俞洋琴

求數(shù)列前 n 項(xiàng)的和問(wèn)題是各類(lèi)數(shù)學(xué)試卷中的“?？汀保歉呖紨?shù)學(xué)必考的內(nèi)容之一.因此，熟練掌握一些求數(shù)列和的技巧是很有必要的.筆者總結(jié)了三種求數(shù)列的途徑，供大家參考.

一、巧用公式法求和

一般來(lái)講，運(yùn)用公式法解答數(shù)列求和問(wèn)題，需先找出數(shù)列的通項(xiàng)公式，或者明確數(shù)列的首項(xiàng)、公差、公比、項(xiàng)數(shù)，然后將其代入等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)求和公式或等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)求和公式求解，即可求出數(shù)列的和。

例1.

解：

該問(wèn)題綜合考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)求和公式.在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)，求得數(shù)列的首項(xiàng)、公差、公比、項(xiàng)數(shù)，便可根據(jù)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求得問(wèn)題的答案.

二、分組求和

有些數(shù)列是由幾個(gè)等差、等比或常數(shù)數(shù)列組合而成的，對(duì)此我們需仔細(xì)觀察數(shù)列中各項(xiàng)之間的規(guī)律，將其合理分成幾組，使每一組為等差、等比或常數(shù)數(shù)列，分組進(jìn)行求和.明確各組數(shù)列的通項(xiàng)公式、首項(xiàng)、公差、公比、項(xiàng)數(shù)，便可運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式來(lái)求得數(shù)列前 n 項(xiàng)的和.

例2.

解：

列出數(shù)列的前 n 項(xiàng)和式后，就可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是由1個(gè)等差數(shù)列和1個(gè)等比數(shù)列的和構(gòu)成的，于是將數(shù)列分為2組，1組為等差數(shù)列，1組為等比數(shù)列，分別運(yùn)用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式以及錯(cuò)位相減法就可以求得兩個(gè)數(shù)列的和，再綜合所得的結(jié)果即可求出數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

三、裂項(xiàng)相消求和

對(duì)于含有分式的數(shù)列，我們常采用裂項(xiàng)相消的技巧來(lái)求和.先將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差的形式，然后將裂項(xiàng)后的各項(xiàng)相加，中間的某些項(xiàng)就可以相互抵消，化簡(jiǎn)剩下的項(xiàng)即可求得數(shù)列前 n 項(xiàng)的和.

例3.

解：

運(yùn)用裂項(xiàng)相消的技巧求和的思路較為簡(jiǎn)單，但運(yùn)算量較大，同學(xué)們要謹(jǐn)慎計(jì)算.

求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的難度一般不大，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)列的各項(xiàng)或通項(xiàng)公式找出數(shù)列各項(xiàng)之間的規(guī)律，選擇與之相應(yīng)的途徑來(lái)解題.

（作者單位：江蘇省南通市海門(mén)四甲中學(xué)）