薛紅霞　謝永清

摘? 要：分析2023年高考立體幾何試題的內(nèi)容特點(diǎn)，探析其命題意圖：引導(dǎo)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開展；注重對(duì)作圖能力和空間幾何體中基本元素關(guān)系的研究；提供多角度思考問題的情境，在綜合情境中考查學(xué)生分析問題的能力. 歸納命題導(dǎo)向，即注重立體幾何學(xué)習(xí)的基本功和研究方法的多樣性. 在此基礎(chǔ)上給出2024年立體幾何專題內(nèi)容的復(fù)習(xí)備考建議．

關(guān)鍵詞：立體幾何；命題分析；直觀想象；數(shù)學(xué)探究

2023年高考立體幾何試題依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求命制，突出對(duì)立體幾何部分基礎(chǔ)知識(shí)的考查，延續(xù)原有命題風(fēng)格且適當(dāng)創(chuàng)新. 部分試題從不同視角切入可以產(chǎn)生不同的解法，在關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異性的同時(shí)，引導(dǎo)教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和批判性；部分試題凸顯立體幾何學(xué)習(xí)的基本方法，突出“理念作圖”，側(cè)重對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的考查；部分試題的情境來源于數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，充分考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 本文結(jié)合具體試題，對(duì)2023年高考立體幾何試題的立意展開深入剖析，力求揭示其對(duì)教學(xué)的引導(dǎo)作用．

一、考查內(nèi)容分析

2023年各份高考數(shù)學(xué)試卷中，立體幾何試題的數(shù)量相對(duì)均衡. 其中，北京卷、上海卷和天津卷中各包含1道客觀題，全國乙卷（理科）中包含3道客觀題，其他試卷中均包含2道客觀題；各份試卷中均包含1道立體幾何解答題. 客觀題部分，全國乙卷（文、理科）中各有1道試題處于同類題型第3題的位置，其他試題排在同類題型比較靠后的位置；解答題部分，除全國新高考Ⅱ卷中位于第20題的位置外，均排在前3題的位置. 由此可知，2023年高考立體幾何試題難度跨度較大，且客觀題以中檔題和難題為主，解答題以容易題和中檔題為主.

2023年高考立體幾何試題均以柱體、錐體、臺(tái)體和球體為情境，以表面積、體積、角、線段長(zhǎng)等及其相關(guān)元素的計(jì)算求解為目標(biāo)，覆蓋對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)與度量，以及空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系等核心知識(shí)的考查，研究方法上兼容綜合法和向量法．命題形式和考查內(nèi)容都是學(xué)生比較熟悉的，但是深挖命題背景，會(huì)發(fā)現(xiàn)部分試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究的過程，這是創(chuàng)新點(diǎn)所在. 相較于2022年高考立體幾何試題，沒有出現(xiàn)判斷位置關(guān)系的客觀題和開放性試題．

二、命題特點(diǎn)分析

1. 命題意圖分析

（1）傳承中有所創(chuàng)新，注重立體幾何的研究方法.

對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)與度量的考查常以幾何體的切截為載體，2023年高考在保持以往考查特點(diǎn)的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新.

① 創(chuàng)新情境，一般觀念指引下的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是源泉.

例1 （全國新高考Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（? ? ）.

（A）直徑為0.99 m的球體

（B）所有棱長(zhǎng)均為1.4 m的四面體

（C）底面直徑為0.01 m，高為1.8 m的圓柱體

（D）底面直徑為1.2 m，高為0.01 m的圓柱體

考查目標(biāo)：此題考查正方體、球體、正四面體、圓柱體的結(jié)構(gòu)特征，以及基本元素的度量. 突出考查綜合情境下學(xué)生分析問題的能力和空間想象能力．

命題意圖：此題考查學(xué)生對(duì)空間幾何問題的分析與轉(zhuǎn)化能力，考查學(xué)生思維的靈活性. 試題情境新穎，且與生活聯(lián)系密切. 要求學(xué)生抓住確定幾何體的基本元素，如球體的球心和半徑、正四面體的棱長(zhǎng)、圓柱的高和底面圓的半徑等，將問題轉(zhuǎn)化為探求相關(guān)基本元素與正方體的中心、棱長(zhǎng)、面對(duì)角線、體對(duì)角線的長(zhǎng)度之間的關(guān)系，進(jìn)而求解. 如果學(xué)生的思維停留在幾何體整體上，解題思路就會(huì)受阻．

如圖1，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為1 m的正方體中存在棱長(zhǎng)為[2]m的正四面體，故選項(xiàng)B正確. 如圖2，在與體對(duì)角線垂直的所有截面中，最大截面為正六邊形，其內(nèi)切圓直徑為[62>1.2]，故能夠放入一個(gè)底面直徑為1.2 m的非常薄的圓柱. 那么，這個(gè)圓柱的高能否達(dá)到0.01 m呢？如圖3，通過三角形相似可以計(jì)算出允許放入的圓柱高的最大值為[3-1.2×2>]

命題評(píng)價(jià)：此題突出考查研究立體幾何的一般觀念，即研究其基本組成元素. 對(duì)于選項(xiàng)A，要研究球體能否整體放入正方體中，當(dāng)球心與正方體的中心重合時(shí)，只需要考查球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)之間的大小關(guān)系即可. 其他三個(gè)選項(xiàng)的求解思路與此類似，只要抓住幾何體的基本元素即可．

對(duì)于選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，可以統(tǒng)一為探究“正方體中與體對(duì)角線垂直的截面的內(nèi)切圓面積”. 選擇恰當(dāng)?shù)淖宰兞浚磮D3中的AJ = x，建立內(nèi)切圓半徑r與它的函數(shù)關(guān)系r =[22]x[0

將此題一般化，即為《標(biāo)準(zhǔn)》中的“案例11 正方體截面的探究”. 與之相關(guān)的試題還有2018年全國Ⅰ卷（理科）第12題，2022年全國乙卷（理科）第9題. 各版本教材中與正方體有關(guān)的例題和習(xí)題都很多，如人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第35頁的第2題和第3題等．

② 理念作圖，直觀想象素養(yǎng)展風(fēng)采.

例2 （全國甲卷·理15）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點(diǎn)．以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______．

考查目標(biāo)：試題考查正方體和球體的結(jié)構(gòu)特征，以及基本元素的度量；考查學(xué)生分析問題的能力和空間想象能力．

命題意圖：此題考查學(xué)生對(duì)立體幾何基本技能的掌握情況及相應(yīng)的空間想象能力. 求解此題，首先要按要求畫出正方體，并找到球心O和直徑EF，如圖4所示. 依據(jù)正方體和球的對(duì)稱性分析、想象與作圖，可以將正方體與球的切截問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)圓與正方形的切截問題，如圖5所示. 只要計(jì)算出圓的直徑與正方形對(duì)角線長(zhǎng)即可. 計(jì)算求得OM = OE，所以球O與棱BB1相切. 故根據(jù)正方體和球的對(duì)稱性，可知交點(diǎn)總數(shù)為12.

此題考查學(xué)生通過空間想象把握問題的本質(zhì)及通過代數(shù)計(jì)算解決問題的意識(shí)和能力. 能有效考查學(xué)生的思維能力，以及對(duì)基本幾何體結(jié)構(gòu)特征的整體把握和靈活應(yīng)用情況．

命題評(píng)價(jià)：此題情境是學(xué)生熟悉的，設(shè)問清晰明了，關(guān)鍵就在于分析轉(zhuǎn)化. 一方面，要將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；另一方面，要將位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為基本組成元素的大小關(guān)系問題. 體現(xiàn)了空間想象和代數(shù)論證之間相輔相成的關(guān)系，全國甲卷（文科）第16題雖然與此題的命制情境和載體有所差異，但是考查的本質(zhì)是相同的，體現(xiàn)了研究方法的一致性. 類似的試題還有2012年上海卷（理科）第14題、2022年北京卷第9題等. 特別是2020年全國新高考Ⅰ卷第16題，是對(duì)“理念作圖”的挑戰(zhàn)，其求解過程體現(xiàn)了掌握研究方法的重要性．

③ 注重基礎(chǔ)，尋找元素間穩(wěn)定的基本關(guān)系是突破口.

例3 （全國乙卷·文16）已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA的值為________．

考查目標(biāo)：此題考查球和三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及基本元素的度量；考查學(xué)生從復(fù)雜圖形中抽取基本元素位置關(guān)系的分析問題的能力和直觀想象素養(yǎng)．

命題意圖：此題能夠?qū)W(xué)生基于作圖和想象轉(zhuǎn)化問題的能力進(jìn)行有效考查. 試題的考查載體是球及其內(nèi)接三棱錐，求解的關(guān)鍵是找到基本元素（球心、球半徑及截面圓的圓心和半徑）間的位置關(guān)系，并基于位置關(guān)系確定數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．

命題評(píng)價(jià)：此題的命制情境是學(xué)生熟悉的幾何體切截問題，求解過程中用到的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系都是學(xué)生熟悉的，只要根據(jù)題意準(zhǔn)確作圖即可順利求解，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性．

2023年高考中定位于考查基礎(chǔ)的立體幾何試題還包括：全國乙卷（理科）第8題、全國新高考Ⅱ卷第9題，考查圓錐中基本元素之間的關(guān)系及相關(guān)的線面位置關(guān)系問題；全國新高考Ⅰ卷第14題、全國新高考Ⅱ卷第14題，考查棱臺(tái)的體積，可以根據(jù)定義還原為棱錐求解，也可以直接利用棱臺(tái)的性質(zhì)求解；天津卷第8題考查了棱錐體積的基本計(jì)算方法；全國乙卷（文 / 理科）第3題以三視圖為背景給出幾何體，求表面積. 與球有關(guān)的切截問題在歷年高考中也時(shí)常出現(xiàn)，如2013年全國Ⅰ卷（文 / 理科）第10題、2020年全國Ⅱ卷文科第16題和理科第15題、2022年全國新高考Ⅱ卷第7題. 這些試題雖然形式各異，但本質(zhì)上都是對(duì)空間幾何體中基本元素之間位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的考查，且在各版本教材的例題和習(xí)題中都有所體現(xiàn). 由此可見，這類試題旨在引導(dǎo)教師在教學(xué)中注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的強(qiáng)化.

（2）多角度切入，體現(xiàn)研究方法的多樣性.

例4 （全國新高考Ⅱ卷·20）如圖6，三棱錐[A-BCD]中，[DA=DB=DC]，[BD⊥CD]，[∠ADB=][∠ADC=60°]，E為[BC]的中點(diǎn)．

（1）證明：[BC⊥DA]；

（2）點(diǎn)[F]滿足[EF=DA]，求二面角[D-AB-F]的正弦值．

考查目標(biāo)：此題考查線面位置關(guān)系的判定和二面角的求解；考查學(xué)生的觀察能力、思維能力，以及直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．

命題意圖：此題依托三棱錐考查線面位置關(guān)系，不同思維特點(diǎn)的學(xué)生可以有不同的解題切入點(diǎn)．

第（1）小題，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可以將問題轉(zhuǎn)化為證明BC⊥平面ADE；或取AD的中點(diǎn)G，將問題轉(zhuǎn)化為證明AD⊥平面BCG；如果借助向量法，選擇基底[DA， DB， DC，] 表示出向量[BC]，[DA]，計(jì)算其數(shù)量積即可；如果利用坐標(biāo)法，可以建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用幾何關(guān)系求出向量[BC]，[DA]的坐標(biāo)，計(jì)算數(shù)量積即可．

第（2）小題同樣有多種解法. 可以延續(xù)第（1）小題的坐標(biāo)法，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；可以建立不同的空間直角坐標(biāo)系求解，如將坐標(biāo)原點(diǎn)移至點(diǎn)D；可以依據(jù)二面角的定義求解，取AB的中點(diǎn)N（如圖8），證得DN⊥AB，AF⊥AB，進(jìn)而將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量[ND]，[AF]的夾角問題；可以過點(diǎn)N作AF的平行線，確定二面角的平面角，進(jìn)而求解；可以將所給三棱錐補(bǔ)形為六面體求解，如圖9所示.

不同方法對(duì)應(yīng)的解題難易程度不同，能夠?qū)W(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力進(jìn)行有效考查，具有較好的區(qū)分度．

命題評(píng)價(jià)：此題內(nèi)涵非常豐富，涵蓋了立體幾何研究的兩大類方法，即綜合法和向量法，這是《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，也是教材中給出的立體幾何問題的研究路徑.

2023年全國甲卷（文科）第10題雖然設(shè)問與此題不同，但求解用到的方法與之完全相同. 同類試題還有全國甲卷（文 / 理科）第18題、全國乙卷（文 / 理科）第19題、全國新高考Ⅰ卷第18題、上海卷第17題、天津卷第17題. 教材中也有很多類似的題目，如與第（1）小題類似的有人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）必修第二冊(cè)第152頁第3題、第163頁第5題等. 與第（2）小題類似的有人教A版教材選擇性必修第一冊(cè)第37頁例8等．

由對(duì)上述例題的分析，我們可以看出2023年高考立體幾何試題呈現(xiàn)出了同類問題研究方法的多樣性，同時(shí)體現(xiàn)了對(duì)于不同立體幾何試題分析基本圖形方法的一致性．

（3）綜合性問題，直觀想象與代數(shù)計(jì)算并重.

例5 （全國甲卷·理11）已知四棱錐[P-ABCD]的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，[PC=PD=3，∠PCA=][45°]，則[△PBC]的面積為（? ? ）.

（A）[22] （B）[32]

（C）[42] （D）[62]

考查目標(biāo)：此題考查四棱錐中基本元素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；考查學(xué)生綜合應(yīng)用余弦定理求解問題的能力及基于合情推理分析問題的能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算技能．

命題意圖：此題要求△PBC的面積. 如圖10，根據(jù)已知條件，分析該四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，因?yàn)镻C =PD，所以PA = PB. 而在△PAC中，已知兩邊及其夾角，于是可得PA2 = AC2 + PC2 - 2AC·PCcos∠PCA = 17. 所以PA =[PB=17]. 于是得解. 此題是一道綜合性問題，借助四棱錐考查學(xué)生分析、求解三角形問題的能力．

命題評(píng)價(jià)：此題求解的關(guān)鍵在于對(duì)目標(biāo)“△PBC的面積”的分析與轉(zhuǎn)化. 轉(zhuǎn)化過程中充分展現(xiàn)了學(xué)生對(duì)該四棱錐對(duì)稱性的掌握情況. 該四棱錐雖然不是正四棱錐，但頂點(diǎn)所在位置具有特殊性——在底邊CD的中垂面上，這是此題求解的突破口．

2023年高考試題中同類題還有全國乙卷（理科）第9題和第19題. 立體幾何與代數(shù)、函數(shù)、解析幾何的綜合是一種常見的命題方式. 這些試題雖然考查的是計(jì)算問題，但是對(duì)于立體圖形結(jié)構(gòu)的充分了解才是求解的關(guān)鍵. 因此，此類試題充分體現(xiàn)了空間想象和代數(shù)計(jì)算能力的相互作用對(duì)求解立體幾何綜合問題的重要性．

2. 命題導(dǎo)向分析

基于以上分析，結(jié)合往年高考立體幾何試題的特點(diǎn)，可以看出高考立體幾何試題的命制具有以下導(dǎo)向．

（1）突出對(duì)作圖基本功的考查.

求解立體幾何試題，作圖是基本功. 無論在紙上作圖，還是在頭腦中構(gòu)圖，都是空間想象之下的作圖，也是基于理性思維的作圖. 作圖是立體幾何試題研究方法的體現(xiàn)，一方面，要抓住關(guān)鍵元素作圖；另一方面，要注重從復(fù)雜的圖形中抽取出簡(jiǎn)單圖形進(jìn)行分析，進(jìn)而將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，降低問題求解的難度．

推理能力是求解立體幾何問題的重要保證，其中包括合情推理和邏輯推理. 合情推理用于尋找解題思路，邏輯推理則直接體現(xiàn)在規(guī)范表達(dá)中．

（2）全面考查立體幾何問題的研究方法.

高中數(shù)學(xué)必修部分的立體幾何內(nèi)容主要包括對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究及對(duì)基本元素的度量，在選擇性必修部分主要涉及利用向量研究空間幾何體基本元素間的位置關(guān)系及相關(guān)角和距離的計(jì)算. 2023年高考立體幾何試題均以基本幾何體為載體命制，涉及對(duì)面積、體積、線段長(zhǎng)、線面角、二面角等的計(jì)算和空間中有關(guān)元素位置關(guān)系的證明，全面考查了直觀想象和代數(shù)運(yùn)算并舉的立體幾何問題的研究方法，部分試題既可以使用定義法求解，又可以使用向量法求解，對(duì)學(xué)生的思維能力進(jìn)行了有效考查.

綜合應(yīng)用已有知識(shí)，通過有效手段降維，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，是求解立體幾何問題的重要策略，也是自然之舉. 借助基本模型分析問題是求解立體幾何問題的重要方法．

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1. 加強(qiáng)作圖訓(xùn)練，有效培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

立體幾何學(xué)習(xí)的根本及相關(guān)試題破解的關(guān)鍵都在于對(duì)圖形性質(zhì)的把握和理解. 因此，在教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生作圖基本技能的訓(xùn)練. 從實(shí)物到紙上作圖是基礎(chǔ)，更重要的是基于空間想象和理性思維的作圖．

2. 開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，徹底破解一類問題

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，教師可以指導(dǎo)并幫助學(xué)生選擇一些立體幾何問題作為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的課題. 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)常態(tài)化，才能有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的思維. 為此，要在教學(xué)過程中進(jìn)行有關(guān)研究和設(shè)計(jì). 例如，圍繞球與其他幾何體的切截問題進(jìn)行探究，可以不斷變換球的內(nèi)接幾何體模型，從正四面體到有特殊性的四面體再到任意四面體，從三棱錐到四棱錐，從棱錐到棱柱再到棱臺(tái)，研究變化中的不變?cè)丶拔恢藐P(guān)系. 對(duì)于中心重合的正方體與球體的位置關(guān)系問題，類比圓與正方形，可以分為如圖11所示的7種情況. 其中，球的半徑為r，正方體的棱長(zhǎng)為2m、面對(duì)角線長(zhǎng)為2n、體對(duì)角線長(zhǎng)為2l. 再如，對(duì)于空間中點(diǎn)、直線和平面位置關(guān)系的研究，可以以直線與平面平行關(guān)系的研究為示范，對(duì)其他元素間位置關(guān)系的探究則可以類比其研究路徑展開. 無論是對(duì)概念和定理的學(xué)習(xí)，還是對(duì)某類問題求解路徑的探究，都可以采取數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的方式進(jìn)行.

3. 想象、推理與計(jì)算結(jié)合，提升學(xué)生解決問題的綜合素養(yǎng)

立體幾何問題的求解始于空間想象和合情推理，終于邏輯推理和準(zhǔn)確計(jì)算. 遇到問題，首先要探尋求解思路，尋找思路時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，以尋求最簡(jiǎn)便的解決路徑. 教學(xué)中，還要注重多媒體技術(shù)的應(yīng)用，借助多媒體技術(shù)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．

在呈現(xiàn)探索結(jié)果時(shí)，要做到嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確. 嚴(yán)謹(jǐn)表現(xiàn)了對(duì)研究對(duì)象的全面認(rèn)知和對(duì)規(guī)則的準(zhǔn)確應(yīng)用. 雖然立體幾何試題的計(jì)算量遠(yuǎn)低于解析幾何試題和函數(shù)試題，但是依然不能輕視．

4. 用好高考試題，在實(shí)踐中落實(shí)“四基”、發(fā)展“四能”

2023年高考立體幾何試題在教材和歷年高考試卷中都可以找到同類題，但是學(xué)生的作答情況仍然不理想. 對(duì)此，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中要基于一般觀念帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)歷年高考試題進(jìn)行歸類研究，引導(dǎo)學(xué)生把握問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性. 同時(shí)注重對(duì)教材中有關(guān)例題和習(xí)題的應(yīng)用與拓展，切實(shí)做好落實(shí)“四基”、發(fā)展“四能”的復(fù)習(xí)備考工作．

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作者簡(jiǎn)介：薛紅霞（1970— ），女，中小學(xué)高級(jí)教師，山西省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育和課堂教學(xué)改革研究；

謝永清（1969— ），男，中小學(xué)正高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育和課堂教學(xué)改革研究．