項(xiàng)的
- 高中數(shù)列問題中的“陷阱”
解由等比數(shù)列前n項(xiàng)的和性質(zhì)，得S2,S4-S2,S6-S4也成等比數(shù)列，所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),得S4=28或-21.選D.正解同上解得S4=28或-21.因?yàn)镾4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,所以S4=28.選A.二、討論不全面，掉入“陷阱”例3求和Sn=x+2x2+3x3+…+nxn.錯解由通項(xiàng)公式可以看出該數(shù)列是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，可用錯位相減法求和.正
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年15期2022-09-19
- 求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的幾種途徑
琴求數(shù)列前 n 項(xiàng)的和問題是各類數(shù)學(xué)試卷中的“常客”，是高考數(shù)學(xué)必考的內(nèi)容之一.因此，熟練掌握一些求數(shù)列和的技巧是很有必要的.筆者總結(jié)了三種求數(shù)列的途徑，供大家參考.一、巧用公式法求和一般來講，運(yùn)用公式法解答數(shù)列求和問題，需先找出數(shù)列的通項(xiàng)公式，或者明確數(shù)列的首項(xiàng)、公差、公比、項(xiàng)數(shù)，然后將其代入等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)求和公式或等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)求和公式求解，即可求出數(shù)列的和。例1.解：該問題綜合考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的前
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2021年9期2021-11-19
- 解答數(shù)列求和問題的幾種途徑
把數(shù)列的前 n 項(xiàng)的順序倒過來并相加，其和仍為數(shù)列的前 n 項(xiàng)的和.再將兩個(gè)和式的第一項(xiàng)與第一項(xiàng)、第二項(xiàng)與第二項(xiàng)……相加，得到 .求得 的值，即可求得數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.解答本題，需首先明確 f （x）與f （1- x）之間的關(guān)系，這樣與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和就等于首末兩項(xiàng)之和，便可直接運(yùn)用倒序相加法來求和.二、分組求和分組求和法是指將數(shù)列分成幾個(gè)組，然后分別對每組進(jìn)行求和的方法.運(yùn)用分組求和法解答數(shù)列求和問題的關(guān)鍵在于把數(shù)列中的各項(xiàng)進(jìn)行合理分組.可根據(jù)數(shù)列
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2021年7期2021-11-11
- 也談等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問題
大的是前____項(xiàng)的和.簡解：由已知可得a1+a14＞0，a1+a15＜0，即a7+a8＞0，2a8＜0，故a7＞-a8＞0.公差d＝a8-a7＜0，a7=a1+6d＞0，即a1＞-6d＞0，從而在S1,S2,…中最大的是前7項(xiàng)的和.評注：（1）本題也屬于“a1＞0，d＜0”型.（2）不能認(rèn)為S14最大，因?yàn)殡m然S14＞0,S15＜0，但Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，無法判斷：S1,S2,…,S13均為正，S15及以后各項(xiàng)均為負(fù).（3）本題即使可以得出“S1,S
河北理科教學(xué)研究 2021年1期2021-06-07
- 數(shù)列通項(xiàng)與求和
（n∈N*）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列{am}的前100項(xiàng)的和S100=________.四、解答題10.在①a3=5，a2+a5=6b2；②b2=2，a3+a4=3b3；③S3=9，a4+a5=8b2，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞1），前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q，且a1=b1，d=q，________.（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an+（
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2021年3期2021-03-31
- 用恰當(dāng)?shù)姆椒ń獯饠?shù)列求和問題
丁建國求數(shù)列前n項(xiàng)的和是數(shù)列中常見的一大問題。解答此類問題的方法有很多，如公式法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、并項(xiàng)求和法、錯位相減法等。究其根本，要求數(shù)列前n項(xiàng)的和，需抓住問題的關(guān)鍵，重點(diǎn)分析數(shù)列的通項(xiàng)公式，找到蘊(yùn)含在其中的規(guī)律，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ā＝獯饠?shù)列求前n項(xiàng)和問題的方法雖然很多，不同的題型對應(yīng)的求和方法也各不相同，但是只要把握問題的關(guān)鍵，分析通項(xiàng)公式，就能從中尋找到求和的突破口，找到相應(yīng)的求和方法，使問題順利獲解。（作者單位：江蘇省南通市第二中學(xué)）
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2020年1期2020-09-10
- 解答選擇題的常用辦法
，從而確定正確選項(xiàng)的方法。這種解題方法要求同學(xué)們掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和基本的解題方法。例1.某銀行準(zhǔn)備將40%的資金出資給a，將60%的資金出資給b，其中a可收益10%的年利潤，b可收益35%的年利潤。銀行年終須回籠資金，按照一定的回扣額付給儲戶。為保證銀行年終總利潤在a、b總投資的10%而不超過總投資的15%，那么銀行付給儲戶回扣額的最小值是（）。A。10% B。5% C。5% D。20%分析：假設(shè)a、b總投資資金為x，儲戶回扣率為y，結(jié)合題目中已知信息，
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2020年2期2020-09-10
- 探析等差數(shù)列求和問題
{an}的前n 項(xiàng)的和Sn，而數(shù)列是等差數(shù)列，故可利用等差數(shù)列求和公式求Tn.解法1設(shè){an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則解法2因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，故可設(shè)Sn＝An2＋Bn，則解法1利用基本量法，即在a1，d，an，n，Sn這些量中已知三個(gè)就可以求另外兩個(gè).而解法2利用了等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)，即Sn是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，再采用待定系數(shù)法來求解，也是解此類問題的一種通法，解法2比解法1更簡捷.變式1(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和Sn＝m，前m
高中數(shù)理化 2020年12期2020-08-17
- 一道等比數(shù)列求和題的變式探究
一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的和為48,前2n項(xiàng)的和為60,則前3n項(xiàng)的和為( ).A.83 B.108 C.75 D.63解法1(性質(zhì)法)由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n為等比數(shù)列,即48,60－48,S3n－60成等比數(shù)列,所以122＝48(S3n－60),解得S3n＝63,故選D.點(diǎn)評利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解更簡捷,易錯之處在于誤把Sn,S2n,S3n當(dāng)成等比數(shù)列求解.解法2(特殊值法)令n＝1,由已知條件有a1＝48
高中數(shù)理化 2020年10期2020-08-13
- “二元一次方程組”學(xué)習(xí)指導(dǎo)
并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫作二元一次方程，我們知道，一元一次方程只有一個(gè)解，那么二元一次方程會有多少個(gè)解呢？以x+y=35為例，任意給一個(gè)x的值，y=35-x都有唯一的值相對應(yīng)，這樣可以發(fā)現(xiàn)，二元一次方程有無數(shù)個(gè)解.更有意思的是，我們?nèi)绻堰@個(gè)二元一次方程的每一個(gè)解作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把這些點(diǎn)畫下來，這些點(diǎn)都在同一條直線上.對于方程組x+y=35， 這個(gè)方程組中2x+4y=94，有兩個(gè)未知數(shù)（x和y），含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的
- 數(shù)列與其他知識綜臺問題
數(shù)列｛an｝前n項(xiàng)的和，則的最小值為________.5.在數(shù)列｛an｝中，a1=1，an+2+（-1）n·an=2，前n項(xiàng)和為Sn，則S100=________.6.（2019年北京理科卷）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=-3，S5=-10，則a5=________，Sn的最小值為________.8.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和Sn=（-1）n·n，若對任意正整數(shù)n，（an+1-p）·（an-p）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是______
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2020年5期2020-07-16
- 構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列不等式問題
有二、數(shù)列的前n項(xiàng)的和與f(n)的不等關(guān)系1.f(n)不是常數(shù)若f(n)不是常數(shù)，則把f(n)看成數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和，求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再用作差或?qū)?shù)等方法證明an與bn的大小關(guān)系，最后累加就能得出結(jié)論.而n≥2時(shí)令f(x)=3x+2-2x(x+1)(x≥2)，則有f′(x)=3xln3-4x-2>3x-4x-2.再設(shè)g(x)=3x-4x-2(x≥3)，g′(x)=3xln3-4>3x-4>0(x≥3)，∴g(x)在[3,+)是增函數(shù).但g
數(shù)理化解題研究 2020年1期2020-03-17
- 數(shù)列核心考點(diǎn)測試卷B
數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于( )。A.9 B.10 C.11 D.1210.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式其前n項(xiàng)和為Sn，則S2012等于( )。A.1006 B.2012C.503 D.011.若等比數(shù)列{an}對于一切自然數(shù)n都有，其中S是此數(shù)列的前nn項(xiàng)和，又a1=1，則其公比q為( )。12.如果一個(gè)數(shù)列{an}滿足an+an+1=H(H為常數(shù)，n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為等和數(shù)列，H為公和，Sn是其前n項(xiàng)的和，已
- 全國名校數(shù)列測試題（B卷）
每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列叫作等和數(shù)列,這個(gè)數(shù)叫作數(shù)列的公和。已知等和數(shù)列{an}中,a1=2,公和為5,則a18=( )。A.2 B.-2 C.3 D.-319.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S10=20,S30=140,則S40=( )。A.280 B.300 C.320 D.34020.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,若,且b1+b3=17,b2+b4=68,則d=( )。A.1 B.2 C.3 D.421.
- 掌握性質(zhì)，學(xué)會應(yīng)用
列{an}的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，它的前3m項(xiàng)的和為_____.解析 由性質(zhì)2知，故S3m=210.變式2等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，則它的前5m項(xiàng)的和為_____.解析 由例2得故S3m=210，則故S3m=550.以上幾例可以看出，等差數(shù)列這兩個(gè)優(yōu)美的性質(zhì)在解決相關(guān)問題時(shí)，能大大簡化解題過程，減少運(yùn)算量.鞏固練習(xí)1.若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S8-S3=20，則S11的值為_____.2.等差
新高考·高二數(shù)學(xué) 2019年1期2019-06-28
- 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的拓寬及應(yīng)用
{an}的前10項(xiàng)的和為150， 其中項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)和為120，求第六項(xiàng).3.一等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)的和為10，則前110項(xiàng)的和為( ).A.-90 B.90 C.-110 D. 1104.等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為( ).A.130 B.170 C.210 D.2605.如果等差數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和是2，前9項(xiàng)和是-6，求其前n項(xiàng)的和Sn.6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n
數(shù)理化解題研究 2019年1期2019-02-15
- 構(gòu)造“基本不等式”適用背景的六種變換
表達(dá)式中含變量的項(xiàng)的和取得最小值時(shí)，能湊出這些項(xiàng)的積為定值，或含變量的項(xiàng)的積取得最大值時(shí)，能湊出這些項(xiàng)的和為定值，還須此時(shí)含變量的項(xiàng)恰好相等，從這個(gè)角度來看，基本不等式也是教學(xué)中的難點(diǎn)之一.一、常量逆代二、加幾減幾例2 已知正數(shù)a，b滿足ab-a-b-1=0，求a+b的最小值.變式1 已知正數(shù)x，y滿足3x+2y=xy，求2x+3y的最小值.三、升次拆冪(項(xiàng))變式3 已知正數(shù)x，y滿足x2y=2，求x2+xy的最小值.評注例3及其兩個(gè)變式采取了不同的升次拆
數(shù)理化解題研究 2019年1期2019-02-15
- 掌握性質(zhì)，學(xué)會應(yīng)用
——以等差數(shù)列為例
列｛an｝的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，它的前3m項(xiàng)的和為________．解析由性質(zhì)2知，故S3m=210．變式2等差數(shù)列｛an｝的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，則它的前5m項(xiàng)的和為________．解析由例2得S3m=210，以上幾例可以看出，等差數(shù)列這兩個(gè)優(yōu)美的性質(zhì)在解決相關(guān)問題時(shí)，能大大簡化解題過程，減少運(yùn)算量．鞏固練習(xí)1．若Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，且S8-S3=20，則S11的值為________．2． 等差數(shù)列｛
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2019年1期2019-01-10
- 關(guān)注數(shù)列性質(zhì)，探究數(shù)列問題
數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).思路探究 （1）列出關(guān)于a1，q的方程組能求解嗎？S10，S20- S10，S30- S20是否成等比數(shù)列？用這一性質(zhì)能解決嗎？（2）“奇數(shù)項(xiàng)之和”、“偶數(shù)項(xiàng)之和”的含義是什么？你能使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解嗎？評注 解決本例有兩種思路：用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解，屬通性通法；用性質(zhì)求解，方法靈活，技巧性強(qiáng)，使計(jì)算簡便.等比數(shù)列前n項(xiàng)和還有項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列{a
新高考·高二數(shù)學(xué) 2018年7期2018-11-19
- 談?wù)劻秧?xiàng)求和?？碱}型
互抵消,于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干項(xiàng)之和。常用裂項(xiàng)形式有:例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=2（an-1）（n∈N*）。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)bn=ln an（n∈N*）,試求數(shù)列解析：（1）因?yàn)镾n=2（an-1）,所以當(dāng)n=1時(shí),S1=2（a1-1）=a1,解得a1=2。當(dāng)n＞1時(shí),Sn-1=2（an-1-1）,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,故an=2an-1。所以{an}是以2為首項(xiàng),以2為公比的等
- 華師版“平方差公式”教學(xué)案例
反數(shù)；右邊是相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方.（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2；觀察其計(jì)算的過程，展開式的中間兩項(xiàng)恰好是互為相反數(shù)，合并為零，所以最后的結(jié)果只剩下兩項(xiàng)。概括：（閱讀課本第31頁）平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.其意義是：（1）兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差，這兩數(shù)的平方差；（2）相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式中，有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)是互為相反數(shù)，其相乘的結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方.說明：1.公式中的a、b可以是數(shù)或
中學(xué)課程輔導(dǎo)·教師通訊 2018年14期2018-11-01
- 兩道數(shù)列高考題的解法探析
即相鄰的兩個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為常數(shù)，相鄰兩個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和為等差數(shù)列。因此，對于求該數(shù)列的前60項(xiàng)的和，可考慮分別求前60項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，再相加可得前60項(xiàng)的和。解答如下:解法1:數(shù)列｛an｝滿足 an+1+（-1）nan=2n-1，①所以有:an+2+（-1）n+1an+1=2n+1；②當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，②+①得:a2k+a2k+2=8k；③當(dāng)n=2k-1（k∈N*）時(shí)，②-①得:a2k-1+a2k+1=2；④當(dāng)k=1，3，5，…，29時(shí)，有（
新教育 2018年17期2018-10-08
- 等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用
數(shù)列{an}前m項(xiàng)的和Sm、前n項(xiàng)的和Sn、前p項(xiàng)的和Sp、前q項(xiàng)的和Sq之間,是否也存在著某種等量關(guān)系呢?經(jīng)過探究,得到如下一個(gè)性質(zhì):性質(zhì)：設(shè)Sm,Sn,Sp,Sq分別為等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)的和,前n項(xiàng)的和,前p項(xiàng)的和,前q項(xiàng)的和,且m+n=p+q,則有(p≠q)。證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,可得整理以上兩式,即得結(jié)論。用上述結(jié)論解題,關(guān)鍵在于合理地選擇下標(biāo)m,n,p,q。例1 已知｛an｝為等差數(shù)列,
- 全國名校等差數(shù)列拔高卷(B卷)
一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )。A.13 B.12 C.11 D.1034.在等差數(shù)列{an}中,對任意n∈N*,都有an＞an+1,且a2,a8是方程x2-12x+m=0的兩根,且前15項(xiàng)的和S15=m,則數(shù)列{an}的公差是( )。A.-2或-3 B.2或3C.-2 D.-335.已知函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào),且函數(shù)y=f(x-2)的圖像關(guān)于x=1對稱,若數(shù)列{an}是公差不
- 三角與數(shù)列專題測試卷
此數(shù)列的前800項(xiàng)的和是2013,前813項(xiàng)的和是2000,則其前2018項(xiàng)的和為____。42.已知an=(m2-9)qn-1(n∈N*),q=(e為自然對數(shù)的底數(shù)),若等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。43.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意的n∈N*,f(n)都能被m整除,則m的最大值為____。44.已知數(shù)列{an}滿足對任意的n∈N*,都有an+1-an≤2n,an+2-an≥3·2n成立,則a
- 緊盯關(guān)鍵點(diǎn),玩轉(zhuǎn)環(huán)中環(huán)
31,…的第20項(xiàng)的和為 。解析：第1項(xiàng),有1個(gè)奇數(shù);第2項(xiàng),有3個(gè)奇數(shù);第3項(xiàng),有5個(gè)奇數(shù);……第n項(xiàng),有2n-1個(gè)奇數(shù)。設(shè)前n項(xiàng)的和為Sn,則S1=1,S2=1+3+5+7,S3=1+3+5+7+9+11+13+15+所以第20項(xiàng)的和為S20-S19=204-194=29679。點(diǎn)評：本題類似于例1,可以理解為對數(shù)列進(jìn)行分組處理,先發(fā)現(xiàn)每組數(shù)列的特殊規(guī)律,再進(jìn)行整體處理。同樣需要盯著關(guān)鍵點(diǎn),處理好前后數(shù)列的過渡。點(diǎn)評：本題既類似于前邊兩個(gè)例題,又區(qū)別于
- 麻辣生活（1）
發(fā)消息：首項(xiàng)加末項(xiàng)的和乘以項(xiàng)數(shù)除以二。我問：“你干嗎？”他說：“求和?！惫べY說說我的婚后生活，我月薪1W，但到手里的只有500，哥們兒說，你生活算不錯的了，工資對我來說，只是一條短信……面對疾風(fēng)吧打lol中途點(diǎn)外賣，然后打游戲站起來走動走動，走到門口鬼使神差地就把門迅速打開大喊道：面對疾風(fēng)吧！尷尬的是，外賣小哥驚悚地退后了兩步……取錢剛出國時(shí)去銀行取錢，銀行柜員：How do you like the money？（你想怎么換？）我：I like it v
意林 2018年2期2018-02-01
- 神回復(fù)
短信：“首項(xiàng)加末項(xiàng)的和乘以項(xiàng)數(shù)除以二?！蔽覇枺骸笆裁匆馑?？”神回復(fù)：求和。公交車上老人追打年輕人的事件你怎么看？神回復(fù)：第一次聽說付費(fèi)玩家打不過免費(fèi)玩家的！歷史上有哪些曾經(jīng)地位很高的職業(yè)由于社會的進(jìn)步被淘汰？神回復(fù)：皇帝。你收到的最奇葩的禮物是什么？神回復(fù)：高三，生日是夏天，上課偶爾走神會看到陽光下飛來飛去的蜻蜓，于是給同桌說自己很喜歡蜻蜓。生日那天收到了一盒子，一盒蜻蜓的尸體……高三復(fù)習(xí)時(shí)，一次歷史老師問：“順治皇帝一生都有哪些功績？”神回復(fù)：生了康熙！
高中時(shí)代 2017年9期2017-12-26
- 解題探究活動不能僅僅留下一個(gè)結(jié)論
——談分段求和破解含絕對值項(xiàng)的數(shù)列求和方法
求和破解含絕對值項(xiàng)的數(shù)列求和方法江蘇 王懷學(xué)一、分組分段求和是解決問題的本質(zhì)策略含有絕對值的問題中，首要任務(wù)就是分類討論.對于一個(gè)數(shù)列{an}，如果有些項(xiàng)是正數(shù)，有些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，在求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和的時(shí)候，就需要把正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)分組求解.這是此類問題求解首先要明確的一個(gè)問題.【例1】在等差數(shù)列{an}中，a1gt;0,a10·a11lt;0，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S10=36，前18項(xiàng)的和為S18=12，則數(shù)列{|an|}的前18項(xiàng)的和T18=___
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2017年5期2017-12-14
- 等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)及其推論
前m項(xiàng)、n項(xiàng)和k項(xiàng)的和,則有證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則由前n項(xiàng)和公式,得所以,可得=0.2.兩個(gè)推論推論1設(shè){an}為等差數(shù)列,Sm,Sn分別為前m項(xiàng)、n項(xiàng)的和,則當(dāng)m≠n時(shí),有證明：在公式①中，取k=m+n，整理即得公式②.推論2設(shè){an}為等差數(shù)列,Sm,Sn,Sk,St分別為前m項(xiàng)、n項(xiàng)、k項(xiàng)和t項(xiàng)的和,且m+n=k+t,則當(dāng)m≠n,k≠t時(shí)，有因?yàn)閙+n=k+t，所以Sm+n=Sk+t，整理即得公式③.【評注】公式②和公式③
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2017年4期2017-12-13
- 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例析
公差,S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和,S偶是偶數(shù)項(xiàng)的和,Sn是前n項(xiàng)的和。其中an+1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)。②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí),S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1=S偶=a2+a4+a6+…+a2n=S偶-S奇=nan+1-nan=nd;8.{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為An,Bn,且則:9.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=m,前m項(xiàng)和Sm=n,則前m+n項(xiàng)和Sm+n=-(m+n)。10.求Sn的最值。方法一:因等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)
- 理一理，等差數(shù)列的考點(diǎn)
{an}的前12項(xiàng)的和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和S偶與前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和S奇之比為則公差d=解析:(1)由a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,又S5==5a3=5,故選A。(2)a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,則{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當(dāng)Sn取得最大值時(shí),n=20。(3)由已知an=2n-8可知等差數(shù)列{an}的公差d為2,故{an}是遞增數(shù)
- 數(shù)列必考類型總結(jié)
an},它的前5項(xiàng)的和為34,最后5項(xiàng)的和為146,所有項(xiàng)的和為234,則a7=____解析:(1)由{an}的公差為1,S8=4S4?8a1+28=4(4a1+6)?a1=(2)設(shè)數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1,末項(xiàng)為an,公差為d,則依題意得:結(jié)合題意知Sn==18n=234,解得n=13。從而有a1+a13=36,a7=2.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,S6=4S3,則a4=____。(2)已知等比數(shù)列{an}的首
- 數(shù)列綜合拔高訓(xùn)練（B卷）
數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=( )。A.100 B.99 C.98 D.978.若方程x2-2x+m=0和x2-2x+n=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列,則|m-n|=( )。9.公差不為零的等差數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,若a4=2(a2+a3),則等于( )。10.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,且則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是( )。A.2 B.3 C.4 D.511.明朝數(shù)學(xué)家程大位的
- 巧用函數(shù)思想解決數(shù)列問題
的等差數(shù)列，前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和，問此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？解法1 由題意， >0，d﹤0，故 最大等價(jià)于≥0且 ≤0即 +（n-1）（- ）≥0 且 +n（- ）≤0解之，得6.5≤n≤7.5∴n=7時(shí)，sn最大。解法2 由于 =a +bn為n的二次函數(shù)，由 = ，可知其圖像的對稱軸為n= =7故當(dāng)n=7時(shí)， 取得最值。而由題意， ﹥0，d﹤0.故sn之最值為最大值。解法3 ∵s3=s11，∴3 + d=11 + d∴d=- ﹤0Sn=n（ + d
課程教育研究·新教師教學(xué) 2015年27期2017-09-27
- 利用函數(shù)思想巧解等差數(shù)列問題
、等差數(shù)列中特定項(xiàng)的問題我們假設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其公差為d，首項(xiàng)為a1.則易知其通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）dan=nd+（a1-d），若將an看成n的函數(shù)，我們會發(fā)現(xiàn)an是形如“kn+b”的關(guān)于n的線性函數(shù)，其中k等于公差d.既然是線性函數(shù)，我們知道其上任意的點(diǎn)都是“共線”的，利用這條性質(zhì)我們便可以方便、高效地解決相應(yīng)的類型問題.例1已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a3=7，a15=31，則a17的值為.常規(guī)解法由于{an}為等差數(shù)列，所以有a
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2017年14期2017-07-20
- 等比數(shù)列背景下的一類不定方程問題
r∈N,r≥2)項(xiàng)的和？若存在，請求出該項(xiàng)；若不存在，請說明理由．解法1：假設(shè)存在as，使得as=at1+at2+…+atr(其中t1又s-t2>0,t1-t20，且s-t2,t1-t2,t2-t2,…,tr-t2∈Z，易知(*)式左邊是整數(shù)，右邊不是整數(shù)，故(*)式不成立，與假設(shè)矛盾．因此，數(shù)列{an}中不存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項(xiàng)的和．解法2：假設(shè)存在as，使得as=at1+at2+…+atr，(其中t1因此，數(shù)列{an
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2017年2期2017-03-16
- 論高次方程
系數(shù)定律：任何四項(xiàng)的數(shù)列a1、a2、a3、a4，并且a1、a2、a3為三項(xiàng)的等比數(shù)列，a2、a3、a4為三項(xiàng)的等差數(shù)列（如此數(shù)列稱作等比等差復(fù)合數(shù)列），則（a2×a3）－（a1×a4）= a1×a2×（公比－1）2。舉例如下：例1 1、2、4、6這樣的等比等差數(shù)列，則（2×4）－（1×6）=1×2×（公比2－1）2=1×2×12=2。例2 8、24、72、120這樣的等比等差數(shù)列，則（24×72）－（8×120）=8×24×（公比3－1）2=8×24×22
數(shù)學(xué)大世界 2017年24期2017-02-25
- 帶非線性阻尼的歐拉方程組正規(guī)解的爆破
中帶有非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組的初值問題。當(dāng)初始密度有緊支集時(shí)，利用泛函結(jié)合特征線的方法，證明了在真空情形下帶有形如-αρ|u|θu阻尼項(xiàng)的可壓縮等熵歐拉方程組，其阻尼系數(shù)α為正常數(shù)時(shí)的正規(guī)解在初始數(shù)據(jù)一定大時(shí)必定爆破,其中0＜θ＜1。等熵歐拉方程組；泛函方法；爆破考慮下列n（n≥1）維空間中帶阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組：的Cauchy問題.其初始條件為其中：ρ，u，p分別表示氣體的密度,速度和壓力;狀態(tài)方程為p=Aργ（A＞0）；γ為絕熱指數(shù)（γ＞1）；
華東交通大學(xué)學(xué)報(bào) 2016年6期2016-12-27
- 例談等差數(shù)列兩個(gè)前n項(xiàng)和公式
4 一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)的和為34，最后5項(xiàng)的和為146，所有項(xiàng)的和為234，則它的第七項(xiàng)等于（）A.22B.21C.19D.18解：設(shè)該數(shù)列有n項(xiàng)且首項(xiàng)為a1，末項(xiàng)為an，公差為d，則依題意有（1）+（2）結(jié)合上述性質(zhì)可得a1+an=36，代入（3）有n=13從而有a1+a13=36，點(diǎn)評：依題意能列出3個(gè)方程，若將a1+an作為一個(gè)整體，問題即可迎刃而解。在求a7時(shí)，巧用等差中項(xiàng)的性質(zhì)也值得關(guān)注。知識的靈活應(yīng)用，來源于對知識系統(tǒng)的深刻理
數(shù)學(xué)大世界 2016年10期2016-11-17
- 一維帶阻尼項(xiàng)歐拉方程組的初邊值問題
有界區(qū)間上帶阻尼項(xiàng)的等熵可壓縮歐拉方程組的初邊值問題，利用方程組和邊界條件得到關(guān)于解的高階導(dǎo)數(shù)的邊界條件。當(dāng)初始數(shù)據(jù)在常狀態(tài)平衡解附近的小擾動且滿足邊界的匹配條件時(shí)，運(yùn)用能量估計(jì)的方法，證明該初值問題的經(jīng)典解整體存在且唯一。歐拉方程組；有界區(qū)間；初邊值問題；整體解1 引言和主要結(jié)論的初邊值條件：(2)所以，可以得到初始數(shù)據(jù)的匹配條件為：(4)對于帶阻尼項(xiàng)的歐拉方程組的研究已有很多結(jié)果，一維時(shí)可以研究帶阻尼項(xiàng)的-系統(tǒng)的初值問題和初邊值問題[1-4]，當(dāng)初值是
- 二項(xiàng)式定理
x的非整數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為（ ）A. 72 B. 112 C. 184 D. 256思索 根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，再進(jìn)行整理化簡.由x的指數(shù)為整數(shù)，確定哪幾項(xiàng)是整數(shù)次冪的項(xiàng)，最后計(jì)算出非整數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和.破解 Tr+1=C■■（■）8-r■r=C■■·x■，r=0，1，2，···，8，所以當(dāng)r=0，4，8時(shí)，x的次冪是整數(shù)；且C■■=1，C■■=70，C■■=1. 又二項(xiàng)式展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為28=256，故含x的非整數(shù)次冪的項(xiàng)的
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2015年2期2015-08-03
- 幫你學(xué)習(xí)二元一次方程（組）
并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是_____，這樣的方程叫作二元一次方程.（2）方程組中含有____個(gè)未知數(shù)，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是____，并且通常共有_____個(gè)方程，這樣的方程組叫作二元一次方程組.例1下列方程組是二元一次方程組的是（）.解析：選項(xiàng)A中第一個(gè)方程中x的次數(shù)是____，所以它不是二元一次方程，所以該選項(xiàng)不是二元一次方程組；選項(xiàng)B中的兩個(gè)方程共含有____個(gè)未知數(shù)，所以該選項(xiàng)不是二元一次方程組：選項(xiàng)C中的兩個(gè)方程分母中都含有____，所以兩個(gè)
- 二次函數(shù)圖像的對稱性與滿足Sm=Sn的等差數(shù)列
n-1）d，前n項(xiàng)的和Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n，將Sn看成函數(shù)y，n看成自變量x，這個(gè)二次函數(shù)的解析式有兩個(gè)特性：（1）定義域x∈N*（即n∈N*）；（2）常數(shù)項(xiàng)為0（即函數(shù)圖像過原點(diǎn)）.所以，在等差數(shù)列{an}中，設(shè)前k項(xiàng)的和為Sk，若Sm=Sn（m，n∈N*，且m≠n），則Sm+n=0.對應(yīng)函數(shù)圖像：圖2圖3當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}為遞增數(shù)列時(shí)，d>0，拋物線開口向上，此時(shí)a1=S1<0，如圖2；當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}為遞減數(shù)列
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版) 2015年2期2015-04-07
- 巧用消元 突破難點(diǎn)
） 含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.據(jù)此即可求解.那么，購買每種教學(xué)用具各一件共需多少元？鞏固練習(xí)：1.已知方程組 的解適合x+y=2，則m的值為 .2.若方程組 的解是 ，則方程組的解是 . 經(jīng)歷從“三元”到“二元”、“二元”到“一元”的轉(zhuǎn)化過程，體會消元的思想、化歸思想，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.利用二元一次方程組解決生活中的實(shí)際問題，能將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即能列
初中生世界·七年級 2014年6期2014-08-02
- 淺談數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法實(shí)驗(yàn)
以等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式一節(jié)課為例。課題：“等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式”。研討課題：如何使用實(shí)驗(yàn)教材引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的自我學(xué)習(xí)、探索、發(fā)現(xiàn)和概括？教學(xué)過程：教師：今天，我們學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教材《數(shù)列》第一章的第五課“等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式”，同學(xué)們先看教案本中的學(xué)習(xí)提要和問題1的兩個(gè)問題。學(xué)習(xí)提要：等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式有哪兩個(gè)形式？如何導(dǎo)出的？如何應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式解題？評述：實(shí)驗(yàn)教學(xué)每節(jié)課開始，都是以幾個(gè)小問題的形式呈現(xiàn)，提出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)任
中學(xué)生數(shù)理化·教與學(xué) 2014年3期2014-05-05
- 多招助你巧過數(shù)列求和關(guān)
關(guān)鍵是抓住數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系基本數(shù)列的求和技巧構(gòu)造性解題.本文通過一些典型的范例，對數(shù)列求和的基本方法進(jìn)行歸類解析，供讀者參考.一、公式法例1 等比數(shù)列{an}中，a3+a4=5，a6+a7=40，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解 由已知得a1q2+a1q3=5，a1q5+a1q6=40.①②②÷①得q3=8，所以q=2，a1=512.所以Sn=512（1-2n）1-2=512（2n-1）.二、拆項(xiàng)法例2 求和13×7+15×9+17×11+…+1（
理科考試研究·高中 2014年1期2014-03-26
- 數(shù)列中的不等式問題
列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，若a1<0，S2009=0.（1）求Sn的最小差及此時(shí)n的值；（2）求n的取值集合，是an≥Sn. 數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。數(shù)列問題中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，例如函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換等等，是高考考查考生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的良好素材。數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合。其中數(shù)列與不等式的綜
文理導(dǎo)航 2014年5期2014-03-18
- 與有窮等差數(shù)列的中間項(xiàng)有關(guān)的競賽題
n}的前2n-1項(xiàng)的中間一項(xiàng)．例2某等差數(shù)列共2n+1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和為95，偶數(shù)項(xiàng)的和為90，則第n+1項(xiàng)的值等于( )A.7 B.5 C.4 D.2(第十屆“希望杯”競賽試題)解由a1+a3+a5+…+a2n+1=95，得即亦即(n+1)an+1=95．同理，由a2+a4+a6+…+a2n=90，可得nan+1=90,從而an+1=(n+1)an+1-nan+1=95-90=5．故選B．評注第n+1項(xiàng)為該等差數(shù)列的中間一項(xiàng)．例3等差數(shù)列{an}共有2
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2012年5期2012-11-07
- 待定系數(shù)法在解題中的應(yīng)用
前3n項(xiàng)中，前n項(xiàng)的和與其后2n項(xiàng)的和的比值對于任意自然數(shù)都等于常數(shù)？若存在，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及該常數(shù)；若不存在，說明理由.解：設(shè)存在這樣的等差數(shù)列{an}，其公差為d，前n項(xiàng)的和記為Sn，則其后2n項(xiàng)的和為S3n-Sn.評注：有些數(shù)列問題，通過引入或研究一些尚待確定的系數(shù)轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，經(jīng)過變形與比較，建立起含有待定字母系數(shù)的方程組，由此求出相應(yīng)字母系數(shù)的值，進(jìn)而使問題獲解.三、在三角中的應(yīng)用例3已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+si
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年5期2012-08-28
- 例談數(shù)列復(fù)習(xí)中的七點(diǎn)注意事項(xiàng)
列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-1，求{an}。錯解：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-1①∴an=Sn-1 ②以上兩式相減得an+1-an=Sn-Sn-1=an即an+1=2an③數(shù)列{an}是以a1=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴an=2n-1剖析：由于沒有注意起始值問題而導(dǎo)致錯誤，事實(shí)上，①中n≥2，②中n≥1，從而③中應(yīng)當(dāng)n≥2，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起才是等比數(shù)列。顯然a2=S1=a1=1，所以正確的通項(xiàng)公式為an=二
讀寫算·素質(zhì)教育論壇 2011年11期2011-09-26
- 美國中學(xué)生數(shù)學(xué)水準(zhǔn)如何——也談二階遞歸數(shù)列
項(xiàng)是第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的差即是2;第四項(xiàng)是第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的差即是－1.就這樣下去，以后每一項(xiàng)都是前1項(xiàng)與前2項(xiàng)的差.試求這個(gè)數(shù)列前100項(xiàng)的和.席間無紙墨，顯然要靠心算口述.不到3分鐘，麗麗脫口說出:答案是5，就是這個(gè)無窮數(shù)列前4個(gè)數(shù)的和!全場驚訝，因?yàn)檫@道題出自1985年美國高中數(shù)學(xué)競賽.這豈不是說，麗麗這個(gè)初中生已經(jīng)跨越了學(xué)段，達(dá)到了高中數(shù)學(xué)水平嗎!我笑著說:有其父必有其女!麗麗的父親，今天的徐教授曾是萬老師的啟蒙學(xué)生，在當(dāng)年的數(shù)學(xué)競賽中曾多次奪得冠軍.麗
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年12期2011-02-01