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二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性與滿足Sm=Sn的等差數(shù)列

2015-04-07 13:02岳昌慶
關(guān)鍵詞:通項(xiàng)原點(diǎn)拋物線

二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像(拋物線)關(guān)于直線x=-b2a對(duì)稱(chēng).如果有f(p)=f(q),且p≠q,則f(p+q)=c.簡(jiǎn)證如下:

法1f(p)=f(q),因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸方程為x=-b2a=p+q2,所以,p+q=-ba.所以f(p+q)=f(-ba)=a(-ba)2+b(-ba)+c=c.

法2由f(p)=f(q)可得對(duì)于對(duì)應(yīng)法則f,自變量和為p+q的函數(shù)的兩個(gè)值相等,所以f(p+q)=f(0)=c.

法3由圖像可得(不妨設(shè)a>0),如圖1.

圖1可將二次函數(shù)圖像的這一性質(zhì)推廣到等差數(shù)列中來(lái).

等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d,前n項(xiàng)的和Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1-d2)n,

將Sn看成函數(shù)y,n看成自變量x,這個(gè)二次函數(shù)的解析式有兩個(gè)特性:

(1)定義域x∈N*(即n∈N*);

(2)常數(shù)項(xiàng)為0(即函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)).

所以,在等差數(shù)列{an}中,設(shè)前k項(xiàng)的和為Sk,若Sm=Sn(m,n∈N*,且m≠n),則Sm+n=0.對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像:

圖2圖3當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}為遞增數(shù)列時(shí),d>0,拋物線開(kāi)口向上,此時(shí)a1=S1<0,如圖2;

當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}為遞減數(shù)列時(shí),d<0,拋物線開(kāi)口向下,此時(shí)a1=S1>0,如圖3.

例1(2003年北京東城三模第12題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,若S10=S20,則S30的值是.

略解由上述命題顯然S30=0.

例2(2011年高考遼寧卷文第15題)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S2=S6,a4=1,則a5=.

略解顯然S8=0,所以8(a1+a8)2=0,得a1+a8=0=a4+a5,所以a5=-1.

評(píng)注也可這么做:S6-S2=a3+a4+a5+a6=2(a4+a5)=0,所以a5=-1.

例3在等差數(shù)列{an}中,a1>0,前n項(xiàng)的和為Sn,若S3=S11,則Sn取得最大值時(shí),n的值為().

A.5B.6C.7D.8

解法1顯然S14=0,所以14(a1+132d)=0,得d=-213a1,又a1>0,所以d<0,所以,an=a1+(n-1)(-213a1)=a113(15-2n),令an=0得n=152.

a7=a113(15-2×7)>0,a8=a113(15-2×8)<0.

所以S7取得最大值,此時(shí)n=7.故選C.

解法2由S3=S11得S7=S7,又a1>0,得d<0,所以S7取得最大值,此時(shí)n=7.故選C.

評(píng)注(1)解法1靈活運(yùn)用Sn=n(a1+n-12d)找到a1與d的關(guān)系是本題不同于上例的一個(gè)亮點(diǎn).

(2)解法2直接利用等差數(shù)列Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)且過(guò)原點(diǎn)的圖像性質(zhì)得.

作者簡(jiǎn)介岳昌慶,男,河南人,1967年10月生,碩士,副編審.主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.已在30余種報(bào)刊發(fā)文50余篇.

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