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(杭州市第十四中學 浙江杭州 310015)

判別式為何失效了
——關于圓與圓錐曲線相切的問題

●朱微

(杭州市第十四中學 浙江杭州 310015)

1 起：看似巧妙，卻得到了錯解

近日，筆者在課堂上給學生出了2道題．

|PN|2=x2+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18，

其中-b≤y≤b．

當0

b2+6b+9=50，

當b≥3時，|PN|2有最大值2b2+18．從而

2b2+18=50，

解得b=4．

(1)

得y2+6y+41-2b2=0,

(2)

從而

Δ=8(b2-16)=0，

解法1利用含參數的二次函數在固定區(qū)間上求最值的方法，需要分類討論，計算繁瑣．解法2靈活應用數形結合，計算簡潔，受到了學生的歡迎．但是，在例2中，解法2卻受到了質疑．

解(數形結合法)由題意,聯立方程組

(3)

消去y得 5x2-18ax+9(a2+3)=0,

(4)

從而Δ=36(4a2-15)=0,

(5)

解得

如果把結果代回檢驗，會發(fā)現這是個錯解．這道題的正解應為a=2或a=4．為什么對例1適用的好方法，在例2中卻是錯解呢？究竟是方法的錯誤還是我們用錯了方法呢？

2 承：仔細思考，原來變形并非等價

想到這里，筆者不禁對以前用代數法判斷直線與圓錐曲線的位置關系產生了懷疑．不妨以橢圓與直線為例,聯立方程組

得

2種消元變形中，x和y的取值范圍都被保留著，因此無需單獨說明．

3 轉：追根溯源，究竟何為相切

圓錐曲線又稱二次曲線．從代數的角度來看，2條圓錐曲線以及圓錐曲線與直線的交點問題，都是通過聯立方程，消元得到一個關于x(或y)的二次方程，當Δx(或Δy)=0，二次方程有2個相同的實數根時，2條曲線有二重交點(即切點)．

消去y得 55x2-128ax+(64a2+17)=0,

從而

Δ=4·(64·9a2-55·17)=0,

解得

圖1圖2圖3圖4

狀態(tài)3當圓M沿x軸繼續(xù)向右平移時，2條曲線相交．由Δ>0得到2個解，再根據對稱性，得到4個交點A,A′,B,B′(如圖3)．

狀態(tài)4圓M繼續(xù)右移，2個交點B,B′越來越接近，最后重合，成為了一個切點．交點A,A′還存在．此時，圓M部分在橢圓C內，部分在橢圓C外(如圖4)．

狀態(tài)5，6圓M繼續(xù)右移點B附近，2條曲線相交(如圖5)；交點A,A′越來越接近，最后重合，再次成為切點，此時圓M外切于橢圓(如圖6)．

圖5 圖6 圖7

狀態(tài)72條曲線外離，無公共點(如圖7)．

圖8

再看例2的過程圖(如圖8)，它經歷了內含、內切(1個切點)、相交(2個關于x軸對稱的交點)、外切(1個切點)、外離5個狀態(tài)．觀察圖像易知，關于x的二次方程(4)不可能存在二重根，只有內切和外切2種狀態(tài)符合題意．

4 合：圓錐曲線若相切，數形結合不容易

經過上述分析我們發(fā)現，圓與圓錐曲線相切(包括圓錐曲線之間)是個復雜的問題，切點可能是關于x的二重根，也可能是關于y的二重根．而2條曲線方程聯立時，為方便起見，一般得到的是關于x或y的二次方程．因此，只用Δ還不夠，還要結合過程圖來分析．這部分內容教材沒有出現，教師在給學生講解時要慎重．如果學生用了該方法，也要提醒學生多畫圖，多檢驗．

最后，讓我們在來做個鞏固練習．

即

5x2-40x+4(19-λ)=0．

圖9

總之，雙曲線的方程為

[1] 楊華.爭鳴：問題207評析[J]．數學通訊，2012(1):31-33．

[2] 衛(wèi)福山．爭鳴：問題221[J]．數學通訊，2012(12):31．