二次方程
- 活用配方法，巧解特殊方程
法在求解二元二次方程和根式方程中的應(yīng)用方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考.一、活用配方法巧解二元二次方程二元二次方程是指含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程. 通常二元二次方程的解有無限個(gè)，但是特殊的二元二次方程可以利用配方法配湊成完全平方的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解出其唯一一組解.運(yùn)用配方思想解二元二次方程，要重點(diǎn)關(guān)注各項(xiàng)的系數(shù)，可以將其拆分、拼湊，使其成為平方數(shù)，以便運(yùn)用完全平方和公式 a2 ± 2ab + b 2 = （a ± b）2 進(jìn)
語數(shù)外學(xué)習(xí)·初中版 2023年6期2023-08-03
- 競賽中二次方程的整數(shù)解問題的求解方法
為例，給出了二次方程整數(shù)解問題的三種解法，一是利用一元二次方程根的判別式求解;二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解;三是利用因式分解法求解.【關(guān)鍵詞】 二次方程;整數(shù)解;求解方法1 利用一元二次方程根的判別式求解例1 已知關(guān)于x的方程x2-10x-9n2+36n=0的根都是整數(shù)，則正整數(shù)n=.解 由一元二次方程的根的判別式，得Δ=（-10）2-4（-9n2+36n）=36n2-144n+100=（6n-12）2-44.令（6n-12）2-44=t2，其
數(shù)理天地(初中版) 2022年7期2022-07-24
- 全國名校必修5綜合測試卷（A 卷）答案與提示
a，其對應(yīng)的二次方程x2－2（a＋1）x＋4a＝0的判別式Δ＝4（a＋1）2－16a＝4（a－1）2≥0，其兩根為x1＝2，x2＝2a。當(dāng)2a＞2，即a＞1 時(shí)，不等式f（x）＜0的解集為（2，2a）；當(dāng)2a＝2，即a＝1 時(shí)，不等式f（x）＜0的解集為?；當(dāng)2a＜2，即a＜1 時(shí)，不等式f（x）＜0的解集為（2a，2）。綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（x）＜0的解集為（2，2a）；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式無解；當(dāng)a＜1時(shí)，不等式f（x）＜0 的解集為（2a，2）。
- 三角恒等變換入手破解三角方程問題
函數(shù);命題;二次方程;換元中圖分類號： G632 ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A ? ? ? 文章編號： 1008-0333（2021）16-0044-02點(diǎn)評 ?利用特殊值直接判斷②正確，對于滿足關(guān)系式成立的角比較困難一次性確定，可以通過先給其中一 個(gè)角賦一個(gè)確定的值，再求解另一個(gè)角的值;而在判斷①時(shí)，利用兩個(gè)角所對應(yīng)的正切值均為正數(shù)的情況，結(jié)合不等式的性質(zhì)得到矛盾的結(jié)論，可以非常巧妙加以判斷與應(yīng)用. 三、真題反思涉及三角方程的解問題，要求我們熟練使用相應(yīng)
數(shù)理化解題研究·高中版 2021年6期2021-09-10
- 三角恒等變換入手破解三角方程問題
方法主要通過二次方程思維與特殊值思維等角度加以切入，利用方程思想、不等式思想等加以突破，從而得以正確判斷．二、一題多解1．二次方程思維方法1(主元轉(zhuǎn)化+二次方程法)故選擇答案：D．點(diǎn)評通過引入?yún)?shù)，設(shè)定其中一個(gè)為主元加以解決相應(yīng)的二次方程，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合方程的根的情況加以分類討論，進(jìn)而得以確定兩角所對應(yīng)的正切值的正負(fù)取值情況，進(jìn)而確定兩角所可能存在的象限問題．方法2(換元+二次方程法)綜上分析，可以判斷①錯(cuò)，②對，故選擇答案：D．點(diǎn)評
數(shù)理化解題研究 2021年16期2021-08-05
- 圓錐曲線中的特殊韋達(dá)定理問題探究
：圓錐曲線;二次方程;韋達(dá)定理;非對稱中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0042-02收稿日期：2021-09-05作者簡介：盧會玉（1981.7-），女，甘肅省天水人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]每個(gè)高中的教師和學(xué)生都知道利用韋達(dá)定理解題時(shí)遇見的量通常為有關(guān)x1，x2或y1，y2的對稱量，比如x1+x2，x1x2，x21+x22，x1x2+x2x1，y1x1-2+y2x2-2等，是可以
數(shù)理化解題研究·高中版 2021年12期2021-05-30
- 對2020年高考新課標(biāo)全國Ⅰ卷理科第20題的探究
與x1是以上二次方程的兩根，整理，得(1+n2)x2-6n2x+9n2-9=0.因?yàn)?與x2是以上二次方程的兩根，評注這里借助曲線系方程，計(jì)算量比前面的解法要小得多. 在解題時(shí)，可以將曲線系方程中的各項(xiàng)系數(shù)都寫出來，然后和橢圓方程對照得到若干關(guān)于各個(gè)參數(shù)的方程，選取對解題有利的方程來化簡.三、問題推廣該考題的第(2)問的背景為圓錐曲線的極點(diǎn)、極線理論，下面將問題推廣到一般情形.
數(shù)理化解題研究 2021年7期2021-04-08
- 關(guān)于一道函數(shù)零點(diǎn)例題的引申
不等式知識、二次方程知識等，需要學(xué)生的思路十分明確和清晰，能夠迅速調(diào)動大腦內(nèi)的多種知識，將其聯(lián)系鏈接，進(jìn)而找到問題的突破口。例3：已知函數(shù)f（x）=x2+（t-1）x+1 在區(qū)間[0，2]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。分析：原題可以轉(zhuǎn)化為方程x2+（t-1）x+1=0 在區(qū)間[0，2]上有根，這是一個(gè)二次方程，因此它可能有一個(gè)根，也可能有兩個(gè)不同的根，需要進(jìn)行分類討論。三、二次方程根的分布因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)等于方程的根，所以二次函數(shù)的零點(diǎn)問題就與二次方程根的
數(shù)學(xué)大世界 2020年31期2021-01-29
- 判別式巧解一類最值問題例析
學(xué)生最熟悉的二次方程的判別式來解決.評注:判別式法是由等量關(guān)系得到不等關(guān)系的一個(gè)重要方法.若給定關(guān)于x、y的一個(gè)二次式，去求解另一個(gè)代數(shù)式的值或范圍，可令所求式子等于k，消去一個(gè)變量x(y)，得到一個(gè)關(guān)于y(x)的一元二次方程，根據(jù)題意其判別式大于等于零，即轉(zhuǎn)換成關(guān)于k的不等式，求解出k的值(范圍)即為所求值(范圍)，此方法可稱為k值代換法，其本質(zhì)就是“Δ判斷法”，即判別式法.例1 若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值.例2 已知實(shí)數(shù)a,
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2020年4期2020-05-30
- 三個(gè)二次巧轉(zhuǎn)化,數(shù)學(xué)問題妙求解
次函數(shù)、一元二次方程三者之間存在著密切的聯(lián)系。同學(xué)們在解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題時(shí),要充分注意三個(gè)“二次”之間的相互聯(lián)系,并在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換與應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想是解決二次方程、二次函數(shù)和二次不等式問題中的重要數(shù)學(xué)思想之一,具體解題時(shí),要充分利用圖像的直觀性反映相應(yīng)問題的本質(zhì),重視用函數(shù)觀點(diǎn)處理相應(yīng)的方程或不等式問題。1.二次方程的轉(zhuǎn)化在解決二次方程的根的存在、根所在的區(qū)間等問題時(shí),利用二次方程所對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來轉(zhuǎn)化,綜合相應(yīng)不等式(組)的求解來
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高考理化) 2020年5期2020-05-22
- 回歸課本，展望高考
系入手，先將二次方程的根（對應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)）用求根公式求出，然后結(jié)合二次函數(shù)圖象，寫出一元二次不等式的解集，在高考真題的解法中，與所給區(qū)間[m， m+1]比較是該解集的子集，通過解不等式組計(jì)算出m的取值范圍，但解答過程需要分類討論，運(yùn)算量稍大。綜上所述，高考中對一元二次不等式在填空題中的考察既不搞偏難怪，也不是簡單的考查某一個(gè)知識點(diǎn)，而是依托課本題，緊密聯(lián)系二次方程的根，結(jié)合二次函數(shù)常用性質(zhì)、圖像特征，試題條件簡單又不失活潑，就像鄰家小妹，清新脫俗，是一道好題
考試與評價(jià) 2020年3期2020-05-11
- 一般三次方程的代數(shù)解
等數(shù)學(xué)家都對二次方程，甚至特定類型的三次方程進(jìn)行了研究和求解。中世紀(jì)后，科學(xué)再次復(fù)蘇，方程的求解再次引起人們的重視，經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的努力，特別是費(fèi)羅、菲奧利、塔塔利亞、卡爾達(dá)諾、費(fèi)拉里等幾人之間的恩恩怨怨，后卡爾達(dá)諾于1545年出版了《大衍術(shù)》一書給出了一般三次方程和四次方程的代數(shù)解。1 二次方程的代數(shù)解因?yàn)橐话?span id="syggg00" class="hl">二次方程也可以寫成，故不妨設(shè)一般二次方程為它有兩個(gè)解，分別是我們知道是判別式。當(dāng)時(shí)，上面的根為兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，上面的根為兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)
紅河學(xué)院學(xué)報(bào) 2020年2期2020-05-07
- 一類分式型三角函數(shù)最值問題的探究
法2 (利用二次方程的判別式求最值)兩邊平方整理，得(y2+1)cos2x+4y2cosx+4y2-1=0Δ=4y4-4(y2+1)(4y2-1)≥0，評析 解法2是把三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化成了同學(xué)們掌握更為牢固的二次方程問題．首先對函數(shù)進(jìn)行變化整理,變成一個(gè)關(guān)于cosx的二次方程,再根據(jù)二次方程有解的條件借助判別式解出最大值．解法3 (利用換元轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值)評注 解法3利用換元,將sinx和cosx變成t的函數(shù),使得轉(zhuǎn)化后的函數(shù)中僅含一個(gè)三角函數(shù)
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2020年2期2020-05-02
- 一道含參零點(diǎn)問題的多視角求解
問題轉(zhuǎn)化為了二次方程有根的問題,起到了化繁為簡、化陌生為熟悉的作用;通過結(jié)合二次函數(shù)的圖像,用判別式、對稱軸、函數(shù)值來控制二次方程根的分布。實(shí)根分布是解決二次函數(shù)含參零點(diǎn)問題的一個(gè)通用方法。2.視角2——方程角度,韋達(dá)定理換元得：t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的正數(shù)解。評注:韋達(dá)定理是從方程角度來思考的,實(shí)根分布是從函數(shù)角度來思考的。根只和正負(fù)有關(guān)時(shí)用韋達(dá)定理更簡單,而實(shí)根分布更具有一般性,兩者很多時(shí)候可以相互轉(zhuǎn)化。3.視角3
- 解一元二次方程中的誤點(diǎn)例析
c=0是一元二次方程.如果不注意a是否為零這個(gè)限制條件，很容易導(dǎo)致解題失誤.例1 關(guān)于x的方程(k-1)x2+2x+3=0，當(dāng)k為何值時(shí)，該方程(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？(2)有實(shí)數(shù)根？剖析原方程的二次項(xiàng)x2的系數(shù)是k-1，而k-1有可能是零，此時(shí)原方程不是二次方程，不能用判別式法求解.(2)該方程不一定是二次方程，需對k-1是否為零分類求解.①當(dāng)k-1≠0時(shí)，是二次方程，由方程有實(shí)根，應(yīng)有二、忽視了方程的根是否是實(shí)根例2 如果方程2x2+(a2-3a-
數(shù)理化解題研究 2020年8期2020-03-30
- 還應(yīng)毫末長始見拂丹霄
——以《可能性》教學(xué)為例淺談學(xué)科育人
生活價(jià)值的“二次方程”的觀點(diǎn)，筆者并不完全認(rèn)同。作者曾在世界各地對不同的人群提出過下面的問題：問題一：在座的各位有多少人在進(jìn)入大學(xué)之前學(xué)習(xí)過二次方程？（此時(shí)，幾乎所有人都會舉手。你呢？）問題二：過去10年內(nèi)，有多少人使用過二次方程？（此時(shí)，可能只有5%～10%的人舉手。你呢？）問題三：過去10年內(nèi)，有多少人在學(xué)校以外的地方使用過二次方程？如果你是在教育機(jī)構(gòu)內(nèi)使用二次方程，那么，請不要舉手。（現(xiàn)在，僅有兩三個(gè)人還在舉手。你仍然舉著手嗎？）估計(jì)這三個(gè)問題，如果
- 淺談數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用
：二次函數(shù)，二次方程，數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)教學(xué)中具有廣泛應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1.從數(shù)到形說到二次函數(shù)，通常都會將一元二次方程與其聯(lián)系起來講解，我們都知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）是否有實(shí)數(shù)根取決于Δ=b2-4ac是否大于0，當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，與此對應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸具有兩個(gè)交點(diǎn);而當(dāng)Δ=0時(shí)，方程ax2
- 特定約束下一類二元多項(xiàng)式最值問題的初等解法
類雙對稱二元二次方程式的最值問題的解法,筆者就這一問題深入研究,給出特定的二元二次方程式的約束下,巧用三角換元,求函數(shù)f(x,y)的最值,給出其統(tǒng)一解法,下面給出四類函數(shù)f(x,y)的表達(dá)式應(yīng)用舉例,然后給出幾個(gè)推論和一個(gè)推廣.下文的特定約束條件是指：實(shí)數(shù)x,y滿足ax2+bxy+ay2=c,其中a,c∈R+,b∈R且2a＞b.以下,我們考慮在如上的特定約束條件下,求函數(shù)f(x,y)的最值,且f(x,y)是常見的二元一次或二元二次多項(xiàng)式等.由ax2+bxy
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2019年7期2019-05-15
- 體驗(yàn)歷史文化 實(shí)現(xiàn)方程目標(biāo)
?要]以一元二次方程內(nèi)容為例，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)古巴比倫、歐幾里得、趙爽、花拉子米等一系列經(jīng)典、巧妙的幾何直觀解法，感受配方思想形成的過程，從而理解配方法，掌握婆什迦羅發(fā)現(xiàn)的二次方程求根公式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)方程教學(xué)目標(biāo).[關(guān)鍵詞]歷史文化;方程目標(biāo);二次方程[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）11-0026-02
中學(xué)教學(xué)參考·理科版 2019年4期2019-05-04
- 一元二次方程解法綜述
楊緒彪一元二次方程對于九年級教材來說起到了承上啟下的作用，即它把一次方程、一次函數(shù)、一次不等式上升到二次方程、二次函數(shù)及其它們的應(yīng)用.所以近幾年中考數(shù)學(xué)命題中容易題、中等題、難題都有一元二次方程的身影.下面就一元二次方程的解法做一些分析和探討，以幫助同學(xué)們較好地掌握本節(jié)知識.（作者單位：江蘇省徐州市第三十五中學(xué)）
初中生世界·九年級 2018年9期2018-10-16
- 加權(quán)Motzkin數(shù)的恒等式及其組合意義
恒等式并利用二次方程的微分變換給出了證明.2 加權(quán) Motzkin路與加權(quán) (α,β,γ)-Motzkin數(shù)這一部分將會對不同步加權(quán)的 Motzkin路給出組合解釋.考慮所謂的 (α,β,γ)-Motzkin路,這種路是水平步有α種顏色,上步有β種顏色以及下步有γ種顏色的部分Motzkin路.用 M(α,β,γ)n(t) 和 R(α,β,γ)n(t) 分別表示在 (n,0) 結(jié)束的 (α,β,γ)-Motzkin 路的個(gè)數(shù)和 (α,β,γ)-Riordan
- 應(yīng)用判別式解題時(shí)必須注意它的存在性
詞】判別式；二次方程一、提出問題創(chuàng)設(shè)情境題目求實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1有一個(gè)交點(diǎn).錯(cuò)解聯(lián)立方程x2-y2=1，y=kx-1.消去y得（1-k2）x2+2kx-2=0.（1）當(dāng)1-k2=0，即k=±1.當(dāng)k=1時(shí)，x=1，即直線過點(diǎn)（1，0）與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k=-1時(shí)，x=-1，即直線過點(diǎn)（-1，0）與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).（2）當(dāng)1-k2≠0，即k≠±1時(shí)，當(dāng)Δ=0時(shí)，k2-2=0，得k=±2.即當(dāng)k=±2時(shí)，直線與雙曲
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2018年11期2018-09-25
- 競賽中的二次函數(shù)問題
二次不等式、二次方程相互聯(lián)系、相互滲透組成了一個(gè)特殊的“知識板塊”，這個(gè)“知識板塊”內(nèi)容豐富，技巧性強(qiáng)，能較好地考察學(xué)生的能力，在近年數(shù)學(xué)競賽中屢見不鮮，現(xiàn)把二次函數(shù)有關(guān)問題總結(jié)如下，僅供參考.1.求二次函數(shù)解析式評注:在求二次函數(shù)解析式時(shí)，要充分挖掘其圖像的幾何性質(zhì)，然后靈活選用二次函數(shù)解析式，可優(yōu)化解題過程.2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值3.二次函數(shù)與二次不等式例3 已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0恒成立
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2018年8期2018-08-30
- 二次方程的實(shí)根分布問題分類解析
17200)二次方程的實(shí)根分布問題分類解析鮑人燈(浙江省天臺育青中學(xué) 317200)本文就高考復(fù)習(xí)中的一類常見題型——含參的二次方程實(shí)根分布問題的求解方法，分類歸納，并舉例說明，對高考備考專題復(fù)習(xí)有參考價(jià)值.二次方程；實(shí)根分布；區(qū)間；取值范圍由二次方程的實(shí)根分布來求參數(shù)的取值范圍問題是對初中有關(guān)二次方程、二次函數(shù)的進(jìn)一步深化，并構(gòu)成高中數(shù)學(xué)的基本知識塊，是各種數(shù)學(xué)思想的交匯處，更是高考考查的熱點(diǎn).本文從函數(shù)、方程、不等式諸角度對這類問題分類解析，以使考生明
數(shù)理化解題研究 2017年31期2018-01-02
- 構(gòu)造二次方程求兩個(gè)三次根式的代數(shù)和
000)構(gòu)造二次方程求兩個(gè)三次根式的代數(shù)和江蘇省邗江中學(xué)(集團(tuán))北區(qū)校維揚(yáng)中學(xué) 王 群 (郵編：225000)注 此法證明比較麻煩,而且分解較難,對初中學(xué)生來說有一定難度.利用上述方法,我們?nèi)菀浊笞C下列幾個(gè)問題：綜上所述,這類問題的證明具有規(guī)律性,而且通俗易懂,計(jì)算也不太繁瑣.這種構(gòu)造法解題的數(shù)學(xué)思想對于啟迪學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)、創(chuàng)新和探索精神,拓寬學(xué)生視野,提高學(xué)生綜合解決問題的能力頗有益處.2017-09-20)
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2017年6期2017-12-18
- 淺談二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系進(jìn)行解讀，為考生的歸納復(fù)習(xí)提供建議和參考。關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；二次方程；關(guān)系；初中數(shù)學(xué)；函數(shù)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們好多的同學(xué)，都存在一個(gè)認(rèn)為是最難的知識點(diǎn)，那就是：“二次函數(shù)”。沒錯(cuò)，不僅僅是學(xué)生覺得二次函數(shù)難，包括大多數(shù)從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一線教師也會有同樣的感受。那么，怎樣才能學(xué)好二次函數(shù)，就成為了初中學(xué)生和老師最最苦惱的問題。二次函數(shù)之所以難，我認(rèn)為二次函數(shù)難就難在函數(shù)本身就是一個(gè)比較抽象的知識，再加學(xué)生接觸函數(shù)時(shí)間還不長的，同
中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究 2017年26期2017-12-10
- 處理多元函數(shù)最值問題的幾種常見方法
關(guān)于a，b的二次方程，因?yàn)?2ab這一項(xiàng)的存在，加大了題目的難度，如果改編成無ab項(xiàng)的二次方程，題目就成為了一道基礎(chǔ)題，可以用解析幾何等知識輕松解決。處理-2ab時(shí)有兩種思路，一是先湊成（2a+b），剩余的3b（2a-b）可根據(jù)基本不等式湊成含有（2a+b）的形式，需要熟練掌握配湊式子的系數(shù)，這就是解法一；二是根據(jù)ab的系數(shù)直接整理出（2a+），剩余的式子也是一個(gè)平方的形式，接下來可以選擇三角換元，柯西不等式等方法，選擇柯西不等式對考生處理式子的能力要求較
文理導(dǎo)航·教育研究與實(shí)踐 2017年9期2017-09-08
- 色散系數(shù)可調(diào)的球KdV方程精確衰減孤波解
,t)滿足齊二次方程(8)根據(jù)式(6)、式(7)和式(8)可得：若φ(x,t)是齊二次方程(8)的一個(gè)解，將其代入式(7)就得到球KdV方程(6)的解。式(7)和齊二次方程(8)就構(gòu)成了球KdV方程(6)的一個(gè)非線性變換。2 球KdV方程的精確衰減單孤波解設(shè)齊二次方程(8)的一個(gè)解為：φ(x,t)=1+eξ，ξ=λx+q(t)，(9)其中：λ為常數(shù)；q(t)為待定函數(shù)。將式(9)代入齊二次方程(8)得：由方程可解出:(10)其中：λ,C為任意常數(shù)。將解(1
- 構(gòu)造一元二次方程 巧求代數(shù)式的最值
●構(gòu)造一元二次方程 巧求代數(shù)式的最值山東省昌邑市柳疃初中(261302) 姜強(qiáng)柱 ●在數(shù)學(xué)競賽中，我們經(jīng)常會遇到求代數(shù)式的最值(最大值或最小值)問題，但被求最值的代數(shù)式又不是一般代數(shù)式，因而同學(xué)們都感到困難，覺的無從下手．對于這類問題，如果我們通過設(shè)元構(gòu)造一元二次方程，或者根據(jù)題設(shè)條件利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，利用一元二次方程的判別式便能巧妙的獲解．下面舉例說明．(1993年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)整理，得y2－10y+24=0，即(y－4)(y
數(shù)理化解題研究 2017年2期2017-04-13
- 例談“設(shè)且求”思想在解題中的應(yīng)用
,對通常涉及二次方程的設(shè)而不求問題,是否一定要借助設(shè)而不求的思想,如果可以不使用這種方法,如何突破解題的瓶頸.這個(gè)問題引起了筆者的注意,于是從求根的視角重新審視了這類問題.由于使用二次方程的求根公式求出的根較為復(fù)雜,是“暴力”地求出方程的根,可稱作“設(shè)且求”思想.現(xiàn)筆者從導(dǎo)數(shù)和解析幾何方面作一些探索,現(xiàn)分析如下,供大家參考.一、導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用某些函數(shù)的極值問題,求導(dǎo)之后發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)是二次方程的根,但此二次方程的根較為復(fù)雜,只能用求根公式求解.筆者發(fā)現(xiàn),常見的做
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2017年5期2017-04-05
- 另解一道多參數(shù)方程問題的競賽訓(xùn)練題
1)求證a是二次方程cx2+c(b?2c)x?(b?c)·(b2+c2)= 0的根;當(dāng)方程的兩個(gè)實(shí)根均為a時(shí),求的數(shù)值;(2)當(dāng)a=15,b=7時(shí),求c、t的取值.筆者參考文[1]的解法,獲得了另外一種解法,現(xiàn)撰文如下,供大家參考.解:(1)考察二次方程cx2+c(b?2c)x?(b?c)·(b2+c2)= 0,當(dāng)x=a時(shí):這個(gè)方程組有2個(gè)未知數(shù),一個(gè)自然的想法就是消元.那是消t,還是消c呢?文[1]是采用“消t”法,仿文[1],可得:由①得把③代入②得[
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2017年2期2017-03-28
- 夏玉米超高產(chǎn)栽培施肥效應(yīng)及推薦施肥量研究
濟(jì)產(chǎn)量，一元二次方程略高于三元二次方程（0.48%），二元二次方程略低于三元二次方程（-0.05%）；最佳經(jīng)濟(jì)產(chǎn)量施肥量，一元二次方程略高于三元二次方程（1.62%），二元二次方程略低于三元二次方程（-0.23%）；產(chǎn)投比一元二次方程略低于三元二次方程（0.7%），二元二次方程略高于三元二次方程（2.17%）。因此，可以采用3類7種效應(yīng)函數(shù)求解得到的氮、磷、鉀最佳經(jīng)濟(jì)產(chǎn)量施肥量的平均值作為推薦施肥量：即氮（N）300.80 kg/hm2、磷（P2O5）18
農(nóng)學(xué)學(xué)報(bào) 2016年10期2016-11-17
- 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“悟”的機(jī)會
下結(jié)論：二元二次方程若能表示直線，則（1）二元二次方程一定能因式分解為兩個(gè)二元一次方程的乘積；（2）二元一次方程中一次因式的乘積為二元二次方程中二次因式因式分解的結(jié)果；（3）二元二次方程中一次因式和常數(shù)項(xiàng)決定了二元一次方程的常數(shù)項(xiàng)數(shù)字.在求解二元二次方程表示直線的運(yùn)算中，先對二元二次方程二次因式進(jìn)行因式分解，再利用待定系數(shù)法確定二元一次方程中的常數(shù)項(xiàng).通過上面的結(jié)論，很多學(xué)生很快地解決了練習(xí)4，當(dāng)我給出例1和習(xí)題1時(shí)，他們也很快地找到了思路，并順利地解決.
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2016年15期2016-05-30
- 趣談中國古代數(shù)學(xué)中的方程問題
益術(shù)”；在解二次方程的過程中，出現(xiàn)了代數(shù)與幾何相結(jié)合的端倪；指數(shù)方程和代數(shù)的引入則是對“趣談”的最好詮釋.關(guān)鍵詞：直除法；損益術(shù)；互乘相消法；二次方程；不定方程代數(shù)學(xué)發(fā)源于9世紀(jì)的阿拉伯，最早見于阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的著作. 在中國，春秋戰(zhàn)國時(shí)期已有算術(shù)，而這些算術(shù)的主要形式就是正數(shù)的四則運(yùn)算，而這些四則運(yùn)算主要是為了解決人們在日常生活中的實(shí)際問題，后來隨著經(jīng)濟(jì)和文化的發(fā)展，到東漢初期的時(shí)候開始出現(xiàn)了未知數(shù)的應(yīng)用，人們根據(jù)實(shí)際問題的條件列方程為主要研究對象
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版 2016年3期2016-04-23
- 探析二次方程根的分布問題高考命題視角
.本文以一道二次方程根的分布的習(xí)題為例，就相關(guān)題型及解法進(jìn)行探究.以期拋磚引玉.題目（人教版必修5練習(xí)題）關(guān)于x的方程x2－（m+3）·x+m+3=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值集合.教材中并沒有對二次方程根的分布問題作系統(tǒng)的歸納，本文以此題為例，進(jìn)行題型歸納及解題方法總結(jié).一、解法展示解決此類問題可以從兩種視角入手.解法1：（利用二次函數(shù)圖像）方程x2－（m+3）x+m+3=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，即二次函數(shù)f（x）=x2－（m+3）x+m+
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年23期2015-07-25
- 車輛橫向主動控制的近似模型預(yù)測控制策略
在線求解最優(yōu)二次方程。這種在線計(jì)算的主要缺點(diǎn)是限制了模型預(yù)測控制在快速進(jìn)程下的應(yīng)用。模型預(yù)測控制廣泛應(yīng)用于車輛橫向控制。模型預(yù)測控制可以非常簡單高效地處理控制約束狀態(tài)下的線性系統(tǒng)。在車輛橫向動態(tài)控制中，對轉(zhuǎn)向角和轉(zhuǎn)向角速度的限制是典型的約束。通過引入適當(dāng)?shù)年P(guān)于求解二次方程、狀態(tài)、控制的權(quán)重因子，可以很輕松地創(chuàng)建模型預(yù)測控制器。提出了針對車輛橫向主動控制的近似模型預(yù)測控制策略。通過對預(yù)先計(jì)算得到的最優(yōu)解進(jìn)行插值，可以得到簡單快速計(jì)算近似最優(yōu)解的方法，這個(gè)方法
汽車文摘 2014年3期2014-12-18
- 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
圖象判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.掌握二次函數(shù)的對稱性、增減性、最值公式及圖象與性質(zhì)的關(guān)系，理解“三個(gè)二次”的內(nèi)在聯(lián)系，討論二次方程區(qū)間根的分布問題.endprint理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).能結(jié)合二次函數(shù)的圖象判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.掌握二次函數(shù)的對稱性、增減性、最值公式及圖象與性質(zhì)的關(guān)系，理解“三個(gè)二次”的內(nèi)在聯(lián)系，討論二次方程區(qū)間根的分布問題
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年5期2014-08-11
- 由特殊到一般的探究
于cosC的二次方程解得圖1說明如圖1所示，cosC的2個(gè)解分別可在△AB1C,△AB2C中求得，由余弦定理可驗(yàn)證其正確．sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,(3)圖2說明如圖2所示，例2也可以在△ABC中用余弦定理求解，在此不再贅述．從上述求解過程可以看到，由sinA到cosA有2個(gè)可能的取值，但這2個(gè)值能不能都取到還需要進(jìn)一步討論．更一般地，當(dāng)sinA=m，cosB=n時(shí)，cosC是不是有解？有幾個(gè)
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2014年10期2014-08-07
- 圓的方程
要考查：二元二次方程表示圓的充要條件，根據(jù)已知條件求圓的方程等，多數(shù)為中等難度的客觀題，突出“小而巧”，也有難度較大的與圓錐曲線的綜合題.endprint圓是平面解析幾何的重要部分，是高考命題的熱點(diǎn). 試題立足于課本，通過知識的交匯，考查圓的方程的綜合應(yīng)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力. 在本節(jié)，高考主要考查：二元二次方程表示圓的充要條件，根據(jù)已知條件求圓的方程等，多數(shù)為中等難度的客觀題，突出“小而巧”，也有難度較大的與圓錐曲線的綜合題.
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年1期2014-02-14
- Part3 So Many Clubs, So Little Time
在做了一整天二次方程后，釋放壓力，緩解大腦的疲勞。take a load off： relieve ones mind（減輕某人的精神負(fù)擔(dān)）。例如：Daily jogging takes a load off from my busy routine.每天慢跑可以讓我繁忙的日常生活輕松一些。⑥ I understand， but Im thinking of joining another club， and scaling back on my part
瘋狂英語·口語版 2013年12期2014-01-06
- 判別式為何失效了
——關(guān)于圓與圓錐曲線相切的問題
x(或y)的二次方程，當(dāng)Δx(或Δy)=0，二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根時(shí)，2條曲線有二重交點(diǎn)(即切點(diǎn))．消去y得 55x2-128ax+(64a2+17)=0,從而Δ=4·(64·9a2-55·17)=0,解得圖1圖2圖3圖4狀態(tài)3當(dāng)圓M沿x軸繼續(xù)向右平移時(shí)，2條曲線相交．由Δ>0得到2個(gè)解，再根據(jù)對稱性，得到4個(gè)交點(diǎn)A,A′,B,B′(如圖3)．狀態(tài)4圓M繼續(xù)右移，2個(gè)交點(diǎn)B,B′越來越接近，最后重合，成為了一個(gè)切點(diǎn)．交點(diǎn)A,A′還存在．此時(shí)，圓M部分在
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年9期2013-10-26
- 和值、平均遺漏值與理性購買體育彩票①
2得到，運(yùn)用二次方程擬合出來的曲線的擬合度達(dá)到0.687，F(xiàn)檢驗(yàn)為30.787。運(yùn)用三次方程擬合出來的曲線的擬合度為0.692，F(xiàn)檢驗(yàn)為20.240。由于兩者擬合度相差不大，但是二次方程F檢驗(yàn)的值明顯大于三次方程，據(jù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)知識知，選取二次方程較好。即（3）：雖然該擬合優(yōu)度沒有達(dá)到0.8的高度擬合程度，但已是非常接近，所以方程（1）可信。因此彩民通過對二次函數(shù)峰值上對的和值的數(shù)值來購買彩票。為了進(jìn)一步驗(yàn)證二次方程的可信程度，用SPSS軟件進(jìn)行多種函數(shù)平均
當(dāng)代體育科技 2012年34期2012-08-10
- 例談方程整數(shù)解問題的解法
招生考試中,二次方程整數(shù)解問題備受關(guān)注.它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)知識相結(jié)合,涉及知識面寬、范圍廣,往往需要靈活地運(yùn)用相關(guān)概念、性質(zhì)、方法和技巧,綜合性強(qiáng),對學(xué)生的能力有較高的要求.本文將對方程整數(shù)解問題的解法與基本策略作一探索,旨在拋磚引玉.1 巧用因式分解例1方程-m4+4m2+2nm2+2n+5=0的正整數(shù)解有( )A．1組 B．2組 C．4組 D．無窮多組(2009年浙江省溫州中學(xué)自主招生考試試題)解原方程可化為m4-(2n+4)m2-(2
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2011年6期2011-11-21
- pk元域上的二次方程與三次方程
，關(guān)于F上的二次方程與三次方程，對已有的研究成果進(jìn)行綜述，并給出這一課題研究步步深入的過程，同時(shí)，綜述F的單超越擴(kuò)域E上的二次方程的結(jié)果以及F上的三項(xiàng)方程的一些結(jié)果.本文中，0表示域的零元，e表示域的單位元.1 F上的二次方程筆者于1981年發(fā)表的第一篇數(shù)學(xué)文章［1］(也是首次公開發(fā)表的文章)，研究了素?cái)?shù)模p(p≥3)的二次同余方程，得到下面的定理1.1 設(shè)有ax2+bx+c≡0(modp)，a關(guān)于模p不為0，且素?cái)?shù)p≥3，記△≡b2－4ac，m=(p－1
泰山學(xué)院學(xué)報(bào) 2011年3期2011-01-23
- 突破點(diǎn)差法解雙曲線中點(diǎn)弦問題的難點(diǎn)
去一元后得到二次方程，然后運(yùn)用根的判別式等知識求解).但在實(shí)際中，許多學(xué)生習(xí)慣于開始都采用“點(diǎn)差法”，因而在求解某些雙曲線問題時(shí)，又不得不放棄原來的思路而改用“判別式法”.下面筆者提供2種突破方法,以供參考.方法1用平面區(qū)域思想突破.圖1解設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為P(x0,y0),則兩式相減得3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，即3(x1-x2)x0=(y1-y2)y0.因?yàn)閤1=x2不合題意，所以又
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2010年5期2010-11-22
- pk元域上的二次方程根的判定
pk元域上的二次方程根的判定孫宗明(泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東泰安 271021)本文中,F是一個(gè)pk元域,0表示F的零元,e表示F的單位元.設(shè)方程ax2+bx+c=0(a≠0)是F上的一個(gè)二次方程.利用擴(kuò)域的理論,討論它的根,完整地給出了它在F中的根的狀況:兩個(gè)不同的根、兩個(gè)相同的根、沒有根,確定了有根的必要充分條件,定義了根的判別式.同時(shí),研究了另外兩類相關(guān)的方程.pk元域;二次方程;根的判定;根的判別式本文中,F是pk元域,0表示F的零元,e表
泰山學(xué)院學(xué)報(bào) 2010年3期2010-09-14
- 函數(shù)中的三個(gè)“二次”及關(guān)系
次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系.一、例題分析例1 已知二次函數(shù)f（x）=ax ２+bx+c和一次函數(shù)g（x）=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c，a+b+c=0（a，b，c∈R）.求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B.證明：由y=ax２+bx+c，y=-bx，消去y得ax２+2bx+c=0.Δ=4b２－4ac=4（－a－c）２－4ac=4（a２+ac+c２）=4［（a+ ）２+ c２］.∵a+b+c
中學(xué)生數(shù)理化·教與學(xué) 2008年7期2008-11-04