安徽省蚌埠市懷遠(yuǎn)縣第三中學(xué)　年四云

例談等差數(shù)列兩個(gè)前n項(xiàng)和公式

安徽省蚌埠市懷遠(yuǎn)縣第三中學(xué)年四云

本文從思想方法的角度給出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和兩個(gè)公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

思想方法；等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

我們知道，教材就等差數(shù)列前n項(xiàng)和給出了兩個(gè)公式：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和為Sn，公差為d，n∈N＊，則（公式一），（公式二）。這兩個(gè)公式在解決問(wèn)題時(shí)如何使用，下面舉例說(shuō)明。以下m，n，p，q∈N＊，不再說(shuō)明。

一、側(cè)重于函數(shù)方程思想的公式一

1.方程思想

所謂方程思想就是將題目條件運(yùn)用前n項(xiàng)和公式，表示成關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的兩個(gè)方程，通過(guò)解決方程來(lái)解決問(wèn)題。

解析：方程的思想，將題目條件運(yùn)用前n項(xiàng)和公式，表示成關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的兩個(gè)方程。

拓展：觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將公式一做如下變形：

2.函數(shù)思想

所以，此數(shù)列的前9項(xiàng)之和最小。

由此可知，當(dāng)n=9時(shí)，Sn最小。

解法三：已知S5=S13，而Sn是n的二次函數(shù)（二次項(xiàng)系數(shù)＞0），由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得其對(duì)稱(chēng)軸方程為。所以，當(dāng)n=9時(shí)，Sn最小。

點(diǎn)評(píng)：以上分別利用了單調(diào)性、配方轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)以及數(shù)形結(jié)合等，讓學(xué)生比較以上這三種常見(jiàn)的解法，體會(huì)函數(shù)思想的作用。解法三做法中幾乎沒(méi)有運(yùn)算，抓住了題目條件，結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性做處理，顯得十分巧妙。

二、側(cè)重于等差數(shù)列性質(zhì)的公式二

1.側(cè)重于性質(zhì)：若m+n=p+q則am+an=ap+aq。

有些涉及等差數(shù)列前項(xiàng)n和的題目，常與等差數(shù)列的上述性質(zhì)融合在一起，將a1+an與其他條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

例題4 一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)的和為34，最后5項(xiàng)的和為146，所有項(xiàng)的和為234，則它的第七項(xiàng)等于（）

A.22B.21C.19D.18

解：設(shè)該數(shù)列有n項(xiàng)且首項(xiàng)為a1，末項(xiàng)為an，公差為d，則依題意有

（1）+（2）結(jié)合上述性質(zhì)可得a1+an=36，代入（3）有n=13從而有a1+a13=36，

點(diǎn)評(píng)：依題意能列出3個(gè)方程，若將a1+an作為一個(gè)整體，問(wèn)題即可迎刃而解。在求a7時(shí)，巧用等差中項(xiàng)的性質(zhì)也值得關(guān)注。知識(shí)的靈活應(yīng)用，來(lái)源于對(duì)知識(shí)系統(tǒng)的深刻理解。

2.側(cè)重于等差中項(xiàng)

利用等差中項(xiàng)，可以實(shí)施等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與其通項(xiàng)an的轉(zhuǎn)換：

點(diǎn)評(píng)：利用等差中項(xiàng)建立起等差數(shù)列前項(xiàng)和與其通項(xiàng)的聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵。