曲巍　張玉萍　吳麗華

摘? 要：2023年高考對概率與統(tǒng)計內(nèi)容的考查，既注重基礎(chǔ)，又關(guān)注應(yīng)用，在知識交會處體現(xiàn)綜合性，在問題背景和設(shè)問中體現(xiàn)創(chuàng)新. 試題立足《中國高考評價體系》，對學(xué)生的必備品格和關(guān)鍵能力進(jìn)行了全面考查，充分體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的功能.

關(guān)鍵詞：概率與統(tǒng)計；高考數(shù)學(xué)；命題分析

概率與統(tǒng)計知識作為服務(wù)人類生產(chǎn)和決策的重要理論，在高中數(shù)學(xué)課程中占據(jù)重要地位. 近年來，高考對此部分知識的考查日趨多元、開放和創(chuàng)新，試題背景也更加凸顯與生活的緊密聯(lián)系和概率與統(tǒng)計知識在生活中的廣泛應(yīng)用. 2023年高考數(shù)學(xué)全國卷和地方卷都在沿襲中有所發(fā)展，以更加豐富的問題背景和綜合的設(shè)問凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出考查統(tǒng)計思維，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值.

一、考查內(nèi)容分析

2023年高考概率與統(tǒng)計試題立足《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》），聚焦學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行命制，以穩(wěn)定的題型、適中的題量、適當(dāng)?shù)碾y度考查學(xué)生的必備品格和關(guān)鍵能力，突出“一核”評價功能，有效體現(xiàn)“四層”“四翼”的考核要求與內(nèi)容.

1. 考查內(nèi)容總覽

2023年高考對概率與統(tǒng)計專題的考查內(nèi)容如下.

計數(shù)原理：組合數(shù)、基本計數(shù)原理、二項展開式.

統(tǒng)計：分層抽樣，頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等數(shù)字特征的意義和計算，獨(dú)立性檢驗(yàn).

概率：全概率公式、條件概率、古典概型、幾何概型、頻率與概率、相互獨(dú)立事件、互斥事件、二項分布、超幾何分布、隨機(jī)變量的分布列和期望.

以上考查內(nèi)容是概率與統(tǒng)計專題中的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是近年來高考的高頻考點(diǎn). 2023年高考概率與統(tǒng)計試題通過命題背景的變換，持續(xù)考查學(xué)生運(yùn)用概率與統(tǒng)計的知識和思想方法分析問題、解決問題的能力，具有較強(qiáng)的綜合性和應(yīng)用性.

2. 考查特點(diǎn)分析

整體上看，全國卷中概率與統(tǒng)計部分試題的題量、題型、分值均較為穩(wěn)定，主要以“2小1大”（選擇題和填空題共計2道，解答題1道）呈現(xiàn)，分值為22分（全國甲卷文科“1小1大”，分值為17分）；地方卷則沿襲了各自近年來的考查特點(diǎn)，題型、題量、分值與往年基本保持一致，僅上海卷較往年增加了1道解答題.

試題難度整體較為適中，主要考查學(xué)生對必備知識的掌握與運(yùn)用情況，突出通性通法，對學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)進(jìn)行了全面考查. 同時，試題也在穩(wěn)中求新、穩(wěn)中求變，在知識的交會處設(shè)問，提升難度與思維含量. 例如，全國新高考Ⅰ卷第21題將概率與數(shù)列相結(jié)合，難度大幅度提升，有效考查了學(xué)生的各項關(guān)鍵能力.

二、命題特點(diǎn)分析

1. 命題意圖分析

2023年高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計試題，立足《體系》“四層”“四翼”的考查要求，既有社區(qū)服務(wù)、文藝匯演、作文比賽、選課或選讀物等緊密圍繞學(xué)生學(xué)習(xí)生活的問題背景，又有藥物檢測、產(chǎn)品檢測、信號傳輸、疾病診斷等服務(wù)社會生活與生產(chǎn)的問題背景，凸顯了時代性和應(yīng)用性的命題導(dǎo)向，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和高考的育人功能.

（1）關(guān)注必備知識的考查，突出基礎(chǔ)性.

例1 （全國新高考Ⅰ卷·9）有一組樣本數(shù)據(jù)[x1，x2，…，x6]，其中[x1]是最小值，[x6]是最大值，則（? ? ）.

（A）[x2，x3，x4，x5]的平均數(shù)等于[x1，x2，…，x6]的平均數(shù)

（B）[x2，x3，x4，x5]的中位數(shù)等于[x1，x2，…，x6]的中位數(shù)

（C）[x2，x3，x4，x5]的標(biāo)準(zhǔn)差不小于[x1，x2，…，x6]的標(biāo)準(zhǔn)差

（D）[x2，x3，x4，x5]的極差不大于[x1，x2，…，x6]的極差

答案：BD.

考查目標(biāo)：對平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念及含義的理解.

命題意圖：通過判斷抽象的、相關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的大小關(guān)系，考查學(xué)生對數(shù)字特征相關(guān)基本概念的掌握情況和對各數(shù)字特征含義的理解.

命題評價：此題屬于基礎(chǔ)題，起點(diǎn)低，入手易. 若對概念的本質(zhì)有深刻理解，了解每個數(shù)字特征的意義，可以省去很多計算，直接得到答案；若只知道每個數(shù)字特征的計算公式，也可以逐一列式計算，并用特殊值輔助求解，但與前者相比會花費(fèi)較多時間. 因此，教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識每個數(shù)字特征的意義，并幫助學(xué)生理解不同數(shù)字特征之間的聯(lián)系與區(qū)別，了解它們的共性和差異.

高考對概率與統(tǒng)計內(nèi)容的考查充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，試題難度以中檔偏下居多，如全國甲卷（理科）第6題（條件概率）和第9題（計數(shù)原理）、全國甲卷（文科）第4題（古典概型、組合數(shù)）、全國乙卷（理科）第7題（乘法公式）、全國乙卷（文科）第9題（古典概型）、全國新高考Ⅰ卷第13題（組合數(shù)）、全國新高考Ⅱ卷第3題（分層抽樣、組合數(shù)）、北京卷第5題（二項式定理）、天津卷第11題（二項式定理）等，都直接考查對基本概念的理解和對公式的掌握與應(yīng)用.

（2）關(guān)注統(tǒng)計思維的考查，突出應(yīng)用性.

例2 （全國新高考Ⅱ卷·19）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖1和圖2所示.

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值[c]，將該指標(biāo)大于[c]的人判定為陽性，小于或等于[c]的人判定為陰性. 此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為[pc]；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為[qc]. 假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布. 以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

考查目標(biāo)：對頻率分布直方圖、用頻率估計概率、分段函數(shù)、函數(shù)最值的理解與應(yīng)用.

命題意圖：以大量的文字信息背景作鋪墊，考查學(xué)生的閱讀能力、信息轉(zhuǎn)化能力和理性思維；以現(xiàn)實(shí)生活中的診斷分析體現(xiàn)概率與統(tǒng)計的應(yīng)用價值，考查學(xué)生用概率統(tǒng)計思想解釋現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象的能力.

命題評價：此題考查的知識點(diǎn)都屬于基礎(chǔ)的應(yīng)知應(yīng)會內(nèi)容，且運(yùn)算過程合理、運(yùn)算量適中. 但是試題情境具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，有較高的抽象性，對學(xué)生的思維強(qiáng)度要求較高. 對學(xué)生而言，此題存在較大的閱讀理解難度，特別是要轉(zhuǎn)化文字信息，與相應(yīng)頻率分布直方圖對應(yīng)，并寫出概率表達(dá)式. 要求學(xué)生有較強(qiáng)的理論聯(lián)系實(shí)際的能力和分析問題、解決問題的能力，較好地考查了學(xué)生的思維品質(zhì).

高考概率與統(tǒng)計解答題的命制，一方面，著力體現(xiàn)知識的應(yīng)用性；另一方面，側(cè)重通過不同的背景實(shí)現(xiàn)對思維的考查. 全國甲卷（文、理科）第19題、全國乙卷（文、理科）第17題、北京卷第18題分別通過藥物檢測、環(huán)境檢測、產(chǎn)品檢測、價格預(yù)測等實(shí)際背景，體現(xiàn)考查內(nèi)容的應(yīng)用性，考查學(xué)生的概率統(tǒng)計思維和數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

（3）關(guān)注對關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，突出試題的綜合性和創(chuàng)新性.

例3 （全國新高考Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

考查目標(biāo)：對全概率公式、等比數(shù)列、兩點(diǎn)分布、期望的掌握與靈活應(yīng)用.

命題意圖：在知識交會處設(shè)問，在考查學(xué)生對概率思想的領(lǐng)會與理解的同時，考查學(xué)生思維的靈活度和創(chuàng)新性，對學(xué)生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了更高要求，可以有效檢測學(xué)生思維的全面性、嚴(yán)謹(jǐn)性和細(xì)致性.

命題評價：試題背景是學(xué)生熟知的投籃問題，通過從具體的投籃次數(shù)推廣到未知的投籃次數(shù)，由淺入深實(shí)現(xiàn)對學(xué)生高階邏輯推理能力和綜合能力的檢測.試題的創(chuàng)新之處在于跳出常規(guī)的概率思考區(qū)，將等比數(shù)列的構(gòu)造與求解自然融入其中，完美詮釋高考試題的綜合性和創(chuàng)新性. 試題難度與其在整張試卷中所處的位置相匹配，有效突出“一核”的評價功能．

2. 命題導(dǎo)向分析

（1）關(guān)注教材，服務(wù)“雙減”.

教材是高考命題的重要依據(jù)，概率與統(tǒng)計試題的命制始終堅持以教材為藍(lán)本，充分對教材問題進(jìn)行拓展、改編和整合，有意引導(dǎo)教學(xué)回歸教材，服務(wù)“雙減”落實(shí)，在反套路、反刷題的道路上不斷前行.

例4 （全國新高考Ⅱ卷·12）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立. 發(fā)送0時，收到1的概率為[α 0<α<1]，收到0的概率為[1-α]；發(fā)送1時，收到0的概率為[β 0<β<1]，收到1的概率為[1-β]. 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次. 收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（? ? ）.

（A）采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為[1-α1-β2]

（B）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為[β1-β2]

（C）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為[β1-β2+1-β3]

（D）當(dāng)[0<α<0.5]時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

【評析】此題背景源自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第三冊（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）第51頁例6. 其均以數(shù)字信號傳輸為背景命制，高考試題將教材例題中具體的數(shù)字抽象成數(shù)學(xué)符號，更具一般性；將例題中的一次傳輸拓展為三次傳輸，從簡單到復(fù)雜，能進(jìn)一步檢測學(xué)生的思維和能力.

例5 （全國甲卷·理9）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（? ? ）.

（A）120種 （B）60種

（C）40種? （D）30種

【評析】此題的設(shè)問與人教A版教材習(xí)題6.1的第11題的設(shè)問一正一反. 相比于高考試題，教材習(xí)題的設(shè)問更復(fù)雜. 若學(xué)生能夠透徹地理解教材習(xí)題，解決高考試題將輕而易舉.

例6 （全國甲卷·理19）一項試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

（1）設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

【評析】此題依據(jù)知識的內(nèi)在聯(lián)系，將教材中的例題和習(xí)題進(jìn)行整合，構(gòu)建了新問題. 背景源于人教A版教材第79頁例6和第134頁練習(xí)3. 教材例6不放回抽取20個球，其中黃球的個數(shù)為隨機(jī)變量，對應(yīng)理解超幾何分布；高考試題以某兩只小白鼠在對照組的個數(shù)為隨機(jī)變量，考查超幾何分布及其數(shù)學(xué)期望. 教材練習(xí)題直接給出了分析藥物A對預(yù)防疾病B療效的2 × 2列聯(lián)表，是直接利用[χ2]的計算公式解決判斷兩個分類變量關(guān)聯(lián)性的問題；高考試題給出對照組和試驗(yàn)組兩組具體數(shù)據(jù)，學(xué)生需要依據(jù)實(shí)際問題的具體要求，獨(dú)自列出2 × 2列聯(lián)表，再利用[χ2]計算公式得出能有95%的把握認(rèn)為藥物對小白鼠生長有抑制作用，難度有所提升. 此題不僅創(chuàng)設(shè)了符合實(shí)際的新背景，還全面考查了學(xué)生的“四基”“四能”，展現(xiàn)了高考試題源于教材、高于教材的立意.

以上高考試題與教材例題和習(xí)題的對比，僅是高考命題的縮影. 在《體系》的引領(lǐng)下，高考試題的命制會進(jìn)一步在回歸教材、立足教材、拓展教材上傾注心血，繼續(xù)在深入挖掘教材的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)新情境、構(gòu)建新問題.

（2）關(guān)注思維，淡化“輪換”.

以往高考試題對有關(guān)知識點(diǎn)的考查會結(jié)合近年歷次高考中此知識點(diǎn)的考查頻數(shù)，向頻數(shù)小的知識內(nèi)容傾斜，但是對比近3年高考概率與統(tǒng)計試題，可以看到命題更趨向?qū)诵闹R本質(zhì)的考查，突出對概率的意義和統(tǒng)計思想的檢測，而弱化了知識點(diǎn)本身出現(xiàn)的頻次. 對于重要的、能反映概率的意義和統(tǒng)計思想的問題，不乏頻繁出現(xiàn)的跡象. 例如，近幾年高考對平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的考查從未中斷，具體涉及2023年全國新高考Ⅰ卷第9題，2021年全國新高考Ⅰ卷第9題、全國新高考Ⅱ卷第9題，2021年全國甲卷（文、理科）第2題等，其都在以不同的背景考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差概念的本質(zhì). 再如，2023年全國新高考Ⅱ卷第19題借助頻率分布直方圖考查學(xué)生的概率與統(tǒng)計思維，2022年全國新高考Ⅱ卷第19題和2021年全國甲卷（文、理科）第2題同樣結(jié)合頻率分布直方圖展開系列設(shè)問. 2023年全國乙卷（文、理科）第17題考查平均數(shù)和方差的性質(zhì)，并要求學(xué)生判斷伸縮率是否有顯著提高，其與2021年全國乙卷（文、理科）第17題的考查方向基本一致. 在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，教師要重視對學(xué)生思維的訓(xùn)練與提升，要全面復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識，切忌主觀忽視高頻問題.

（3）關(guān)注綜合，服務(wù)選才.

前文例3（2023年全國新高考Ⅰ卷第21題）的命制，再次打破了高考概率與統(tǒng)計試題的“舒適區(qū)”，提升了難度系數(shù). 2021年全國新高考Ⅱ卷曾首次在第21題的位置設(shè)置以微生物多代繁殖為背景的概率與函數(shù)相結(jié)合的試題，形式新穎、跳躍性大，且第（3）小題為開放性問題，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價值. 2023年高考概率與統(tǒng)計試題的命制繼續(xù)在綜合性和創(chuàng)新性上有所突破，突出高考服務(wù)選才的評價功能，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考引領(lǐng)了方向.

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 注重以教材為主的精講精練教學(xué)

從上述的命題導(dǎo)向分析不難看出教材對實(shí)際教學(xué)和高考試題命制的重要作用. 因此，要深入挖掘教材中的例題和習(xí)題，進(jìn)行精講、精析、精練. 借助典型例題和習(xí)題，梳理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，深化數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 在此過程中，既要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注過程、完善書寫，更要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解決問題的一般方法. 同時，要注重借鑒高考試題，對典型問題進(jìn)行鞏固變式，拓寬學(xué)生的視野，多角度考查核心問題，切忌單純地模仿記憶訓(xùn)練.

2. 注重以基礎(chǔ)為主的通性通法教學(xué)

“四基”是學(xué)生發(fā)展的重要基石，更是高考的主要考查內(nèi)容. 對于概率與統(tǒng)計專題內(nèi)容的復(fù)習(xí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立分析問題，使其內(nèi)化對基本概念的理解，明晰概率的意義和統(tǒng)計思想，明確數(shù)據(jù)分析的方法；要側(cè)重將知識的發(fā)生發(fā)展過程呈現(xiàn)給學(xué)生，關(guān)注一類問題的解決策略，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，強(qiáng)化理解性記憶.

3. 注重以能力提升為主的綜合訓(xùn)練

高考概率與統(tǒng)計試題的命制背景日趨復(fù)雜. 教學(xué)中，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生獲取信息、分析信息、轉(zhuǎn)化信息的能力，越是文字量大、信息量多的問題，越要放手讓學(xué)生獨(dú)立完成閱讀與分析轉(zhuǎn)換. 要螺旋上升地培養(yǎng)學(xué)生利用概率的意義和統(tǒng)計思想分析問題、解決問題的習(xí)慣和能力，明確在不同背景和需求下，使用不同的方法選擇、統(tǒng)計、分析數(shù)據(jù)，著力提升學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和對統(tǒng)計思想的感悟，增強(qiáng)學(xué)生“用數(shù)據(jù)說話”的意識. 同時，還要注重概率與統(tǒng)計知識與其他知識的交會和聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)思想方法的融會貫通，提升學(xué)生分析、處理綜合性問題的能力.

四、典型模擬題

1. 某學(xué)校在校門口建造一個花圃，花圃分為9個區(qū)域（如圖3），現(xiàn)要在每個區(qū)域栽種一種不同顏色的花，其中紅色、黃色兩種花被隨機(jī)地分別種在不同的小三角形區(qū)域，則它們在不相鄰（沒有公共邊）區(qū)域的概率為（? ? ）.

2.（多選題）金槍魚因?yàn)槿赓|(zhì)柔嫩鮮美、營養(yǎng)豐富深受現(xiàn)代人喜愛，常被制作成罐頭食用，但當(dāng)這種魚罐頭中的汞含量超過1.0 mg / kg時，食用它就會對人體產(chǎn)生危害. 某工廠現(xiàn)有甲、乙兩條金槍魚罐頭生產(chǎn)線，現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線中各隨機(jī)選出10盒罐頭并檢驗(yàn)其汞含量（單位：mg / kg），其中甲生產(chǎn)線統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99，其方差為[s12=0.08]；乙生產(chǎn)線統(tǒng)計數(shù)據(jù)的均值為[x2=0.4]，方差為[s22=0.11]，下列說法正確的是（? ? ）.

（A）甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭樣本汞含量數(shù)值的上四分位數(shù)是0.82

（B）甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭樣本汞含量數(shù)值的上四分位數(shù)是0.775

（C）由樣本估計總體，甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭樣本汞含量平均值高于兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量平均值

（D）由樣本估計總體，甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭樣本汞含量數(shù)值較兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值更穩(wěn)定

答案：BCD.

3. 生產(chǎn)某種特殊零件的廢品率為[p 0

（1）求[p0]；

（2）若工廠生產(chǎn)該零件的廢品率為[p0].

① 從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個零件，設(shè)其中優(yōu)等品的個數(shù)為X，記[Pk=P X=k，k=0，1，…，n]，已知[X=5]時優(yōu)等品概率[Pk]最大，求[n]的最小值；

② 已知每個零件的生產(chǎn)成本為80元，合格品每件售價150元，同時對不合格零件進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)為合格后正常售賣，若仍不合格以每件10元的價格出售，若每個不合格零件修復(fù)為合格零件的概率為0.5，工廠希望一個零件至少獲利50元，試求一個零件的修復(fù)費(fèi)用最高多少元.

答案：（1）[0.2].（2）① 14；② 30元.

4. 碳中和是指國家、企業(yè)、產(chǎn)品、活動或個人在一定時間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放量，實(shí)現(xiàn)正負(fù)抵消，達(dá)到相對“零排放”. 2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.” 某工廠響應(yīng)國家號召，隨著對工業(yè)廢氣進(jìn)行處理的新技術(shù)不斷升級，最近半年二氧化碳排放量逐月遞減，具體數(shù)據(jù)如表3所示.

（1）這6個月中，任取2個月，求已知其中1個月的碳排放量低于6個月碳排放量的平均值的條件下，另1個月碳排放量高于6個月碳排放量的平均值的概率；

（2）若用函數(shù)模型 p = p0ekt 對兩個變量月份 t 與排放量 p 進(jìn)行擬合，根據(jù)表3中數(shù)據(jù)，求出 p 關(guān)于 t 的回歸方程.

參考文獻(xiàn)：

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基金項目：黑龍江省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度重點(diǎn)課題——基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐研究（JJB1421242）；

黑龍江省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度重點(diǎn)課題——“輕負(fù)高質(zhì)”的高中數(shù)學(xué)教與學(xué)模式的實(shí)踐研究（JJB1422244）.

作者簡介：曲?。?981— ），女，助理研究員，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

張玉萍（1971— ），女，中學(xué)高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

吳麗華（1964— ），女，研究員，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.