孫宗明

(泰山學院數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,山東泰安 271021)

pk元域上的二次方程根的判定

孫宗明

(泰山學院數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,山東泰安 271021)

本文中,F是一個pk元域,0表示F的零元,e表示F的單位元.設方程ax2+bx+c=0(a≠0)是F上的一個二次方程.利用擴域的理論,討論它的根,完整地給出了它在F中的根的狀況:兩個不同的根、兩個相同的根、沒有根,確定了有根的必要充分條件,定義了根的判別式.同時,研究了另外兩類相關的方程.

pk元域;二次方程;根的判定;根的判別式

本文中,F是pk元域,0表示F的零元,e表示F的單位元.筆者于1980年寫成的[1]于1983年發(fā)表;此后,上海交通大學沈灝先生來信給筆者,討論[1]中所遺留的p=2的有關問題,至1984年,沈灝先生來信告訴筆者,他的學生完整地解決了p=2的情況,就是于1986年發(fā)表的[2];筆者利用[1]與[2]的有關結果,于1984年完成[3],并于1987年發(fā)表.[1]與[2]所得的結論與實數(shù)域上的二次方程的結論極其相似,但是,在pk元域上解決問題,卻有相當?shù)睦щy.本文利用擴域的理論,統(tǒng)一且自然地討論F上的二次方程,并給出根的判別式的概念.同時,研究了F的單超越擴域E上的二次方程,提出了有關的問題.

1 若干引理

引理1.1 設域K的特征數(shù)為p,而w為非負整數(shù),則對于任意的a1,a2,…,an∈K,有

證明 參見[4]的4.2,此處從略.

引理1.2 設w為非負整數(shù),

證明 參見[4]的4.9,此處從略.

引理1.4 對于任意的d∈F成立

因此,結論成立.證完.

定義1.5 F上的pk-1次多項式

稱為F的跡多項式.

引理1.6 對于?d∈F,成立

證明 由定義1.5,得

從而,由引理1.1及引理1.4,得

因此,引理得證.證完.

2 p≥3的情況

引理2.1 設有F上的二次方程

則有F上的二次方程

其中

并且,(1)與(2)同解.

證明 記4a=(4e)a,則有

并且,(1)在F中有根x=x0當且僅當(2)在F中有根y=y0=2ax0+b,從而,引理得證.證完.

這樣,(1)的研究就轉化為x2=d的研究,而d=0時x2=d有二重根0,下面研究d≠0的情況.

定理2.2 F上的方程x2=d(d≠0)在F中有根?dm=e,其中m=(pk-1)/2.

上面的△=b2-4ac,與實系數(shù)二次方程根的判別式相同.但是,它還不能作為(1)的根的判別式,因為△還不能直接區(qū)分出根的狀況.當△≠0時,由引理1.3可知△pk-1=e,而m=(pk-1)/2,即2m=pk-1,則有

從而得到

此外,△m=0當且僅當△=0.這就得出了下面的定義.

定義2.3 △m稱為(1)的根的判別式.

總結上面的討論,得到下面的定理.

定理2.4 設△=b2-4ac,m=(pk-1)/2,則(1)在F中的根的狀況是:

在F中有兩個不同的根?△m=e;

在F中有兩個相同的根?△m=0;

在F中沒有根?△m=-e.

證明 這是一個分斷式命題,只須證明一方即可,現(xiàn)在證明?.

當△m=e時,由定理2.2,有x0使x20=△.從而就有

當△m=0時,必有△=0,從而(2ax+b)2=0,于是得到

當△m=-e時,由定理2.2,在F上沒有根.證完.

當△m=-e時,ax2+bx+c是F上的二次不可約多項式,取其一根α,則F(α)是一個p2k元域.此時

從而,(1)在F(α)中有兩個不同的根.這樣,就得到下面的結論.

結論2.5 當△m=-e時,(1)在F的某個單擴域F(α)中有兩個不同的根.

關于定理2.2中的方程x2=d,可以類似地推廣到xn=d(d≠0),其中,n為正整數(shù),有下面的結論.

結論2.6 F中的方程xn=d(d≠0)在F中有根當且僅當du=e,其中

3 p=2的情況

當b=0時,方程(1)的根,在[1]中已解決,實際上,有下面的

結論3.1 2k元域上的方程(1)有兩個相同的根?b=0.

證明 ?設(1)有兩個相同的根x1=x2,則

?當b=0時,(1)可以寫為x2=a-1c.由引理1.2得,有x0∈F,使=a-1c.從而,(1)有兩個相同的根x1=x2=x0.實際上,x0=(a-1c)2k-1.證完.

下面討論b≠0的情況.

引理3.2 設有2k元域F上的二次方程

且b≠0,則有F上的方程

使(1)與(3)同解.

證明 對于(1),設x=a-1by,則

從而,(1)有根x=x0當且僅當(3)有根y=y0=ab-1x0,因此,(1)與(3)同解.證完.

這樣,(1)的研究就轉化為(3)的研究,而對于(3)可得,(3)在F中有根當且僅當有元素y∈F,使得y2+y=ab-2c.于是,就需要研究F中形狀為y2+y的元素.

引理3.3 集合

是跡多項式Tk(x)的所有根的集合.

證明 因為

即y-z為u2+u=0的一個根0或e,從而兩個元素y與y+e對應同一個元素y2+y,從而,{y2+y|y∈F}是2k-1元集合.

又因為

所以,y2+y是Tk(x)的根.而Tk(x)是2k-1次的,因此,結論成立.證完.

定理3.4 方程(3)在F中有根?Tk(Ω)=0,其中Ω=acb-2,并且,此時有兩個不同的根.

證明 ?設y=y0是(3)的一個根,則

由引理3.3得,Tk(Ω)=0.

?若Tk(Ω)=0,則Ω為Tk(x)的根.由引理3.3得,必有y0∈F,使得

所以,(3)在F中有根.此時,(3)有兩個不同的根y1=y0,y2=y0+e.因此,定理得證.證完.

根據(jù)上面的討論,很自然地引出下面的

定義3.5 稱Tk(Ω)為2k元域F上的方程(1)的根的判別式.

容易證明下面的

結論3.6 Tk(Ω)=e或0.

綜合上面的結論3.1與定理3.4及結論3.6,得到下面的定理.

定理3.7 2k元域F上的方程(1)在F中的狀況是:

有兩個相同的根?b=0;

有兩個不同的根?Tk(Ω)=0;

沒有根?Tk(Ω)=e.

定理3.7與定理2.4一樣,也是一個分斷式命題.

當Tk(Ω)=e時,y2+y+Ω是F上的不可約多項式.取其一根α,則F(α)為22k元域,并且

從而,(3)在F(α)中有兩個不同的根.這就得到下面的結論.

結論3.8 當Tk(Ω)=e時,(3)在F的某個單擴域F(α)中有兩個不同的根.

4 一類2ps次方程

[3]中研究了F上的一類2ps次方程,利用第2款與第3款中的結論,完整地給出了其根的狀況,就是下面的兩個定理.

定理4.1 設有F上的一類2ps次方程

其中p≥3,s為非負整數(shù),記

則(4)在F中的根的狀況是:

在F中有兩組不同的ps重根?△m=e;

在F中有2ps重根?△m=0;

在F中沒有根?△m=-e.

很自然地,稱△=b2-4psac是(4)在p≥3時的根的判別式.

定理4.2 設有F上的一類2ps次方程(4),其中p=2,s為非負整數(shù),則(4)在F中的根的狀況是:

在F中有兩組不同的ps重根?Tk(Ω)=0;

在F中有2ps重根?b=0;

在F中沒有根?Tk(Ω)=e.

很自然地,稱Tk(Ω)是(4)在p=2時根的判別式.

上面的兩個定理的證明參見[3],此處均從略.

類似地,可以討論F上的方程

5 F的單超越擴域上的二次方程

設E是F的單超越擴域,由[4]知,F上的未定元的有理函數(shù)域F(x)與E同構,從而就記E= F(x).

本款中,F的元素用a,b,c,…表示,E的元素用A,B,C,…表示;為方便,將單位元e記為1.

本款研究E上的二次方程

本款中,僅列出結論,相應的證明參見[5],此處均從略.

定義5.1 設A∈E,n為正整數(shù),若存在B∈E,使得Bn=A,則稱A是E的一個n方元素.

引理5.2 E中的任一個非零元素A均可以寫為A=f(x)/g(x),其中f(x),g(x)∈F[x],且(f(x),g(x))=1,f(x)或g(x)的首相系數(shù)為1.

定理5.3 設A∈E,A≠0,則A是n方元?存在f1(x),g1(x)∈F[x],并且(f1(x),g1(x))=1,f1(x)的首項系數(shù)為1,滿足A=(x)/(x).

推論5.4 設A≠0,A∈F[x],則A是E的p方元素?A是F[x]中xp的多項式.

定理5.5 設n為正整數(shù),A≠0,A∈E,則E上的方程yn=A在E中有根?存在f1(x),g1(x)∈F[x], (f1(x),g1(x))=1,f1(x)的首項系數(shù)為1,使得A=(x)/(x).

定理5.6 設域E的特征數(shù)p≥3,Ay2+B y+C=0(A≠0)是E上的二次方程,△=B2-4AC,則(6)在E中的根的狀況是:

在E中有兩個相同的根?△=0;

在E中有兩個不同的根?△≠0且△是平方元素;

在E中沒有根?△≠0且△不是平方元素.

引理5.7 設E特征數(shù)p=2,而

是E上的方程,其中f(x),g(x)∈F[x],(f(x),g(x))=1,g(x)的首項系數(shù)為1,則(7)在E上有兩個不同的根?存在f1(x),g1(x)∈f[x],(f1(x),g1(x))=1,g1(x)的首項系數(shù)為1,并且

定理5.8 設域E的特征數(shù)p=2,Ay2+B y+C=0(A≠0)是E上的二次方程,則(6)在E中的根的狀況是:

在E中有兩個相同的根?B=0且A-1C為平方元素;

在E中有兩個不同的根?B≠0且存在f1(x),g1(x)∈f[x],(f1(x),g1(x))=1,g1(x)的首項系數(shù)為1,使得

在E中沒有根?B=0且A-1C不為平方元素,或者,B≠0且對于任意f1(x),g1(x)∈F[x], (f1(x),g1(x))=1,g1(x)的首項系數(shù)為1,均有

6 結束語

上面討論了pk元域上的二次方程的根的判別問題,并且列出了一類2ps次方程的根的結論,還列出了pk元域F的單超越擴域E上的二次方程的根的結論.

實際上,下列兩方面的問題應該是本文的繼續(xù),準備另外撰文給以闡述.

問題6.1 三項方程.

作為方程(4)的自然的推廣,有F上的如下的方程

其中q為任意素數(shù),以及方程

其中n為任意正整數(shù).筆者在[6]與[7]給出了方程(8)與(9)的根的狀況.自然地,利用方程(6)的結論,可以討論E上的方程

其中n為任意正整數(shù),筆者也曾考慮了方程(10)的根的狀況.

問題6.2 根的公式.

筆者在[8]中給出了2k元域上的一類二次方程的根的公式,隨后,有同行繼續(xù)研究了[8]中的遺留問題.這是對二次方程的更為精細的討論.

不難看出,pk元域F及其有關的域上的二次方程的問題,其內容是相當豐富的,并且,可以從不同的角度進行不斷的擴展,全面地總結這方面的相關資料,也將會得到科研思維的基本訓練.

[1]孫宗明.pk(p≧3)元域上的二次方程的根的狀況[J].數(shù)學的實踐與認識,1983,(4):29-31(美國,M ath.Reviw s,1985(i): 11104).

[2]唐俊杰.有限域GF(2m)上的二次方程根的判定[J].數(shù)學的實踐與認識,1986,(2):57-59.

[3]孫宗明.pk元域上的2pS次方程的根的狀況[J].數(shù)學的實踐與認識,1987,(1):43-45(美國,M ath.Reviw s,1988年索引, P1094).

[4]熊全淹.近世代數(shù)[M].上海:上?？茖W技術出版社,1978.

[5]孫宗明.pk元域F的單超越擴域E上的二次方程[J].河北師范大學學報,1992,(3):14-16.

[6]孫宗明.pk元域上的方程ax2q+bxq+c=0[J].內蒙古師范大學學報,1990,(1):22-26(美國,M ath.Reviw s,1992(h):11110).

[7]孫宗明.pk元域上的二項方程和三項方程根的狀況[J].內蒙古師范大學學報,1991,(3):20-24(美國,M ath.Reviw s,1996(f): 12001).

[8]孫宗明.2k元域上的二次方程的根的公式[J].數(shù)學的實踐與認識,2001,31(6):732-733(美國,M ath.Reviw s,2002年索引, P1924).

The Judgem en t of Rootsof Quadratic Equa tionsover a Field w ith pkElem en ts

SUN Zong-m ing
(Schoo lofM athem atics and System s Science,Taishan Universiy,Tai’an,271021,China)

In this paper,let F be a field w ith pkelem en ts,0 be the zero elem en tof F and e be the unit elem entof F.Let ax2+bx+c=0(a≠0)be an equation over F.U sing theory of extension field,the author discusses thisequation,comp letely gives its roots,that is,it has two distinct rootsor two sam e roots,and it has no roots.The autho r setsnecessary and sufficientconditions that the equation has roots,and defines judgem en t exp ression of roo ts.A t the sam e tim e,the au tho r stud ieso ther two c lassesof equations,too.

fie ld w ith pkelem ents;quad ratic equation;judgem ent of roots;judgem ent exp ression of roots

O153.4

A

1672-2590(2010)03-0008-07

2010-04-06

孫宗明(1945-),男,山東嘉祥人,泰山學院數(shù)學與系統(tǒng)科學學院教授.