■山東省棗莊市第二中學(xué) 王中華

編者的話(huà)：強(qiáng)化對(duì)核心考點(diǎn)的演練、注重對(duì)經(jīng)典題型的歸納,是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘訣,基于此,本刊編輯部特開(kāi)設(shè)此欄目,希望同學(xué)們能認(rèn)真練習(xí)。

一、選擇題

1.x+3與y-3的等差中項(xiàng)為20,則x+y等于( )。

A.60 B.40 C.20 D.不確定

2.等差數(shù)列{an}中,若a8-a3=40,則a2025-a2020=( )。

A.40 B.30 C.25 D.20

3.已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2=0,a6+a8=-10,則a2019=( )。

A.2 017 B.2 015

C.-2 017 D.-2 015

4已知{an}是等差數(shù)列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,則a3+a6+a9的值是( )。

A.24 B.27 C.30 D.33

5.已知等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,若a3+a4+a5=42,則S7=( )。

A.98 B.49 C.14 D.147

6.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( )。

A.-12 B.-10 C.10 D.12

8.若等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a5=11,a12=-3,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為M,則lgM=( )。

A.1 B.2 C.10 D.100

9.《九章算術(shù)》之后,人們進(jìn)一步用等差數(shù)列求和公式來(lái)解決更多的問(wèn)題,《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾(注:從第二天開(kāi)始,每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計(jì)),共織390尺布”,則從第二天起每天比前一天多織( )尺布。

10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S4≥10,S5≤15,則a4的最大值為( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

11.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n等于( )。

A.6 B.7 C.8 D.9

12.設(shè){an}是公差為-2的等差數(shù)列,若a1+a4+a7+…+a97=50,則a3+a6+a9+…+a99等于( )。

A.82 B.-82 C.132 D.-132

13.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列,若81是該數(shù)列中的其中一項(xiàng),則公差d不可能是( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

14.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代一部重要的數(shù)學(xué)著作,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安,至齊。齊去長(zhǎng)安三千里,良馬初日行一百九十三里,日增一十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里。良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,問(wèn)幾日相逢。”其意為:“現(xiàn)在有良馬和駑馬同時(shí)從長(zhǎng)安出發(fā)到齊去。已知長(zhǎng)安到齊的距離是3000里,良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里;駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里。良馬到齊后,返回去迎駑馬,多少天后兩馬相遇?”利用我們所學(xué)的知識(shí),可知離開(kāi)長(zhǎng)安后的第( )天,兩馬相逢。

A.15 B.16 C.17 D.18

15.已知等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,且a3·a7=-12,a4+a6=-4,則S20為( )。

A.180 B.-180 C.90 D.-90

16.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=18,Sn=240,an-4=30,則n的值為( )。

A.14 B.15 C.16 D.17

17.在正整數(shù)100至500之間能被11整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為( )。

A.34 B.35 C.36 D.37

18.等差數(shù)列{an}中,已知a1=-6,an=0,公差d∈N*,則n(n≥3)的最大值為( )。

A.5 B.6 C.7 D.8

19.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=15,且3an+1=3an-2,若ak·ak+1＜0,則正整數(shù)k=( )。

A.24 B.23 C.22 D.21

20.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1＞0,a2003+a2004＞0,a2003·a2004＜0,則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是( )。

A.4005 B.4006

C.4007 D.4008

21.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S5=13,S15=63,則S20=( )。

A.90 B.100 C.110 D.120

24.(2017屆湖南省長(zhǎng)沙市一中高三月考)“珠算之父”程大位是我國(guó)明代的偉大數(shù)學(xué)家,他的應(yīng)用數(shù)學(xué)巨著《算法統(tǒng)宗》的問(wèn)世,標(biāo)志著我國(guó)的算法由籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。程大位在《算法統(tǒng)宗》中常以詩(shī)歌的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題,其中有一道“竹筒容米”問(wèn)題:“家有九節(jié)竹一莖,為因盛米不均平,下頭三節(jié)三升九,上梢四節(jié)貯三升,唯有中間兩節(jié)竹,要將米數(shù)次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明?！?[注釋]三升九:3.9升。次第盛:盛米容積依次相差同一數(shù)量。)用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)求得中間兩節(jié)的容積為( )。

A.1.9升 B.2.1升

C.2.2升 D.2.3升

A.16 B.14 C.12 D.10

28.等差數(shù)列{an}有兩項(xiàng)am,ak(m≠k),滿(mǎn)足a=,a=,則該數(shù)列前mk項(xiàng)mk之和為( )。

29.等差數(shù)列{an}的公差d＜0,且=014,若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大,Sm=0,則m-n的值( )。

32.把正整數(shù)按“S”型排成了如圖1所示的三角形數(shù)表,第n行有n個(gè)數(shù),對(duì)于第n行按從左往右的順序依次標(biāo)記第1列,第2列,…,第m列(比如三角形數(shù)表中12在第5行第4列,18在第6行第3列),則三角形數(shù)表中2015在( )。

圖1

A.第63行第2列

B.第62行第12列

C.第64行第30列

D.第64行第60列

33.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )。

A.13 B.12 C.11 D.10

34.在等差數(shù)列{an}中,對(duì)任意n∈N*,都有an＞an+1,且a2,a8是方程x2-12x+m=0的兩根,且前15項(xiàng)的和S15=m,則數(shù)列{an}的公差是( )。

A.-2或-3 B.2或3

C.-2 D.-3

35.已知函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào),且函數(shù)y=f(x-2)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,且f(a100)=f(a101),則{an}的前200項(xiàng)的和為( )。

A.-200 B.-100

C.0 D.-50

圖2

37.如圖2所示,點(diǎn)列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*,P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合。若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則( )。

二、填空題

38.(2018年高考北京理數(shù)第9題)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36,則{an}的通項(xiàng)公式為。

39.(2018年高考北京文數(shù)第15題改編)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為。

40.(2018年福建省“四地六?！甭?lián)考)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1,記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S200=。

41.(2017年高考課標(biāo)Ⅱ卷理數(shù)第15題)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則=。

42.已知數(shù)列{an},{bn}都是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為a1,b1,且a1+b1=5,a1＞b1,a1、b1∈N*,n∈N*,則數(shù)列{abn}的前10項(xiàng)的和等于。

43.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),則是這個(gè)數(shù)列的第 項(xiàng)。

44.一個(gè)卷筒紙,其內(nèi)圓直徑為3cm,外圓直徑為15cm,一共卷了72層,若把各層都視為同心圓,π的值取3.14,則這個(gè)卷筒紙的長(zhǎng)度大約為m(精確到個(gè)位)。

45.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》有“分錢(qián)問(wèn)題”,如下:“今有人與錢(qián),初一人與三錢(qián),次一人與四錢(qián),次一人與五錢(qián),以次與之,轉(zhuǎn)多一錢(qián),與訖,還數(shù)聚與均分之,人得一百錢(qián),問(wèn)人幾何。”則分錢(qián)問(wèn)題中的人數(shù)為。

46.中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為。

47.在等差數(shù)列｛an｝中,a1＞0,a10·a11＜0,若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S10=36,前18項(xiàng)的和S18=12,則數(shù)列｛ an｝的前18項(xiàng)和T18的值是。

49.(湖北省黃岡市2017屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(文)試題第16題)“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”。1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲。1874年,英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理,因而西方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”?！爸袊?guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題,現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題:將2至2017這2016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列{an},則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為。

50.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足an+3Sn·Sn-1=0,n≥2,n∈N*,且a1=,則nan的最小值為。

52.正偶數(shù)按下列方法分組:{2},{4,6,8},{10,12,14,16,18},{20,22,24,26,28,30,32},…,記第n組中各數(shù)之和為An,則An=。

53.已知數(shù)列{an},{bn}滿(mǎn)足a1=1,a2=2,b1=-1,且對(duì)任意的正整數(shù)m,n,p,q,當(dāng)m+n=p+q時(shí),都有am-bn=ap-bq,則的值是。

56.已知數(shù)列{an}是以t為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足2bn=(n+1)·an。若對(duì)n∈N*都有bn≥b4成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是。

三、解答題

57.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn有最大值,并求出它的最大值。

58.(2018年全國(guó)Ⅱ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求Sn的表達(dá)式,并求Sn的最小值。

59.已知等差數(shù)列{an}中,a1=12,d=-2。

(1)分別求Sn單調(diào)遞增、單調(diào)遞減時(shí)n的取值范圍;

(2){Sn}中有多少項(xiàng)大于0?

60.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=32n-n2,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Pn。

61.甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng),甲第一分鐘走2m,以后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m。

(1)甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后,幾分鐘相遇?

(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返,甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇?

62.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)一切正整數(shù)n都有Sn=n2+an。

(1)求證:an+1+an=4n+2;

(2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

63.已知數(shù)列{an}中,a2=p(p是不等于0的常數(shù)),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若對(duì)任意正整數(shù)n都有

(1)證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;

64.一位學(xué)生參加市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)調(diào)查活動(dòng),從某商場(chǎng)得到11月份新款家電M的部分銷(xiāo)售資料。資料顯示:從11月2日開(kāi)始,每天的銷(xiāo)售量比前一天多t臺(tái)(t為常數(shù)),其間某天由于商家提高了家電M的價(jià)格,從當(dāng)天起,每天的銷(xiāo)售量比前一天少2臺(tái)。11月份前2天共售出8臺(tái),11月5日的銷(xiāo)售量為18臺(tái)。

(1)若商家在11月1日至15日之間未提價(jià),試求這15天家電M的總銷(xiāo)售量;

(2)若11月1日至15日的總銷(xiāo)售量為414臺(tái),試求11月份的哪一天,該商場(chǎng)售出家電M的臺(tái)數(shù)最多,并求這一天售出的臺(tái)數(shù)。

65.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2an-2n+1,n=1,2,3,…。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

66.已知無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn。

(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn=2an-5,對(duì)于任意給定的正整數(shù)p,是否存在正整數(shù)q,r(p＜q＜r),使得成等差數(shù)列?若存在,試用p表示q,r;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式。

(2)將數(shù)列{an},{bn}的項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an放在前面;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn放在前面”的要求進(jìn)行排列,得到一個(gè)新的數(shù)列:a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,…,求這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和Pn。