■浙江省仙居中學(xué)高三(6)班

題目：已知函數(shù)f(x)=log2(4xa·2x+a+1),若方程f(x)=x有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

1.視角1——函數(shù)角度,實(shí)根分布

因?yàn)榉匠蘬og2(4x+a·2x+a+1)=x有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即4x+a·2x+a+1=2x。

設(shè)t=2x,t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的正數(shù)解。

令f(t)=t2+(a-1)t+(a+1),由已知可得：

評(píng)注:該題比較綜合,它涉及復(fù)合函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、零點(diǎn)個(gè)數(shù)等知識(shí)點(diǎn);主要用了換元法和二次函數(shù)根的分布的處理技巧,是化歸轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)方程思想的應(yīng)用。通過換元法把指對(duì)數(shù)方程有根的問題轉(zhuǎn)化為了二次方程有根的問題,起到了化繁為簡(jiǎn)、化陌生為熟悉的作用;通過結(jié)合二次函數(shù)的圖像,用判別式、對(duì)稱軸、函數(shù)值來控制二次方程根的分布。實(shí)根分布是解決二次函數(shù)含參零點(diǎn)問題的一個(gè)通用方法。

2.視角2——方程角度,韋達(dá)定理

換元得：t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的正數(shù)解。

評(píng)注:韋達(dá)定理是從方程角度來思考的,實(shí)根分布是從函數(shù)角度來思考的。根只和正負(fù)有關(guān)時(shí)用韋達(dá)定理更簡(jiǎn)單,而實(shí)根分布更具有一般性,兩者很多時(shí)候可以相互轉(zhuǎn)化。

3.視角3——暴力求解,求根公式

換元得：t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的正數(shù)解。

由求根公式得：t1,2=

只需小根t1=

移項(xiàng)平方可解得-1＜a＜3-23。

評(píng)注:數(shù)學(xué)是自然的,數(shù)學(xué)的解題也應(yīng)該是自然的。二次方程有兩個(gè)正根,求出來,兩根都大于0,自然就解決問題了,這是最直接的想法了。

4.視角4——化歸轉(zhuǎn)化,分離參數(shù)

由t2+(a-1)t+(a+1)=0,得a=

令m=t+1(因?yàn)閠＞0,所以m＞1)。

評(píng)注:含參問題往往可以從分類討論和分離參數(shù)兩個(gè)角度來思考。這里分離參數(shù)后,可以轉(zhuǎn)化為水平線y=a和一個(gè)靜止的函數(shù)y=g(m)的圖像的交點(diǎn)問題。分離參數(shù)往往可以使含參問題避開煩瑣的分類討論過程。