陜西 李 歆

等差數(shù)列的一個性質(zhì)及其推論

陜西 李 歆

數(shù)學(xué)是一門融知識性、思想性和方法性于一體的重要學(xué)科，其中一些基本的概念、公式、定理往往蘊涵著極其豐富的價值，只要同學(xué)們在學(xué)習(xí)中，善于思考，勤于探究，那么常常可以發(fā)現(xiàn)許多有意義的東西，從而不斷開闊同學(xué)們的知識視野，提高解題效率.如：同學(xué)們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項和公式之后,會有什么發(fā)現(xiàn)呢？下面,介紹等差數(shù)列的一個有趣性質(zhì)及其兩個簡單推論，以幫助同學(xué)們更進一步的理解并掌握等差數(shù)列的有關(guān)知識.

一、性質(zhì)及其推論

1.一個性質(zhì)

性質(zhì)設(shè){an}為等差數(shù)列,Sm,Sn,Sk分別為前m項、n項和k項的和,則有

證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則由前n項和公式,得

所以,可得

=0.

2.兩個推論

推論1設(shè){an}為等差數(shù)列,Sm,Sn分別為前m項、n項的和,則當(dāng)m≠n時,有

證明：在公式①中，取k=m+n，整理即得公式②.

推論2設(shè){an}為等差數(shù)列,Sm,Sn,Sk,St分別為前m項、n項、k項和t項的和,且m+n=k+t,則當(dāng)m≠n,k≠t時，有

因為m+n=k+t，

所以Sm+n=Sk+t，

整理即得公式③.

【評注】公式②和公式③也可以分別利用等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式得到，因此，公式①、公式②、公式③可以各自獨立，也可以相互聯(lián)系，這三個公式結(jié)構(gòu)特點明顯，規(guī)律性很強，便于記憶.

二、應(yīng)用

1.公式①的應(yīng)用

【例1】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4=4，S6=12，則S20等于

( )

A.60 B.120

C.180 D.240

【變式1】設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a1=3，S9=9，則S16=

( )

A.12 B.14

C.-12 D.-14

【答案】C

【變式2】已知{an}是等差數(shù)列，a1+a2=4，S6=36，則S10等于

( )

A.64 B.100

C.110 D.120

【答案】B

( )

( )

【答案】C

( )

【答案】B

【評注】用公式①解題時，要特別注意每個分式項前面的系數(shù)中各個字母差的排序，否則容易出錯.

2.公式②的應(yīng)用

【例3】若等差數(shù)列的前p項的和等于q,前q項的和等于p(p≠q),則前p+q項的和等于

( )

A.p+qB.p-q

C.-p+qD.-p-q

【變式1】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=2，S3n=14，則S2n等于

( )

【答案】C

【變式2】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=1，a3=3，則S4=

( )

A.6 B.8

C.10 D.12

【答案】B

【例4】設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a3+a4=1，S9=-9，則S15=

( )

A.30 B.-30

C.60 D.-60

【變式1】已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a5=7，則它的前6項的和S6=

( )

A.7 B.14

C.21 D.28

【答案】C

【變式2】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9，S6=36，則a6+a7=

( )

A.24 B.48

C.72 D.96

【答案】A

【評注】對于等差數(shù)列中同時出現(xiàn)“項”與“和”的問題時，注意到它們下標(biāo)之間的關(guān)系，則用公式②求解，較為方便.

3.公式③的應(yīng)用

( )

A.1 B.2

C.3 D.4

【變式1】已知{an}為等差數(shù)列，a1=1，S5-S2=6，則S6=

( )

A.9 B.10

C.11 D.12

【答案】C

【變式2】已知{an}為等差數(shù)列，a3+a4=8，則S5-S1=

( )

A.8 B.16

C.24 D.32

【答案】B

( )

( )

A.1 B.2

【答案】A

( )

A.1 B.2

C.3 D.4

【答案】C

【評注】在應(yīng)用公式③時，要密切注意公式左邊的分子與分母中兩項下標(biāo)的和必須相等，而右邊的分子與分母則是左邊對應(yīng)下標(biāo)的差，這兩點不可混淆.

陜西省武功縣教育局教研室)