)計思想.

1. 本節(jié)課的內(nèi)容“變量間的相關(guān)關(guān)系”與生活緊密相連，清晰地展現(xiàn)出其應用價值. 基于此，本堂課關(guān)于教學策略的設計，筆者以“活動體驗”為主線，以“問題導引”為核心，以“應用感悟”為目標，以信息技術(shù)為輔助手段組織教學，教學結(jié)構(gòu)流程如下：

2. 本堂課的教學難點是對回歸方程推導過程的理解，為此，筆者通過設計層層遞進、貼近學生“最近發(fā)展區(qū)”的六個問題串，幫助學生理解“回歸直線即從整體上看，各點與此直線的距離最小”這一關(guān)鍵轉(zhuǎn)化，以及將距離由絕對值形式轉(zhuǎn)化為二元二次函數(shù)形式的最小二乘法思想.

3. 為關(guān)注在邏輯推導方面有困難學生的學習熱情，筆者充分調(diào)動這部分學生在數(shù)據(jù)收集、歸納整理以及匯報展示等方面的優(yōu)點，并讓他們與數(shù)據(jù)分析與處理能力較強的學生構(gòu)成學習小組，優(yōu)勢互補，協(xié)作探究.

4. 統(tǒng)計知識的教學不應只局限于數(shù)據(jù)的處理、繁雜的計算，其應用價值只有讓學生參與從問題提出、調(diào)查研究、數(shù)據(jù)收集、分析處理、預測判斷、評價反饋的全過程，學生才能真切地感受統(tǒng)計源于生活、服務生活的價值. 因此在課堂教學中，筆者關(guān)注學生在各個環(huán)節(jié)的表現(xiàn)，并給予團隊綜合評價.

聽課教師評價：

學習統(tǒng)計的核心目標就是發(fā)展學生的統(tǒng)計觀念，觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷. 要使學生逐步建立統(tǒng)計觀念，最有效的方法是讓他們真正投入統(tǒng)計活動的全過程中去.

本堂課，執(zhí)教教師把活動作為貫穿整個教學過程的主線，讓7個研究小組根據(jù)自己的關(guān)注點，聯(lián)系生活實際，提出問題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，進行交流、評價與改進，通過全面參與統(tǒng)計活動，讓學生真切地體會到“變量的線性相關(guān)關(guān)系”在生活中的預測、估計功能.愛因斯坦說過：“純邏輯的思維不可能告訴我們?nèi)魏谓?jīng)驗世界的知識，現(xiàn)實世界的一切知識是始于經(jīng)驗并終于經(jīng)驗的.” 經(jīng)驗性的觀察積累了數(shù)據(jù)，然后從數(shù)據(jù)做出某種判斷，這種活動將有利于發(fā)展學生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新精神.

本堂課的教學難點是回歸直線方程的推導，怎樣將回歸直線是“從整體上看最具有代表性的直線”這一直觀感受轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言來描述并最終運用最小二乘法的數(shù)學思想求解，執(zhí)教教師頗費功夫. 教師為此層層遞進連續(xù)設計了六個問題構(gòu)成的問題串，讓學生在探究問題的過程中感受到了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想的魅力.

本堂課例題的設計，執(zhí)教教師跳出教材的限制，充分利用學生收集的現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)，與學生一起分析、分享、拓展，在溝通與合作的過程中讓學生感受到成功的愉悅. 若是交流的時間再充分一些，智慧的碰撞再多生成一些，則效果會更好.