馬紀(jì)英，王 宏，王 潮

（石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北石家莊 050021）

在代數(shù)發(fā)展歷程中，早期代數(shù)歷史其實(shí)就是方程的歷史。早在古巴比倫時(shí)期（諾伊格鮑爾《楔形文字?jǐn)?shù)學(xué)課本》）、古埃及時(shí)期（萊因德紙草書），以及稍近時(shí)期的丟番圖、歐幾里得、阿基米德、花拉子米等數(shù)學(xué)家都對(duì)二次方程，甚至特定類型的三次方程進(jìn)行了研究和求解。中世紀(jì)后，科學(xué)再次復(fù)蘇，方程的求解再次引起人們的重視，經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的努力，特別是費(fèi)羅、菲奧利、塔塔利亞、卡爾達(dá)諾、費(fèi)拉里等幾人之間的恩恩怨怨，后卡爾達(dá)諾于1545年出版了《大衍術(shù)》一書給出了一般三次方程和四次方程的代數(shù)解。

1 二次方程的代數(shù)解

因?yàn)橐话愣畏匠桃部梢詫懗?，故不妨設(shè)一般二次方程為

它有兩個(gè)解，分別是

我們知道是判別式。當(dāng)時(shí)，上面的根為兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，上面的根為兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，上面的根為兩個(gè)不相等的復(fù)根。

2 一般三次方程

不妨設(shè)一般的三次方程為

我們可以先對(duì)一般的三次方程做一個(gè)簡單的代數(shù)變換消去項(xiàng)，

令，一般三次方程化為消去項(xiàng)的不完全三次方程，下面我們只需考慮不完全三次方程。

3 不完全三次方程的變形

求解不完全三次方程。

令，方程變?yōu)?/p>

于是，滿足：

由②式可得，代入①式可得，這是一個(gè)關(guān)于的二次方程，根據(jù)二次方程的一般解可以得到

同樣，如果令代入，可得到，解這個(gè)方程可以得到

根據(jù)①式可知，和共有兩組解，不妨設(shè)

4 不完全三次方程的代數(shù)解

5 三次方程根的分析

直觀來看，前述三個(gè)根似乎第一個(gè)是實(shí)數(shù)，第二個(gè)和第三個(gè)是復(fù)數(shù)。其實(shí)不然，三個(gè)根都是建立在和的基礎(chǔ)之上的，問題是本身可能就是復(fù)數(shù)。

和都包含的平方根，而這個(gè)數(shù)有可能是負(fù)的。如果它是負(fù)的，和就是復(fù)數(shù)；如果它是正的，和就是實(shí)數(shù)。把稱為不完全三次方程的判別式，可得以下三個(gè)根的實(shí)際情況。

6 小結(jié)

對(duì)于一般的三次方程來說，不同于數(shù)值解，代數(shù)解的意思是如下形式的解[用表示的某個(gè)“代數(shù)”表達(dá)式]，其中“代數(shù)”的意思是“只包含加法、減法、乘法、除法和乘方、開方”。當(dāng)判別式為負(fù)時(shí)，也就是三次根號(hào)下的數(shù)為復(fù)數(shù)，這時(shí)人們不得不去尋找一個(gè)復(fù)數(shù)的立方根，這不是一件容易的事，所以三次方程的代數(shù)解盡管在理論上非常令人滿意，但不是特別實(shí)用。另外，四次方程代數(shù)解的求解方法總體上來說是降階法，簡化方程、降低階次，但所得的根的表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜，說起來要占用大量篇幅。五次及其以上的一般方程就沒有代數(shù)解了。