九頭鳥(niǎo)茶樓常客 萬(wàn)爾遐

美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)水準(zhǔn)如何
——也談二階遞歸數(shù)列

九頭鳥(niǎo)茶樓?？?萬(wàn)爾遐

1 愛(ài)數(shù)學(xué)不分初與高

美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的水平如何?在國(guó)內(nèi)有很多傳說(shuō)，其中有:美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)水平很低，有許多中學(xué)生甚至不會(huì)乘法口訣.

對(duì)于此說(shuō)，我一直持懷疑態(tài)度.因此我在美國(guó)期間，特別留心與美國(guó)中學(xué)生接觸.

這天我到德州大學(xué)徐步高教授家中作客，遇上一個(gè)機(jī)會(huì)，他家的老二叫麗麗的正在德州中學(xué)上美國(guó)的初中二年級(jí).

談話(huà)間，發(fā)現(xiàn)麗麗的數(shù)學(xué)水平不凡，比如她談到數(shù)列求和問(wèn)題.這在中國(guó)應(yīng)該是高中學(xué)段的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

為進(jìn)一步了解她的水平，我當(dāng)場(chǎng)口述了一個(gè)題目:

有個(gè)無(wú)窮數(shù)列，它的第一項(xiàng)是1，第二項(xiàng)是3，第三項(xiàng)是第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的差即是2;第四項(xiàng)是第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的差即是－1.就這樣下去，以后每一項(xiàng)都是前1項(xiàng)與前2項(xiàng)的差.試求這個(gè)數(shù)列前100項(xiàng)的和.

席間無(wú)紙墨，顯然要靠心算口述.

不到3分鐘，麗麗脫口說(shuō)出:答案是5，就是這個(gè)無(wú)窮數(shù)列前4個(gè)數(shù)的和!

全場(chǎng)驚訝，因?yàn)檫@道題出自1985年美國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽.

這豈不是說(shuō)，麗麗這個(gè)初中生已經(jīng)跨越了學(xué)段，達(dá)到了高中數(shù)學(xué)水平嗎!

我笑著說(shuō):有其父必有其女!

麗麗的父親，今天的徐教授曾是萬(wàn)老師的啟蒙學(xué)生，在當(dāng)年的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中曾多次奪得冠軍.麗麗更出語(yǔ)驚人，她說(shuō)她爸爸的數(shù)學(xué)“不怎么樣”!我們聽(tīng)了更是高興，由此可知麗麗現(xiàn)在的數(shù)學(xué)水平.

2 愛(ài)數(shù)學(xué) 不分師與生

我問(wèn)麗麗:課堂上，老師講過(guò)這樣的數(shù)列沒(méi)有?

答:課堂上沒(méi)有講過(guò)，但我們?cè)谡n外知道了這樣的數(shù)列.

問(wèn):在課外什么地方知道的?

答:校內(nèi)、外有各種數(shù)學(xué)活動(dòng)，包括數(shù)學(xué)講演，數(shù)學(xué)謎宮，還有數(shù)學(xué)比賽等等.

問(wèn):是誰(shuí)組織的?

答:是我們這些喜歡數(shù)學(xué)的同學(xué)自己組織的，有時(shí)也有老師參加.其實(shí)，老師知道的并不比我們多!

問(wèn):老師知道的并不比你們多!你能舉個(gè)例子嗎?

答:例子嗎?比如您前面說(shuō)的那個(gè)數(shù)列——

有個(gè)無(wú)窮數(shù)列，它的第一項(xiàng)是a，第二項(xiàng)是b，第三項(xiàng)是第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的差即是b－a;第四項(xiàng)是第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的差即是－a.就這樣下去，以后每一項(xiàng)都是前1項(xiàng)與前2項(xiàng)的差.試求這個(gè)數(shù)列前120項(xiàng)的和.

老師問(wèn)，需要計(jì)算器嗎?我們笑了:不需要計(jì)算器，可以看出答案是0!

問(wèn):怎么看出答案是0的?

答:你看，第四項(xiàng)－a已經(jīng)是第一項(xiàng)a的相反數(shù)了，那么第五項(xiàng)就應(yīng)該是第二項(xiàng)的相反數(shù)－b，第六項(xiàng)就應(yīng)該是第三項(xiàng)的相反數(shù)a－b.

于是，這個(gè)數(shù)列前6項(xiàng)和就是0，前120項(xiàng)的和當(dāng)然也是0!

問(wèn):啊呀，我算服了你們，我也服了你們的那位老師，因?yàn)椤八赖牟⒉槐饶銈兌?”你既然這樣喜歡數(shù)學(xué)，那么將來(lái)想去干什么，將來(lái)想當(dāng)數(shù)學(xué)家嗎?

答:沒(méi)有想這些，現(xiàn)在只知道數(shù)學(xué)很好玩.

……

回國(guó)之后，面對(duì)我國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“盛況”，不禁自問(wèn):

那些夜以繼日備課上課的教師們，為什么那樣樂(lè)于替代學(xué)生學(xué)習(xí)?

3 初中生能解的高考題

我國(guó)的許多高考題，實(shí)際上是初中問(wèn)題，比如下面的這道高考題:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足

這本來(lái)是道數(shù)列問(wèn)題，高考出題人為了增加考題難度，人為地扯到了“函數(shù)問(wèn)題”.

按“美國(guó)初二學(xué)生麗麗”敘述問(wèn)題的方式，則是:

有個(gè)無(wú)窮數(shù)列，它的第一項(xiàng)是1，第二項(xiàng)是0，第三項(xiàng)是第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的差;第四項(xiàng)是第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的差即是－1.就這樣下去，以后每一項(xiàng)都是前1項(xiàng)與前2項(xiàng)的差.試求這個(gè)數(shù)列的第2011項(xiàng).

按“美國(guó)初二學(xué)生麗麗”解決問(wèn)題的方法，則是:

2011=6×335+1

所以，第2011項(xiàng) =第1項(xiàng) =1.即中國(guó)考題答案f(2009)=1.

華羅庚先生說(shuō):神奇化易是良訓(xùn)，易化神奇不足提!

而我國(guó)當(dāng)前的高考命題，經(jīng)常干出這種“易化神奇”的勾當(dāng).比如上面的這道高考出題，就在這樣地“易化神奇”:

在出題人看來(lái)，把簡(jiǎn)單表示成復(fù)雜，就是難度;能把整數(shù)1和0用對(duì)數(shù)式表示，就能體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)水平!

4 初中生能解的高賽題

賽題 一列整數(shù)a1，a2，a3，……，對(duì)每個(gè)n等于或大于3 都有 an=an－1－ an－2，若該數(shù)列的前 1492 項(xiàng)的和為1985，前1985項(xiàng)的和為1492，那么前2001項(xiàng)的和是多少?

這是美國(guó)的一道數(shù)賽題目，不分初中高中.在中國(guó)，有許多數(shù)賽培訓(xùn)教材引進(jìn)了這道題目，并研究出許多讓初中生、高中生也看不懂的解法，如什么“特征根法”或“復(fù)數(shù)通項(xiàng)法”.

“初二學(xué)生麗麗”雖然不知道這些“妙法”，但我相信，她能輕松地解答此題，因?yàn)樗軙?huì)加、減法!

略解 設(shè)第一項(xiàng)a，第二項(xiàng)b，則第三項(xiàng)為b－a;而第四項(xiàng)到第六項(xiàng)依次為前三項(xiàng)的相反數(shù)，所以S6=0.

我體會(huì)到:美國(guó)數(shù)賽，重在活動(dòng);中國(guó)數(shù)賽，重在功利!

美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的教材，比較重視數(shù)學(xué)過(guò)程，重視問(wèn)題的提出;中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的教材，比較重視結(jié)果，重視問(wèn)題的解答.

比如上面這道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，在美國(guó)看到的相關(guān)材料是:這個(gè)問(wèn)題是怎么產(chǎn)生的?我能發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題嗎?我還能想到什么問(wèn)題?

而在中國(guó)看到的相關(guān)材料是:這個(gè)問(wèn)題是怎么解答的?我能解答這個(gè)問(wèn)題嗎?我還能想到什么更妙的解法?

于是，在相關(guān)的教材上，出現(xiàn)了對(duì)此題的各式各樣的奇妙解法.比如:

慢說(shuō)是初中生，就是沒(méi)有經(jīng)過(guò)專(zhuān)門(mén)訓(xùn)練的普通高中生走到這里，也只能望而止步了.數(shù)學(xué)競(jìng)賽在中國(guó)已經(jīng)成了職業(yè)賽，與大眾無(wú)緣!

20110523)