劉莉　閆旭

摘? 要：對2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題從考查內(nèi)容、分值、難度、思想方法，以及試題來源等方面進(jìn)行詳細(xì)分析，認(rèn)為試題深挖教材元素，突出了對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活運(yùn)用，加強(qiáng)了對學(xué)生數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用能力的考查，并以課程學(xué)習(xí)情境和探索創(chuàng)新情境為載體落實(shí)了《中國高考評價體系》中“四翼”的考查要求. 基于對試題考查內(nèi)容和命題特點(diǎn)的分析，提出了三角函數(shù)與解三角形專題的復(fù)習(xí)教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；解三角形；考查內(nèi)容；命題特點(diǎn)；教學(xué)建議

三角函數(shù)與解三角形內(nèi)容是連接代數(shù)與幾何的重要紐帶， 具有鮮明的工具性特點(diǎn)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，是普通高中數(shù)學(xué)課程的必修內(nèi)容，在學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起著重要作用. 其多與函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)、不等式、平面幾何、解析幾何等內(nèi)容交會考查，是歷年高考的必考點(diǎn)和命題熱點(diǎn). 本文主要圍繞2023年高考6份全國卷進(jìn)行三角函數(shù)與解三角形的命題分析.

一、考查內(nèi)容分析

2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題認(rèn)真貫徹高考改革的要求，嚴(yán)格依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）進(jìn)行命制. 試題關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出理性思維的價值，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對必備知識的深刻理解；優(yōu)化試題情境，進(jìn)一步加強(qiáng)對關(guān)鍵能力的考查，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升. 試題較好地發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔功能，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有積極的引導(dǎo)和促進(jìn)作用. 試題考查的主要特點(diǎn)如下.

1. 題型結(jié)構(gòu)和分?jǐn)?shù)比例差異明顯

2023年各份高考數(shù)學(xué)全國卷中，三角函數(shù)與解三角形試題在題型、題量和分值等方面有較大差異. 題型方面，全國甲卷（理科）、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷中的三角函數(shù)與解三角形試題涉及選擇題、填空題和解答題，全國甲卷（文科）、全國乙卷（理科）中的三角函數(shù)與解三角形試題涉及選擇題和解答題，全國乙卷（文科）中的三角函數(shù)與解三角形試題涉及選擇題和填空題；題量方面，較多的為全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷和全國甲卷（理科），均涉及4道三角函數(shù)與解三角形試題；分值方面，各份試卷中三角函數(shù)與解三角形試題的分值處于15～32分之間，分值最高的為全國新高考Ⅱ卷，其中的三角函數(shù)與解三角形試題共計32分，占全卷總分值的21.3%；分值最低的為全國乙卷（文科），其中的三角函數(shù)與解三角形試題共計15分，占全卷總分值的10%. 具體情況如表1所示.

2. 助力選拔，科學(xué)調(diào)控試題難度

2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題遵循基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性要求，秉持起步穩(wěn)、層次明、區(qū)分大的調(diào)控原則，命制適合不同水平學(xué)生的試題. “起步穩(wěn)”體現(xiàn)在試題針對選擇題、填空題、解答題三種題型進(jìn)行全面設(shè)計，其中選擇題和填空題均體現(xiàn)了固本強(qiáng)基的特點(diǎn)，如全國新高考Ⅰ卷第6題、全國新高考Ⅱ卷第7題、全國乙卷（文科）第10題和第14題、全國乙卷（理科）第6題等. 試題均從基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法入手，面向全體學(xué)生.“層次明”體現(xiàn)為試題重視考查學(xué)生思維的層次性，強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的理解、基本數(shù)學(xué)方法的掌握、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成和學(xué)生的思維水平層次，如全國新高考Ⅰ卷第6題、全國乙卷（理科）第10題等. 給學(xué)生提供了更廣闊的思考空間和更多的思考角度，為學(xué)生搭建了不同的分析問題和解決問題的平臺.“區(qū)分大”體現(xiàn)在大幅度增加了三角函數(shù)與解三角形知識與學(xué)科內(nèi)其他板塊知識的融合，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的綜合性和創(chuàng)新性要求，如全國新高考Ⅱ卷第22題、全國乙卷（理科）第10題、全國甲卷（文科）第12題和第20題、全國甲卷（理科）第7題、第10題和第21題等，通過與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、直線方程、常用邏輯用語等知識的交會，考查學(xué)生解決較復(fù)雜問題所需的綜合素養(yǎng)和能力，增強(qiáng)了試題的區(qū)分度. 這種設(shè)計，一方面為國家和高校選拔合格人才提供了基礎(chǔ)保障；另一方面，有利于引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)改革，助力優(yōu)秀人才的培養(yǎng).

3. 重點(diǎn)突出，加強(qiáng)對主干知識的考查

2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題延續(xù)了2022年的命制風(fēng)格，沒有直接考查角與弧度制、三角函數(shù)的定義和解三角形的實(shí)際應(yīng)用等知識，而是進(jìn)一步加強(qiáng)了對主干知識的考查. 例如，全國新高考Ⅰ卷第8題通過創(chuàng)設(shè)試題情境，考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及三角恒等變換的能力；全國甲卷（文科）第12題、全國甲卷（理科）第10題、全國乙卷（文科）第10題、全國乙卷（理科）第6題等，基于數(shù)形結(jié)合的思想方法重點(diǎn)考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；全國新高考Ⅰ卷第17題和全國新高考Ⅱ卷第17題等，以解三角形為突破點(diǎn)，發(fā)揮正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的工具性作用.

二、命題特點(diǎn)分析

1. 命題意圖分析

2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題通過全面、系統(tǒng)地考查核心概念、基本原理和基本方法，促使學(xué)生形成牢固的知識根基，掌握解決問題的思想方法，較好地檢測了學(xué)生的“四基”“四能”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 同時，試題的命制著重在反套路、反機(jī)械刷題方面下功夫，注重考查學(xué)生對學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力，落實(shí)《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）中“四翼”的考查要求，引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注學(xué)科本質(zhì)、提高教學(xué)效率，避免機(jī)械、無效的教學(xué).

此題還可以通過數(shù)形結(jié)合的方法來求解，由已知等差數(shù)列的公差為[2π3]和余弦函數(shù)的周期為3，不難得出問題情境相當(dāng)于將角0～2π平均分成三份，借助單位圓我們可以隨意作出將圓三等分的角的終邊. 再利用集合元素的互異性特點(diǎn)，可以肯定一個周期內(nèi)三個角的余弦值必有兩個相同，通過三角函數(shù)線的知識容易得到函數(shù)取值分別為1，[-12]，[-12]，或者[12]，-1，[12]兩種情況. 此題對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng)提出了較高要求.

命題評價：此題是集合、數(shù)列、三角函數(shù)的綜合題，對集合的概念和三角函數(shù)的周期性進(jìn)行了深入考查，既可以通過代數(shù)運(yùn)算方法求解，也可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 要求學(xué)生在解決復(fù)雜的綜合性問題時，善于抓住問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵，選擇合理的方法. 此題情境與人教B版教材必修第三冊第七章“三角函數(shù)”的“本章導(dǎo)語”緊密相連：被稱為“天津之眼”的天津永樂橋摩天輪在轉(zhuǎn)動過程中，我們可以觀察人位置的高度，也可以觀察人離摩天輪豎直中軸線的距離，區(qū)別就是利用正弦線知識還是余弦線知識來解決. 教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生將此題的背景改編為正弦型函數(shù)，以達(dá)到促進(jìn)學(xué)生將知識和方法內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)而有效落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得結(jié)果，難度較小，充分體現(xiàn)了人文關(guān)懷. 第（2）小題需要根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，確定[fx]在[0，1]上的單調(diào)性，求解時要靈活運(yùn)用三角函數(shù)的值域特點(diǎn)，對[0

命題評價：此題充分體現(xiàn)2023年高考數(shù)學(xué)試題強(qiáng)調(diào)學(xué)科內(nèi)知識的融會貫通，強(qiáng)調(diào)各分支內(nèi)容和學(xué)科之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生從整體上建構(gòu)知識框架，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 例如，全國新高考Ⅱ卷第22題、全國甲卷（文科）第20題和全國甲卷（理科）第21題，均將導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)巧妙地結(jié)合起來，通過對導(dǎo)函數(shù)的分析，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等相關(guān)問題. 試題延續(xù)了以往的命制風(fēng)格，將三角函數(shù)放在函數(shù)主題下，很好地考查了學(xué)生利用函數(shù)視角審視研究對象的意識和能力，同時借助導(dǎo)數(shù)和不等式等知識深入考查了分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

命題意圖：此題難度中等，既關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知程度，又關(guān)注了高考的選拔性功能，求解方法多樣，使不同思維水平的學(xué)生均有得分機(jī)會. 首先根據(jù)已知條件，可以利用余弦定理求出AC的長，然后根據(jù)等面積法求出AD的長，或根據(jù)正弦定理求出角B，C的度數(shù)，最后根據(jù)正弦定理或余弦定理求解即可.

命題評價：此題背景源于人教B版教材必修第四冊第九章“解三角形”復(fù)習(xí)題A組第7題，其均是在已知三角形兩角及一邊的情況下，研究角平分線問題. 此類問題在教材中頻繁出現(xiàn). 2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題中雖然未出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問題，但大部分試題都提供了多樣個性的解法，同樣體現(xiàn)了問題解決途徑的千差萬別，有效考查了學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)問題的能力，以及分析問題和解決問題的能力.

命題意圖：對于第（1）小題，首先由余弦定理求得邊[BC]的長為[7]，然后由余弦定理可得[cosB=5714]，最后由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得[sinB=2114.] 對于第（2）小題，可以利用[S△ABDS△ACD=4]，得[S△ACD=15S△ABC]，進(jìn)而求得[△ADC]的面積. 還可以在[△ABD]或者[△ABC]中求出角B或角C的度數(shù)，進(jìn)而求出[∠ABD]或[∠ADC]的度數(shù)，最后再次利用正弦定理或余弦定理求解.

命題評價：此題情境來源于人教B版教材必修第四冊習(xí)題9-1B的第2題，其本質(zhì)均是通過將三角形頂點(diǎn)與所對邊上確定點(diǎn)相連，進(jìn)而構(gòu)建出多個三角形結(jié)構(gòu)的問題，通常都是利用正弦定理、余弦定理和面積公式求解. 與之類似的還有全國新高考Ⅰ卷第6題和全國新高考全國Ⅱ卷第17題. 對于這類試題，不同解法會導(dǎo)致解題過程的簡潔性存在較大差異，這充分體現(xiàn)了在全面掌握研究方法的基礎(chǔ)上結(jié)合試題情境進(jìn)行方法選擇的重要性.

2. 命題導(dǎo)向分析

（1）回歸教材.

2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題的命制充分體現(xiàn)了以教材為基礎(chǔ)，挖掘教材中例題、習(xí)題和“本章導(dǎo)語”中的核心育人元素. 不難發(fā)現(xiàn)，除個別綜合性較強(qiáng)的試題外，大部分試題均能直接在教材中找到影子. 例如，全國甲卷（文科）第17題的情境源于人教B版教材必修第四冊“9.1.2 余弦定理”的例5，全國乙卷（文科）第10題的情境源于人教B版教材必修第三冊第七章“三角函數(shù)”復(fù)習(xí)題B組第8題，全國乙卷（文科）第14題的情境來源于人教B版教材必修第三冊“7.2.3 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”練習(xí)A的第1題. 今后高考數(shù)學(xué)試題的命制仍然會依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，關(guān)聯(lián)教材，進(jìn)而助推“雙減”政策落地.

（2）深化基礎(chǔ)性考查.

2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦定理、余弦定理、三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等核心內(nèi)容上實(shí)現(xiàn)了全覆蓋，通過創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境，既實(shí)現(xiàn)了對三角函數(shù)與解三角形部分主干知識的重點(diǎn)考查，體現(xiàn)了高考試題命制的基礎(chǔ)性原則，又注重對基礎(chǔ)知識和關(guān)鍵能力考查的有機(jī)結(jié)合. 例如，全國新高考Ⅱ卷第7題在考查二倍角公式的基礎(chǔ)上，側(cè)重考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，這是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的能力，具有鮮明的數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn). 綜觀近幾年高考三角函數(shù)與解三角形試題，其在加強(qiáng)情境創(chuàng)設(shè)的基礎(chǔ)上對學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高要求.

（3）強(qiáng)調(diào)理性思維.

2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題涵蓋核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識四部分考查內(nèi)容，重點(diǎn)考查學(xué)生的理性思維和數(shù)學(xué)探索能力，這也是對《體系》學(xué)科化和具體化的體現(xiàn). 每道試題的設(shè)計都是對數(shù)學(xué)知識的有機(jī)結(jié)合與運(yùn)用，對學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)抽象能力考查深入、具體. 例如，全國甲卷（文科）第12題、全國甲卷（理科）第10題、全國新高考Ⅰ卷第15題等，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)試題的課程學(xué)習(xí)情境和探索創(chuàng)新情境，這兩類情境是考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)抽象的重要載體，是實(shí)現(xiàn)高考選拔人才功能的重要依據(jù).

（4）加強(qiáng)綜合性考查.

2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題特別注重學(xué)科內(nèi)知識的交會，將三角知識與解析幾何、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列和邏輯用語等充分融合，體現(xiàn)了三角的本質(zhì)是幾何與代數(shù)的統(tǒng)一性. 例如，全國新高考Ⅰ卷第6題、全國新高考Ⅱ卷第22題、全國甲卷（理科）第7題和第21題及全國乙卷（理科）第10題等，要求學(xué)生在面對綜合性較強(qiáng)、情境較復(fù)雜的問題時，要有一定的探究能力和創(chuàng)新精神，具備較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和優(yōu)秀的思維品質(zhì). 這也體現(xiàn)了今后高考數(shù)學(xué)試題將繼續(xù)在大單元主題下整合學(xué)科內(nèi)及學(xué)科之間相關(guān)知識的命題導(dǎo)向.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)知識，掌握通性通法

高考三角函數(shù)與解三角形試題較為基礎(chǔ)，因此在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，教師要抓住主干知識，重視基本概念和基本方法，引導(dǎo)學(xué)生熟悉公式的推導(dǎo)過程，認(rèn)識到三角公式的推導(dǎo)方法實(shí)際上就是解三角問題的通性通法. 掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想將圖象與性質(zhì)緊密結(jié)合. 例如，關(guān)于對稱性問題，可以結(jié)合圖象來理解對稱中心、零點(diǎn)、對稱軸三者之間的關(guān)系，要在函數(shù)主題下把握三角函數(shù)，明確三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一．從函數(shù)角度出發(fā)，明確正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的研究方向，構(gòu)建函數(shù)主題的知識網(wǎng)絡(luò)．

2. 重視知識交會，拓展解題視角

近年來，高考對三角函數(shù)與解三角形部分的考查不限于本專題的知識體系內(nèi)，出現(xiàn)了大量與其他知識綜合考查的創(chuàng)新題. 例如，2022年全國乙卷（文科）第8題將三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等結(jié)合，要求判斷函數(shù)圖象；2023年全國新高考Ⅱ卷第22題與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等問題；2022年全國甲卷（文、理科）第16題與不等式結(jié)合，研究函數(shù)的最值問題．除此之外，也出現(xiàn)了以三角函數(shù)為背景的應(yīng)用題，以及與向量和數(shù)列等相結(jié)合的創(chuàng)新題. 例如，2023年全國乙卷（理科）第10題. 由此可見，在復(fù)習(xí)三角函數(shù)與解三角形專題內(nèi)容時，不僅要構(gòu)建本專題的知識網(wǎng)絡(luò)，還要將三角函數(shù)與學(xué)科內(nèi)其他知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，提升學(xué)生對學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力．

3. 加強(qiáng)專題訓(xùn)練，提升核心素養(yǎng)

三角函數(shù)與解三角形試題對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)要求較高. 因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可以采用專題的形式，從基礎(chǔ)落點(diǎn)出發(fā)，以問題串的形式為學(xué)生搭建能力提升的臺階，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，既可以采用“一題多解”尋找共性問題的不同解決途徑，并對各種方法進(jìn)行總結(jié)、提煉，讓學(xué)生在發(fā)散比較中整合知識，也可以運(yùn)用“多題一解”聚焦能解決不同問題的思想方法，挖掘題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在規(guī)律探尋中總結(jié)通性通法，形成知識網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4. 注重數(shù)形結(jié)合，把握思想方法

三角函數(shù)是典型的周期性函數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)通?？梢杂珊瘮?shù)圖象來刻畫. 因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生深刻體會數(shù)形結(jié)合思想方法，做到“以形助數(shù)，以數(shù)思形”. 近年來，高考三角函數(shù)與解三角形試題呈現(xiàn)出利用三角函數(shù)的圖象思考和分析問題，進(jìn)而達(dá)到簡化解題步驟的優(yōu)點(diǎn). 因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生利用已知條件準(zhǔn)確作圖、識圖的能力，同時要把握三角函數(shù)圖象伸縮和平移變換的本質(zhì)，注重感悟和理解試題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

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作者簡介：劉莉（1964— ），女，研究員，人民教育出版社《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（B版）》分冊主編、核心作者和培訓(xùn)專家，主要從事高中數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究；

閆旭（1981— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.