王青松

【內(nèi)容摘要】從數(shù)形兩方面探究、推導(dǎo)“平方差公式”，觀察并總結(jié)出公式的形式特征。

【關(guān)鍵詞】多項(xiàng)式乘法法則 平方差公式

一、 知識(shí)回顧

多項(xiàng)式乘法法則：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

其意義是：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

說(shuō)明：這里相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式不管是幾項(xiàng)式，其法則不變.

二、問(wèn)題探究

計(jì)算：

（1）（x+2y）（x-2y）；

（2）（x-6y）（x+6y）；

（3）（3x+5y）（3x-5y）；

（4）（a+b）（a-b）.

觀察與思考：這幾道問(wèn)題中相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式之間有何關(guān)系特征？其相乘的結(jié)果形式有何特征？為什么？你能概括出什么結(jié)論？

1.可看作是“兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差”，其結(jié)果是等于“這兩數(shù)的平方差”.

即：兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差=這兩數(shù)的平方差.

2.左邊的兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)是互為相反數(shù)；右邊是相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方.

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2；

觀察其計(jì)算的過(guò)程，展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)恰好是互為相反數(shù)，合并為零，所以最后的結(jié)果只剩下兩項(xiàng)。

概括：（閱讀課本第31頁(yè)）

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

其意義是：

（1）兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差，這兩數(shù)的平方差；

（2）相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式中，有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)是互為相反數(shù)，其相乘的結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方.

說(shuō)明：

1.公式中的a、b可以是數(shù)或單項(xiàng)式或單項(xiàng)式；

2.注意公式的第二層面的理解。

用面積法來(lái)解釋公式的幾何意義：

如圖，把邊長(zhǎng)為a的正方形挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為 的正方形，剩下的圖形面積有幾種不同的求法？它們表示的代數(shù)恒等式是什么？

在圖1中，S=a2-b2；在圖2中，S=（a+b）（a-b）。

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；或說(shuō)：（a+b）（a-b）=a2-b2。

試一試：

1. 計(jì)算：

（1）（a+3）（a-3）；

（2）（2a+3b）（2a-3b）；

（3）（1+2c）（1-2c）；

（4）（-2x-y）（2x-y）.

第（4）題的進(jìn)一步探究：

變式計(jì)算：

（1）（2x+y）（-y+2x）；

（2）（2x+y）（y-2x）；

（3）（-2x+y）（2x+y）；

（4）（-2x-y）（-2x+y）；

（5）（2x+y）（-2x-y）.

由這組題目的計(jì)算，你對(duì)平方差公式的特征還有什么新的認(rèn)識(shí)？

相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式中，若有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)是互為相反數(shù)，則它們的積等于 項(xiàng)的平方減去 項(xiàng)的平方.

練一練：

計(jì)算：

（1）（2x+12） （2x-12）；

（2）（-x+2）（-x-2）；

（3）（-2x+3y）（2x+3y）；

（4）（y-x）（-x-y）.

注意：相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方！

更上一層樓：

1.計(jì)算：（x+2）（x-3）-（x-4）（x+4）.

2.先化簡(jiǎn)，再求值：（x-3y）（x+y）-（x+3y）（x-3y），其中，x=-2，y=14.

三、課后練習(xí)

1.計(jì)算：

（1）（a+3）（a-5）= ；

（2）（a+3）（a-3）= ；

（3）（a-5）（a+5）= ；

（4）（a-3）（a-5）= .

2.計(jì)算：

（1）（x+3y）（x-3y）= ；

（2）（3x+2y）（3x-2y）= ；

（3）（2x-5y）（2x+5y）= ；

（4）（-x+3）（-x-3）= .

3.計(jì)算：

（1）（a-4）（a+4）+（a-1）（a+1）；

（2）（5+x）（5-x）+（x-1）（x+3）；

（3）（3x-4y）（3x+4y）-（x+4y）（x-4y）；

（4）（a+2b）（2b-a）-（a+3b）（a-b）.

4.解方程：4x2-（x-2）（x+2）=（x-4）（3x+4）.

5.先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3）（x-3）-（3x+2）（2-3x），其中x=2.

6.計(jì)算：（2x-y）（2x+y）（4x2+y2）.

7.（1）探究：計(jì)算下列各式：

（x-1）（x+1）= .

（x-1）（x2+x+1）= .

（x-1）（x3+x2+x+1）= .

（2）歸納：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+...+x+1）= .

【參考文獻(xiàn)】

[1]華師大《八年級(jí)上冊(cè)》（2014版）.

（作者單位：福建省泉州市培元中學(xué)）