彭海燕　李維

摘? 要：幾何問(wèn)題解析化途徑的探索、研究與選擇是高考平面解析幾何試題考查的重心所在. 高考命題注重在深化圖形探究的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和空間想象能力，在代數(shù)推理的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理能力. 在平面解析幾何內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中，要注重給予學(xué)生探索的時(shí)間和空間，指導(dǎo)學(xué)生掌握平面解析幾何問(wèn)題研究的一般路徑，在培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力的同時(shí)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：解析化；圖形探究；代數(shù)推理；研究路徑；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

解析幾何首先是幾何，研究的是幾何對(duì)象的性質(zhì)或幾何對(duì)象間的關(guān)系.“幾何”是思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，也是問(wèn)題的緣起和歸宿. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是由幾何作圖得到的，將幾何作圖后得到的幾何圖形的性質(zhì)或幾何對(duì)象間的關(guān)系用關(guān)聯(lián)的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，并最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，這個(gè)過(guò)程就是解析化. 高考重視考查學(xué)生的圖形探究能力和代數(shù)推理能力，而“解析化”是實(shí)現(xiàn)對(duì)這兩種能力同時(shí)進(jìn)行考查的關(guān)鍵橋梁，因而是高考平面解析幾何試題命題的重點(diǎn). 近年來(lái)高考越來(lái)越重視回歸平面解析幾何的經(jīng)典問(wèn)題，并在新的情境和工具下進(jìn)行探索，平面幾何圖形的長(zhǎng)度和面積的度量問(wèn)題、幾何圖形在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的最值（取值范圍）問(wèn)題及幾何圖形在運(yùn)動(dòng)變化（幾何變換）過(guò)程中保持不變的性質(zhì)是命題的熱點(diǎn). 平面解析幾何中的核心思想是數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，對(duì)這兩種數(shù)學(xué)思想的考查是高考命題的聚焦點(diǎn).

一、考查內(nèi)容分析

2023年4套高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷對(duì)平面解析幾何問(wèn)題的考查基本都設(shè)置了2 ～ 3道選擇題或填空題，以及1道解答題，總計(jì)22 ～ 27分（不含選做題）. 每套試卷都涵蓋了直線與圓，以及橢圓、雙曲線、拋物線這三種不同類型的圓錐曲線. 從考查內(nèi)容和考查方式來(lái)看，既保持了穩(wěn)定性和基礎(chǔ)性，又呈現(xiàn)出一定的綜合性和創(chuàng)新性. 地方卷對(duì)平面解析幾何內(nèi)容的考查也基本上保持穩(wěn)定. 2023年高考對(duì)平面解析幾何內(nèi)容的考查情況如表1所示.

二、命題特點(diǎn)分析

1. 以直線、圓和圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為切入點(diǎn)考查基礎(chǔ)性

直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的基礎(chǔ)性要求，突出平面解析幾何的過(guò)渡性階段特征，是經(jīng)久不衰的考查內(nèi)容.

例1 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·15）已知直線[x-my+][1=0]與[⊙C： x-12+y2=4]交于[A，B]兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“[△ABC]面積為[85]”的[m]的一個(gè)值________.

答案：2；-2；[12]；[-12].（寫(xiě)出其中一個(gè)即可.）

考查目標(biāo)：考查直線方程的幾何表征，以及直線與圓的位置關(guān)系；考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，以及數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

命題意圖：此題通過(guò)給定一個(gè)含參數(shù)的直線方程和一個(gè)確定的圓的方程，讓學(xué)生尋找和發(fā)現(xiàn)直線與方程的幾何關(guān)聯(lián)：直線過(guò)定點(diǎn)[-1，0]，恰是定圓[C]與[x]軸的左交點(diǎn)，也是直線與圓交點(diǎn)中的一個(gè). 而要研究的幾何對(duì)象則是由直線與圓[C]的兩個(gè)交點(diǎn)[A，B]及圓心[C]構(gòu)成的等腰三角形的面積. 如圖1，不妨設(shè)[B-1，0]，以[BC=2]為底，則[△ABC]的高（即點(diǎn)[A]縱坐標(biāo)的絕對(duì)值）確定，點(diǎn)[A]的坐標(biāo)可求（不唯一）. 代入直線方程中即可求得[m]的值. 則[m]的值不唯一（有4個(gè)）.

命題評(píng)價(jià)：直線與圓是平面解析幾何中的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)和考查學(xué)生圖形探究能力的基礎(chǔ)性素材，可以通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的提升. 此題不要求學(xué)生求出所有可能的[m]的值，具有一定的開(kāi)放性，為學(xué)生提供的思考角度是多樣的，學(xué)生可以根據(jù)自己的能力水平找到不同的解題路徑和方法. 直線與圓是從幾何到平面解析幾何重要研究對(duì)象圓錐曲線的過(guò)渡階段，因此落腳點(diǎn)就是要挖掘數(shù)的幾何屬性或形的代數(shù)表達(dá). 就此題而言，關(guān)鍵在于學(xué)生能發(fā)現(xiàn)直線恒過(guò)的定點(diǎn)就在圓上，如此解答過(guò)程會(huì)更加簡(jiǎn)潔. 因此，此題能夠?qū)Σ煌季S水平的學(xué)生進(jìn)行區(qū)分，全面、系統(tǒng)地考查學(xué)生對(duì)核心概念、基本原理和基本方法的掌握程度.

圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)體現(xiàn)高考對(duì)平面解析幾何內(nèi)容考查的基礎(chǔ)性要求，關(guān)注的是方程與曲線的關(guān)系轉(zhuǎn)化，以及對(duì)圖形（主要是三角形）幾何特征的挖掘和方程思想.

例2 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·16）已知雙曲線[C： x2a2-]

[y2b2=1][a>0，b>0]的左、右焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2]. 點(diǎn)[A]在[C]上，點(diǎn)[B]在[y]軸上，[F1A⊥F1B]，[F2A=-23F2B]，則[C]的離心率為_(kāi)_______.

答案：[355].

考查目標(biāo)：考查雙曲線和平面向量的基本概念；考查學(xué)生的圖形探究能力、運(yùn)算求解能力和綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

命題意圖：此題利用兩個(gè)向量的等式，巧妙設(shè)計(jì)了雙曲線的“焦點(diǎn)三角形”（即以雙曲線上一點(diǎn)及雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形）和一個(gè)等腰三角形組合為一個(gè)“勾三股四弦五”的直角三角形. 此題要求學(xué)生能從數(shù)學(xué)的基本概念（向量運(yùn)算的幾何表征、符號(hào)坐標(biāo)的關(guān)系特征）出發(fā)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，綜合運(yùn)用解三角形的知識(shí)求解. 學(xué)生也可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入雙曲線的方程，求得雙曲線的離心率.

命題評(píng)價(jià)：此題考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用進(jìn)行了較好的設(shè)計(jì). 此題對(duì)學(xué)生的圖形探究能力，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力進(jìn)行了較好的考查，能很好地體現(xiàn)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2. 以圓錐曲線的經(jīng)典問(wèn)題為切入點(diǎn)考查綜合性

運(yùn)動(dòng)與變化是研究幾何問(wèn)題的基本觀點(diǎn)，利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題是基本方法，運(yùn)動(dòng)中的變與不變是圓錐曲線研究中的永恒經(jīng)典.

例3 （全國(guó)乙卷·文12 / 理11）設(shè)[A，B]為雙曲線[x2-y29=1]上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ ? ）.

（A）[1，1] （B）[-1，2]

（C）[1，3] （D）[-1，-4]

答案：D.

考查目標(biāo)：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，突出考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.

命題意圖：此題以平面解析幾何中經(jīng)典的“中點(diǎn)弦問(wèn)題”為設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)，關(guān)注的是雙曲線及其漸近線的區(qū)域特征. 此題一般的結(jié)論是：以[Mx0，y0]為中點(diǎn)的雙曲線[x2a2-y2b2=1]的弦PQ所在直線方程為[x0xa2-][y0yb2=][x20a2-y20b2.] 其中，[x20a2-y20b2<0]或[x20a2-y20b2>1.]

由于直線PQ與雙曲線相交，根據(jù)等效判別式，得

[a2x0a22-b2-y0b22--x20a2-y20b22=x20a2-y20b21-x20a2-y20b2<0.]

這意味著，雙曲線上同支兩點(diǎn)連線中點(diǎn)的覆蓋范圍是雙曲線的內(nèi)部（如圖2中包含焦點(diǎn)的區(qū)域），雙曲線上不同支兩點(diǎn)連線中點(diǎn)的覆蓋范圍是雙曲線漸近線所夾區(qū)域（如圖2中不包含焦點(diǎn)的對(duì)角區(qū)域）. [圖2][O][x][y]

命題評(píng)價(jià)：此題的命制背景來(lái)源于教材，突出考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，注重對(duì)平面解析幾何中通性通法的運(yùn)用. 此題具有一定的運(yùn)算量，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力有較高的要求，區(qū)分度高，有利于選拔能力強(qiáng)的學(xué)生. 此題很好地體現(xiàn)了重基礎(chǔ)、重能力的立意，引領(lǐng)中學(xué)教學(xué)回歸教材，實(shí)現(xiàn)教考銜接，服務(wù)“雙減”和素質(zhì)教育.

例4 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·21）已知雙曲線[C]的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為[-25，0]，離心率為[5].

（1）求[C]的方程；

（2）記[C]的左、右頂點(diǎn)分別為[A1，A2]，過(guò)點(diǎn)[-4，0]的直線與[C]的左支交于[M， N]兩點(diǎn)，[M]在第二象限，直線[MA1]與[NA2]交于點(diǎn)[P]，證明：點(diǎn)[P]在定直線上.

答案：（1）[x24-y216=1;]（2）略.

考查目標(biāo)：此題第（1）小題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，第（2）小題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系；考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，以及利用幾何問(wèn)題解析化特征的探索、研究與選擇.

命題意圖：此題第（1）小題設(shè)置了學(xué)生最為熟悉的簡(jiǎn)單情境，體現(xiàn)了對(duì)廣大學(xué)生的人文關(guān)懷，也凸顯了試題的基礎(chǔ)性. 第（2）小題是根據(jù)經(jīng)典的極點(diǎn)與極線的原理命制的. 如圖3，因?yàn)橹本€[MN]與直線[A1A2]交于點(diǎn)[-4，0]，[A1M?A2N=P]，所以點(diǎn)[P]在點(diǎn)[-4，0]關(guān)于雙曲線[C]的極線[x=-1]上. 事實(shí)上，[A1N]與[A2M]的交點(diǎn)[Q]也在點(diǎn)[-4，0]關(guān)于雙曲線[C]的極線[x=-1]上. 另外，當(dāng)點(diǎn)[M，N]分別在雙曲線的兩支上時(shí)，結(jié)論依然成立. 學(xué)生可以有多種方法解決該題，既可以設(shè)線，也可以設(shè)點(diǎn). 求解的難點(diǎn)在于對(duì)“非對(duì)稱”表達(dá)式[y2x1+2y1x2-2]的轉(zhuǎn)化. 轉(zhuǎn)化方式不唯一，可以用根與系數(shù)關(guān)系兩式間的和積關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，也可以用雙曲線的“第三定義”性質(zhì)，即[kA1MkA2M=b2a2]進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 第（2）小題的求解具有一定的難度，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力和計(jì)算化簡(jiǎn)能力有較高要求，體現(xiàn)了代數(shù)推理中要重視“代數(shù)結(jié)構(gòu)特征的挖掘”的本質(zhì)要求.

命題評(píng)價(jià)：試題由淺入深、層次分明、重點(diǎn)突出，很好地考查了求解平面解析幾何的基本思想方法. 圖3中有三條動(dòng)直線，情境較為復(fù)雜，且“非對(duì)稱”表達(dá)式的運(yùn)算化簡(jiǎn)對(duì)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)提出了較高要求. 因此，此題具備選拔拔尖創(chuàng)新人才的功能，同時(shí)又能引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，提升學(xué)生的思維水平.

此外，全國(guó)乙卷（理科）第20題（同文科第21題）以橢圓上的調(diào)和點(diǎn)列為切入點(diǎn)考查射影幾何中經(jīng)典的極點(diǎn)、極線的定點(diǎn)問(wèn)題，這也是近三年高考平面解析幾何試題的命制熱點(diǎn)所在. 北京卷近幾年則經(jīng)常以射影幾何為背景進(jìn)行剪裁入題，如2023年北京卷第19題的第（2）小題聚焦射影幾何中的著名結(jié)論——Pascal定理命制：如圖4，由于[AB]∥[CD]，根據(jù)橢圓[E]的（退化的）內(nèi)接六邊形[ABCCDP]三組對(duì)邊的交點(diǎn)[AB?CD=L]（無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)），[BC?DP=M]，[CC]（點(diǎn)C處的切線[y=-2]）[?DP=N]三點(diǎn)共線

幾何圖形，特別是三角形和四邊形相關(guān)度量的研究是平面幾何中的經(jīng)典問(wèn)題，而以圓錐曲線為載體考查這些經(jīng)典問(wèn)題則是近年來(lái)高考平面解析幾何試題命制的創(chuàng)新點(diǎn)所在.

例5 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·22）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)[P]到[x]軸的距離等于點(diǎn)[P]到點(diǎn)[0， 12]的距離，記動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡為[W].

（1）求[W]的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在[W]上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于[33].

答案：（1）[y=x2+14]；（2）略.

考查目標(biāo)：此題第（1）小題考查曲線與方程的基本概念，第（2）小題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、不等式放縮、函數(shù)的單調(diào)性與極值等內(nèi)容；考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力、邏輯推理能力和對(duì)較復(fù)雜問(wèn)題的運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)平面解析幾何的基本思想、基本方法和本質(zhì)要求.

命題意圖：此題第（1）小題設(shè)計(jì)了曲線的軌跡方程問(wèn)題，只需要將動(dòng)點(diǎn)P滿足的幾何條件用坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)表示，然后再化簡(jiǎn)即可求解，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性. 第（2）小題研究多邊形周長(zhǎng)，是幾何中的經(jīng)典問(wèn)題. 設(shè)計(jì)了三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上的矩形，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，弦長(zhǎng)的表達(dá)都是最為基礎(chǔ)的，體現(xiàn)了平面解析幾何問(wèn)題研究的本質(zhì). 第（2）小題的求解有一定難度，尤其是周長(zhǎng)的最值問(wèn)題涉及不等式的放縮、函數(shù)單調(diào)性與極值等方面的知識(shí)，這就要求學(xué)生具有解決較復(fù)雜問(wèn)題的綜合素養(yǎng)和能力，體現(xiàn)了創(chuàng)新性要求.

命題評(píng)價(jià)：此題基于運(yùn)動(dòng)變化這一平面解析幾何的基本觀點(diǎn)，聚焦圓錐曲線中的四邊形特征進(jìn)行命制. 設(shè)計(jì)較為新穎，既基于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，又打破了固有的命題模式，以期破除復(fù)習(xí)備考中題海戰(zhàn)術(shù)和套路訓(xùn)練的影響，解題過(guò)程中要靈活地應(yīng)用平面解析幾何的基本思想方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，對(duì)學(xué)生的邏輯推理和直觀想象等素養(yǎng)有一定要求. 此題不僅有利于高校選拔人才，也有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)重視培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)，發(fā)展素質(zhì)教育.

類似地，全國(guó)甲卷（文科）第21題的第（2）小題為求以拋物線的兩條互相垂直的焦半徑為邊的三角形的面積的最值問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，再運(yùn)用基本不等式放縮、二次函數(shù)或三角函數(shù)的性質(zhì)等方式求最值. 此外，天津卷第18題的第（2）小題設(shè)計(jì)了已知底邊共線的[△A1PQ]和[△A2FP]的面積之比，要求底邊所在直線[A2P]方程的問(wèn)題.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1. 認(rèn)真研究教材，作好教考銜接

教材中的例題和習(xí)題都是非常具有代表性的典型問(wèn)題，盡管這些題目大部分是比較基礎(chǔ)的，但是它們背后往往都蘊(yùn)含著深刻的一般規(guī)律或者通性通法，我們一定要認(rèn)真研究，深入挖掘其中的教學(xué)價(jià)值，切忌就題論題. 例如，在講評(píng)人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題3.2第13題時(shí)，我們可以提出更為一般的問(wèn)題：過(guò)點(diǎn)[Mx0，y0]的直線與圓錐曲線[C：fx，y=0]交于[A，B]兩點(diǎn)，當(dāng)[x0，y0]滿足什么條件時(shí)，[Mx0，y0]能作為線段[AB]的中點(diǎn)？此時(shí)直線[AB]的方程是什么？課堂教學(xué)中，可以利用計(jì)算機(jī)繪圖軟件作出圖形，拖動(dòng)線段[AB]，追蹤其中點(diǎn)，讓學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和邏輯推理，并驗(yàn)證猜想. 這樣的過(guò)程很好地落實(shí)了“四基”，有利于提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng).

2. 以學(xué)生為主體，落實(shí)“四基”，提升“四能”

對(duì)于平面解析幾何解答題的求解，很多學(xué)生往往會(huì)在聯(lián)立方程并利用根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于方程系數(shù)的關(guān)系式后便束手無(wú)策. 究其原因，很可能是有的教師過(guò)分強(qiáng)調(diào)題量，在課堂教學(xué)中一講到底且教學(xué)方式單一、僵化，學(xué)生被動(dòng)模仿，缺少主動(dòng)思考. 對(duì)此，教師要先加強(qiáng)對(duì)試題解法的研究，明確“設(shè)線”并不是平面解析幾何中唯一的設(shè)參方式，“直曲聯(lián)立”也不是唯一的聯(lián)立方式. 課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該多放手讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，多進(jìn)行師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，尊重學(xué)生提出的各種解題思路，傾聽(tīng)他們的困惑并給予他們恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，幫助他們通過(guò)自主思考順利完成問(wèn)題求解.

3. 加強(qiáng)理論研究，把握好課程標(biāo)準(zhǔn)

馬祖光先生有一句名言：“要想給人一碗水，自己要有一桶水.”其實(shí)，高考平面解析幾何試題大部分是射影幾何中一些事實(shí)和命題的特殊情形. 因此，教師要深入研究射影幾何的理論，進(jìn)而深刻地認(rèn)識(shí)圓錐曲線的幾何性質(zhì)，把握問(wèn)題的本質(zhì). 當(dāng)然，我們也要避免另一個(gè)極端，即不考慮學(xué)生的接受能力，把過(guò)深、過(guò)難的理論強(qiáng)加給學(xué)生. 高等幾何的思想方法如何用初等的解析方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，是高中教師應(yīng)該思考的問(wèn)題. 對(duì)此，我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》，講授好通性通法，避免教學(xué)過(guò)偏、過(guò)難.

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：彭海燕（1977— ），男，正高級(jí)教師，廣東省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

李維（1988— ），男，高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.