周海華

摘 要：數(shù)學(xué)文化進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課堂是當(dāng)前的研究重點(diǎn)，數(shù)學(xué)文化的有效滲透在于隱性與顯性兩種方式的結(jié)合. 隱性的數(shù)學(xué)文化借助于數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)故事來呈現(xiàn)，可以激活學(xué)生的思維、吸引學(xué)生的注意力；隱性的數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)，可以讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)文化的視角，借助于數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法去解決問題. 兩種方式的并行，可以讓數(shù)學(xué)文化真正成為數(shù)學(xué)課堂上的有效因素.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；有效滲透

數(shù)學(xué)文化已經(jīng)成為近年來數(shù)學(xué)教育界的一個(gè)熱詞，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化已經(jīng)成為當(dāng)下教學(xué)的一種時(shí)尚，尤其是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于應(yīng)試壓力的頑強(qiáng)存在，故帶有數(shù)學(xué)文化的課堂常常成為應(yīng)試氛圍中的一道亮麗的風(fēng)景線. 從教學(xué)思路來看，數(shù)學(xué)文化的滲透常常有顯性和隱性兩種，前者在課堂上引入諸多數(shù)學(xué)文化事例或者故事，從而讓學(xué)生能夠沐浴在一種文化氛圍當(dāng)中，而后者常常將數(shù)學(xué)文化發(fā)展的歷史主線隱性地作為課堂上學(xué)生思維的主要思路，從而可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)文化的隱性影響中獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升. 而從教學(xué)實(shí)際來看，高中數(shù)學(xué)課堂上的文化因素呈現(xiàn)并不令人樂觀，一個(gè)重要原因就在于過于重視顯性的所謂文化存在，而忽視了隱性的數(shù)學(xué)文化的精髓. 因此，數(shù)學(xué)文化的有效滲透就成為一個(gè)重要的研究課題，對(duì)此筆者也進(jìn)行了不懈的研究.

[?] 數(shù)學(xué)文化的顯性依附

根據(jù)一般認(rèn)識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)課堂上的文化都是依附于數(shù)學(xué)史或者數(shù)學(xué)故事而存在的，因此數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)故事常常是數(shù)學(xué)文化的顯性依附，在課堂上提供這一類素材，既可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力，也可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解程度. 以“數(shù)列”（人教版高中數(shù)學(xué)，必修5）的教學(xué)為例，筆者搜集了相關(guān)的素材，并結(jié)合教材所給出的史料，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)：

首先，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化的情境：向?qū)W生介紹畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)理論”. 此情境創(chuàng)設(shè)的重點(diǎn)在于激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突：一方面，用小石子來表示數(shù)是一種“輕而易舉”的事情；另一方面，該學(xué)派這種表示數(shù)的方法當(dāng)中又蘊(yùn)涵著重要的數(shù)學(xué)思想. 有學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)質(zhì)疑：用石子表示數(shù)是小孩子都會(huì)的事情，需要跟我們這種高級(jí)知識(shí)分子炫耀嗎？在筆者看來，學(xué)生戲語背后恰恰是筆者所需要的認(rèn)知沖突. 而這種起點(diǎn)較低但目標(biāo)較高的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，也常常受到學(xué)生的喜歡，其最大的益處就是能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之初讓所有的學(xué)生參與進(jìn)來，這對(duì)于關(guān)注學(xué)生全體是非常有幫助的，尤其是對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，通常都需要通過這種方式來降低教學(xué)的起點(diǎn).

其次，教授“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的內(nèi)容中，向?qū)W生介紹高斯計(jì)算1+2+3+…+100的故事，這個(gè)故事學(xué)生耳熟能詳，教師需要強(qiáng)調(diào)的是其中巧妙的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換思想，即將1與100、2與99……聯(lián)系起來，以讓學(xué)生看到高斯分析思路的巧妙轉(zhuǎn)換. 事實(shí)上，在具體的教學(xué)過程中，學(xué)生也常常容易為這一故事所吸引，但是對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，更需要教師做出努力的是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)思想，并進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化.

再次，在上述兩個(gè)顯性數(shù)學(xué)史知識(shí)呈現(xiàn)的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生比較這兩種方法，并嘗試用“形數(shù)”去解決“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的問題. 這個(gè)時(shí)候?qū)W生就會(huì)發(fā)現(xiàn)原來的“簡(jiǎn)單”認(rèn)識(shí)此時(shí)變得不太簡(jiǎn)單！而當(dāng)筆者向?qū)W生闡明畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就是用形數(shù)知識(shí)解決了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題時(shí)，學(xué)生更是感覺到有一點(diǎn)不可思議，于是他們的思維也就會(huì)向前延伸：古人是怎么解決這個(gè)問題的呢？

這個(gè)問題意識(shí)的產(chǎn)生，將本課帶入了有效課堂的大門，學(xué)生的思維由此活躍了起來. 而數(shù)學(xué)文化的滲透也從表面走向了實(shí)質(zhì)！

[?] 數(shù)學(xué)文化的隱性存在

數(shù)學(xué)文化顯然不只是數(shù)學(xué)故事，數(shù)學(xué)文化是隱藏在數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)故事背后的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)視角.因此在上述基礎(chǔ)上，教師應(yīng)當(dāng)從深層次文化的角度去實(shí)施教學(xué)，筆者的實(shí)踐是這樣的：

第一步：基于“形數(shù)”去尋找求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法. 在這一步當(dāng)中，實(shí)際上需要一個(gè)數(shù)形轉(zhuǎn)換，即將高斯思路的純數(shù)學(xué)思考，轉(zhuǎn)換成基于表示數(shù)的小石子的形的思考，筆者借鑒同行的經(jīng)驗(yàn)，利用如圖1所示的形狀來表示等差數(shù)列，然后在此基礎(chǔ)上對(duì)此圖進(jìn)行了引導(dǎo).

經(jīng)過引導(dǎo)，學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)“三角形數(shù)”就是一個(gè)等差數(shù)列，而補(bǔ)上另一個(gè)倒置的三角形之后就形成了一個(gè)平行四邊形，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)這是一個(gè)有著n行、（n+1）列的“平行四邊形數(shù)”，顯然總的點(diǎn)數(shù)（實(shí)際上也就是前n項(xiàng)和）就是n（n+1），那么等差數(shù)列的前n項(xiàng)和就呼之欲出了.

在筆者的課堂上，這一發(fā)現(xiàn)是由學(xué)生自主完成的，學(xué)生在完成之后，對(duì)于“形數(shù)”產(chǎn)生了十分濃厚的興趣，而數(shù)學(xué)教學(xué)所強(qiáng)調(diào)的“數(shù)形結(jié)合”思想也在此得到了汗暢淋漓的體現(xiàn).更重要的是，基于數(shù)學(xué)文化的滲透的教學(xué)，到此還沒有結(jié)束.

第二步：引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，這種數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，這種“三角形數(shù)”與“平行四邊形數(shù)”在數(shù)列知識(shí)的求和當(dāng)中有沒有更巧妙的應(yīng)用？也就是說面對(duì)著“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的問題解決需要，“形數(shù)”能否從另一個(gè)角度發(fā)揮作用？這一問題實(shí)際上是數(shù)學(xué)文化驅(qū)動(dòng)下的深入思考，而學(xué)生在體驗(yàn)了剛才的快樂之后，自然有進(jìn)一步研究的動(dòng)力.

實(shí)際教學(xué)中，筆者跟學(xué)生一起研究探討，而當(dāng)圖2出現(xiàn)在學(xué)生的面前時(shí)，學(xué)生的眼前又是一亮：原來一個(gè)形數(shù)換用不同的視角去看時(shí)，還會(huì)有另一個(gè)思路出來：如圖，總的小石子數(shù)是16，而當(dāng)教師用線隔出小石子之后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其又可以看做1+3+5+7，很顯然，這也是一個(gè)等差數(shù)列，那么如果是n個(gè)小石子組成的正方形矩陣，那總的石子個(gè)數(shù)與此規(guī)律的等差數(shù)列就滿足1+3+5+7+…+2n-1=n2的關(guān)系.

這種關(guān)系的自主發(fā)現(xiàn)，顯然是數(shù)學(xué)思想驅(qū)動(dòng)的結(jié)果，而數(shù)學(xué)思想從哪里來，就是從基于數(shù)學(xué)史演變過來的數(shù)學(xué)事例的分析得來的，筆者以為這是數(shù)學(xué)文化驅(qū)動(dòng)的結(jié)果.

在教學(xué)中曾經(jīng)出現(xiàn)一個(gè)細(xì)節(jié)：當(dāng)筆者向?qū)W生呈現(xiàn)左圖時(shí)，學(xué)生感受到的就是一個(gè)由十六個(gè)點(diǎn)組成的正方形，而當(dāng)筆者最后向?qū)W生呈現(xiàn)右圖時(shí)，學(xué)生忽然發(fā)現(xiàn)原來同樣的十六個(gè)點(diǎn)卻有著不同的理解方式. 而不同的理解方式卻意味著不同的數(shù)學(xué)結(jié)果！這是怎么一回事？而當(dāng)學(xué)生在小組討論中提出這個(gè)問題，并經(jīng)過筆者統(tǒng)一提出后為全班學(xué)生所共同感興趣的話題之后，筆者告訴學(xué)生，這一現(xiàn)象某種程度上講也是數(shù)學(xué)文化的一部分，因?yàn)槲幕粌H僅是文化故事，更指文化當(dāng)中蘊(yùn)涵的思維. 數(shù)學(xué)家用點(diǎn)、線、面、體來描述這個(gè)世界時(shí)，就已經(jīng)意識(shí)到了簡(jiǎn)單的形的變化之后隱含著數(shù)的變化，這樣的講解有助于學(xué)生在數(shù)與形之間建立起恰當(dāng)?shù)穆?lián)系.

需要強(qiáng)調(diào)的是，“形數(shù)”這一概念的背后還包含著更深層次的數(shù)學(xué)思想，這也是需要向?qū)W生傳遞的. 筆者以為，形數(shù)作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念，需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到的是形與數(shù)兩個(gè)基本概念，形是人類認(rèn)知世界最基本的載體，數(shù)是人類在認(rèn)識(shí)過程中的高度抽象，而這恰恰吻合了數(shù)學(xué)發(fā)展的軌跡. 這種認(rèn)識(shí)是需要向?qū)W生傳遞的，常常被數(shù)學(xué)符號(hào)所困擾的高中學(xué)生最容易形成的誤區(qū)就是：高中數(shù)學(xué)只是抽象的圖形與符號(hào)的集合，而事實(shí)上數(shù)學(xué)卻是在以至簡(jiǎn)的語言描述著事物發(fā)展的至繁規(guī)律，這也應(yīng)當(dāng)是高中數(shù)學(xué)文化中的一個(gè)重要理解.

[?] 數(shù)學(xué)文化的呈現(xiàn)方式

反思上述教學(xué)嘗試可以發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)文化要想發(fā)揮驅(qū)動(dòng)學(xué)生積極思維的作用，就必須堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)文化顯性與隱性滲透相結(jié)合的教學(xué)方式，通過顯性的數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)來激活學(xué)生的思維，吸引學(xué)生的注意力，而隱性的數(shù)學(xué)文化作用則在于讓學(xué)生的思維沿著數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)思路去解決問題，這就相當(dāng)于給學(xué)生提供了一個(gè)泳池，可以讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)方法去游泳，從而形成必需的數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)文化的呈現(xiàn)方式還影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解結(jié)果，實(shí)踐表明，即使是對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，必要的顯性教學(xué)也是應(yīng)當(dāng)?shù)?，因?yàn)楦咧须A段的學(xué)生的邏輯思維能力固然較強(qiáng)，但對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解還處于比較稚嫩的水平，文化并沒有真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維主線，因此顯性的文化教學(xué)方式，可以讓學(xué)生以更為明確的態(tài)度去感受數(shù)學(xué)文化的存在. 相比較而言，隱性的文化更多的時(shí)候只適用于對(duì)學(xué)生產(chǎn)生一種潛移默化的作用.

某種程度上講，對(duì)于教學(xué)這一特定行為而言，數(shù)學(xué)文化的呈現(xiàn)方式直接影響著數(shù)學(xué)文化的效果，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中可行的措施就是顯性與隱性相結(jié)合，以使數(shù)學(xué)文化可以在兩種方式相得益彰的作用下發(fā)揮更大效用.