楊林軍　韓靜波　周當(dāng)俠

摘? 要：通過(guò)對(duì)2023年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的多角度梳理，從必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)等方面分析試題命制中呈現(xiàn)的一些特點(diǎn)，并通過(guò)對(duì)典型試題的分析，歸納出深化基礎(chǔ)考查、強(qiáng)化關(guān)鍵能力、突出思維品質(zhì)的命題主旨，并在此基礎(chǔ)上提出回歸教材、強(qiáng)化基礎(chǔ)、提升能力、優(yōu)化思維的高考復(fù)習(xí)教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；命題特點(diǎn)；復(fù)習(xí)教學(xué)建議

2023年高考數(shù)學(xué)試卷共9份，具體為全國(guó)甲卷（文、理科）、全國(guó)乙卷（文、理科）、全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷、北京卷、天津卷和上海卷. 各份試卷對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的考查符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，全國(guó)卷整體難度與2022年相比有所降低. 由于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系性、綜合性，以及試題解法的靈活性，使得其在各份試卷的各類題型中常常作為“把關(guān)題”出現(xiàn). 試題通過(guò)創(chuàng)新試題情境和設(shè)問(wèn)方式，重點(diǎn)考查“四基”“四能”，在問(wèn)題解決、方法探究和知識(shí)應(yīng)用中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人總體要求. 試題注重對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的考查，充分發(fā)揮高考試題區(qū)分與選拔的功能，同時(shí)對(duì)日常教學(xué)具有很好的引導(dǎo)作用.

一、考查內(nèi)容分析

對(duì)于2023年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，從其在各份試卷中的分值占比來(lái)看，仍然是高考考查的重點(diǎn)，凸顯了其在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中的核心地位；從題型分布來(lái)看，涵蓋了選擇題（包括多選題）、填空題和解答題所有題型，凸顯了其在全面考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面的突出作用；從其在各份試卷中所處的位置來(lái)看，大多數(shù)位于各份試卷中各類題型壓軸題或次壓軸題的位置，凸顯了其在考查學(xué)生關(guān)鍵能力、思維品質(zhì)、創(chuàng)新思維，以及在區(qū)分與選拔等方面的重要作用.

1. 深化對(duì)必備知識(shí)的考查

（1）全面考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的主干知識(shí).

2023年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的考查內(nèi)容包括函數(shù)的概念與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，以及利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、求參數(shù)的取值范圍和一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題等.

對(duì)于函數(shù)的奇偶性，要求理解定義的本質(zhì)，并將其拓展到一般意義上曲線的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，能利用其解決一些新情境中的問(wèn)題. 例如，全國(guó)新高考Ⅱ卷第4題、全國(guó)甲卷（理科）第13題、全國(guó)乙卷（理科）第4題，重點(diǎn)考查了利用函數(shù)的奇偶性定義求參數(shù)的取值范圍.

對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，要求掌握通過(guò)幾何直觀、代數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)工具等多種途徑研究函數(shù)的單調(diào)性的方法，特別是利用導(dǎo)數(shù)工具研究由四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題. 例如，全國(guó)甲卷（理科）第21題、全國(guó)乙卷（理科）第16題、全國(guó)新高考Ⅰ卷第4題和第19題、全國(guó)新高考Ⅱ卷第6題.

對(duì)于函數(shù)的極值，要求深刻理解極值的概念，特別是判斷極值的充分條件和必要條件，要求理解極值與最值之間的關(guān)系，在復(fù)雜情境中，能根據(jù)函數(shù)的極值對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 例如，全國(guó)乙卷（理科）第21題的第（3）小題、全國(guó)新高考Ⅰ卷第19題的第（2）小題，以及全國(guó)新高考Ⅱ卷第11題和第21題.

對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)，主要考查零點(diǎn)存在定理，特別是在已知單調(diào)性的情況下通過(guò)觀察找出特殊點(diǎn)，由特殊點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)判斷函數(shù)零點(diǎn)存在的方法，對(duì)學(xué)生的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)要求較高. 例如，全國(guó)乙卷（文科）第8題.

對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等內(nèi)容的考查占有較大比重，而且較多試題處于壓軸題的位置，要求學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具，準(zhǔn)確進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.

相較于2022年，2023年高考對(duì)于抽象函數(shù)的考查在數(shù)量和難度方面都有所下降，主要考查通過(guò)賦值判斷函數(shù)所具有的性質(zhì). 當(dāng)然，也可以類比基本初等函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（如[fxy=fx+fy]可以表示對(duì)數(shù)函數(shù)）通過(guò)構(gòu)造滿足條件的具體函數(shù)解決問(wèn)題.

對(duì)于分段函數(shù)，主要運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合幾何直觀，考查分段函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和零點(diǎn)等性質(zhì). 例如，上海卷第5題和北京卷第15題.

關(guān)于函數(shù)的應(yīng)用，主要考查利用函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)大小、證明不等式及解決一些實(shí)際問(wèn)題. 例如，全國(guó)甲卷（文科）第11題、天津卷第3題、全國(guó)甲卷（理科）第21題、全國(guó)甲卷（文科）第20題，全國(guó)新高考Ⅱ卷第22題、全國(guó)新高考Ⅰ卷第10題.

（2）注重對(duì)通性通法的考查.

通性通法一般是指解決某一類問(wèn)題的基本方法，與一些技巧性與特殊化方法相比，其適用范圍較廣. 判斷函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等均屬于通性通法. 例如，全國(guó)新高考Ⅱ卷第4題已知含參函數(shù)為偶函數(shù)，要求參數(shù)值. 這類試題通常有多種解法，可以利用偶函數(shù)的定義求解；可以通過(guò)取特殊值建立方程，找出使其為偶函數(shù)的一個(gè)必要條件，再驗(yàn)證其充分性滿足題意；可以基于函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，找到符合題意的參數(shù)值；等等. 但是這些解法中，利用偶函數(shù)的定義求解的方法是最具有普適性的，從定義出發(fā)進(jìn)行推理，獲得的答案是充要的. 這種解法基于概念本質(zhì)，同時(shí)包含豐富的數(shù)學(xué)思想，可以遷移到尋找定點(diǎn)與定值的問(wèn)題當(dāng)中，因此屬于解決此類問(wèn)題的通性通法.

（3）對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查貫穿始終.

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象、概括和凝練，它蘊(yùn)含在知識(shí)發(fā)生發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是學(xué)生良好思維品質(zhì)的具體體現(xiàn)，因而也是歷年高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn). 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要包括函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、特殊與一般思想、有限與無(wú)限思想. 例如，全國(guó)新高考Ⅰ卷第19題的第（2）小題需要將證明不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題求解；全國(guó)乙卷（文科）第8題需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合將三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題求解；全國(guó)新高考Ⅱ卷第22題和全國(guó)甲卷（理科）第21題均需要將導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)巧妙地結(jié)合起來(lái)，利用分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等思想方法求解與函數(shù)的單調(diào)性和極值等有關(guān)的問(wèn)題.

2. 加強(qiáng)對(duì)關(guān)鍵能力的考查

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力指運(yùn)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題所需的穩(wěn)定的個(gè)性心理特征和思維品質(zhì)，具體表現(xiàn)為在掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移和創(chuàng)新，能夠在新的情境中解決一些具有開(kāi)放性、推廣性、變式性、反思性的問(wèn)題. 在高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題中，主要考查學(xué)生的抽象概括、邏輯思維、運(yùn)算求解、直觀想象、閱讀理解、信息整理、語(yǔ)言表達(dá)等能力.

閱讀理解能力、信息整理能力、語(yǔ)言表達(dá)能力體現(xiàn)在對(duì)每道試題縝密審題、思路形成、證明求解、規(guī)范表達(dá)等問(wèn)題解決的全過(guò)程. 例如，全國(guó)新高考Ⅰ卷第10題要求學(xué)生對(duì)表格中的信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而在明確問(wèn)題的基礎(chǔ)上，通過(guò)選擇合理的運(yùn)算路徑解決開(kāi)放性問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生的閱讀理解能力和信息整理能力要求較高.

邏輯推理能力是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的核心，也是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要體現(xiàn)，在高考中的考查主要體現(xiàn)為在對(duì)已有信息進(jìn)行整理的基礎(chǔ)上，明確解決問(wèn)題的方向，并基于問(wèn)題和概念，有層次、有邏輯地進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化、推理論證、精確運(yùn)算和規(guī)范表達(dá). 例如，全國(guó)新高考Ⅱ卷第11題需要學(xué)生將函數(shù)“既有極大值也有極小值”轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)在[0，+∞]上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個(gè)正根的充要條件，從此出發(fā)進(jìn)行推理，解決開(kāi)放性問(wèn)題. 又如，全國(guó)乙卷（理科）第21題要求學(xué)生根據(jù)參數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類討論，考查學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

2023年全國(guó)各地區(qū)高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，都不約而同地加大了對(duì)運(yùn)算能力的考查力度，要求學(xué)生明確運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、恰當(dāng)選擇運(yùn)算路徑、準(zhǔn)確求得結(jié)果，在面臨復(fù)雜的運(yùn)算對(duì)象時(shí)，能優(yōu)化運(yùn)算路徑，體現(xiàn)運(yùn)算的靈活性和創(chuàng)新性. 例如，全國(guó)甲卷（理科）第21題、全國(guó)乙卷（理科）第21題、全國(guó)乙卷（文科）第8題、全國(guó)新高考Ⅱ卷第22題、北京卷第20題等.

3. 強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是《標(biāo)準(zhǔn)》提出的要求，文獻(xiàn)［5］在《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》和《標(biāo)準(zhǔn)》的基礎(chǔ)上，將高考數(shù)學(xué)考查的學(xué)科素養(yǎng)提煉為理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化. 從這個(gè)角度看，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題是落實(shí)高考對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)考查目標(biāo)的主要載體.

2023年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題注重在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 例如，全國(guó)新高考Ⅰ卷第10題要求學(xué)生利用對(duì)數(shù)函數(shù)研究噪聲聲壓水平解決實(shí)際問(wèn)題，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；全國(guó)甲卷（文科）第11題和天津卷第3題要求學(xué)生利用函數(shù)的性質(zhì)比較三個(gè)實(shí)數(shù)的大小，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng).

2023年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題注重通過(guò)創(chuàng)新設(shè)問(wèn)形式，在問(wèn)題解決中考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 全國(guó)新高考Ⅰ卷和全國(guó)新高考Ⅱ卷繼續(xù)堅(jiān)持通過(guò)多選題的形式增強(qiáng)結(jié)論的開(kāi)放性，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性等思維品質(zhì)提出了較高的要求. 例如，全國(guó)乙卷（理科）第21題通過(guò)“是否存在”的設(shè)問(wèn)方式，較好地考查了學(xué)生的邏輯思維能力；全國(guó)新高考Ⅰ卷第11題通過(guò)設(shè)置抽象函數(shù)背景和結(jié)論開(kāi)放的選項(xiàng)，重點(diǎn)考查學(xué)生的批判性思維能力和構(gòu)建新函數(shù)的創(chuàng)新能力；北京卷第15題將與解析幾何有關(guān)的函數(shù)嵌入分段函數(shù)中，通過(guò)巧妙設(shè)置參數(shù)和結(jié)論開(kāi)放的背景，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力.

2023年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，注重在解決函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，在明確問(wèn)題、思路探索、運(yùn)算求解中著力考查學(xué)生思維的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性，考查學(xué)生在復(fù)雜情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)及把握事物發(fā)展的脈絡(luò)的能力. 這樣的考查方式有利于提升學(xué)生重論據(jù)、有條理、合邏輯的思維品質(zhì)，促使學(xué)生形成理性精神，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的教育價(jià)值.

二、命題特點(diǎn)分析

1. 命題意圖分析

通過(guò)創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)情境，在問(wèn)題解決的過(guò)程中深入考查學(xué)生對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分必備知識(shí)的掌握情況，特別是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的本質(zhì)理解、對(duì)基本方法的熟練掌握，以及靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

例1 （全國(guó)乙卷·理16）設(shè)[a∈0，1]，若函數(shù)[fx=ax+1+ax]在[0，+∞]上單調(diào)遞增，則[a]的取值范圍是_________.

答案：[5-12，1].

考查目標(biāo)：此題考查導(dǎo)數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法. 考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

命題意圖：此題將兩個(gè)均與參數(shù)[a]相關(guān)聯(lián)的指數(shù)函數(shù)通過(guò)運(yùn)算構(gòu)成所要研究的函數(shù)，需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為不等式在給定區(qū)間上恒成立的問(wèn)題，從而獲得求解的必要條件. 具體推理過(guò)程中，需要學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想構(gòu)建新的函數(shù)，研究新函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的性質(zhì)求出參數(shù)的取值范圍. 此題也可以結(jié)合幾何直觀，利用兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系建立不等關(guān)系求解.

命題評(píng)價(jià)：此題緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》，借助學(xué)生熟悉的基本初等函數(shù)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算構(gòu)建所要研究的函數(shù)，在已知函數(shù)的單調(diào)性的情況下要求學(xué)生求解參數(shù)的取值范圍. 作為選擇題的壓軸題，入口寬，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系的理解. 對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)提出了一定要求，起到了甄別的作用，對(duì)教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用.

通過(guò)創(chuàng)設(shè)學(xué)科內(nèi)綜合情境，在運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的過(guò)程中深入考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力，彰顯了高考試題的綜合性，凸顯了高考對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力的重點(diǎn)考查.

例2 （全國(guó)甲卷·理21）已知函數(shù)[fx=ax-sinxcos3x，][x∈0， π2].

（1）若[a=8]時(shí)，討論[fx]的單調(diào)性；

（2）若[fx

答案：（1）略；（2）[-∞，3].

考查目標(biāo)：此題考查求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法；考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力及分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

命題意圖：此題對(duì)由一次函數(shù)和三角函數(shù)通過(guò)運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)進(jìn)行研究，由于函數(shù)中含有參數(shù)，預(yù)示著要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論. 第（1）小題給定參數(shù)的值，以此考查學(xué)生對(duì)函數(shù)求導(dǎo)及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性等基本方法的掌握程度，面向大部分學(xué)生；第（2）小題雖然是學(xué)生熟悉的由不等式恒成立求參數(shù)范圍的題型，但是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的過(guò)程比較靈活，為學(xué)生的發(fā)揮提供了廣闊的空間，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和邏輯思維能力都提出了較高要求，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用.

命題評(píng)價(jià)：此題巧妙地將一次函數(shù)和三角函數(shù)結(jié)合進(jìn)行命制. 對(duì)于第（2）小題，雖然恒成立問(wèn)題是學(xué)生所熟悉的，但是函數(shù)形式卻是陌生的. 學(xué)生如果盲目地分離參數(shù)，則會(huì)陷入復(fù)雜的運(yùn)算中，導(dǎo)致解題出錯(cuò). 此題層次分明、內(nèi)容豐富，具有較高的區(qū)分度，可以較好地考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從理解概念入手，不斷提高學(xué)生的邏輯推理能力、分析綜合能力、運(yùn)算求解能力和問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力.

通過(guò)命題形式的不斷創(chuàng)新，包括試題情境創(chuàng)新、設(shè)問(wèn)方式創(chuàng)新，重點(diǎn)考查學(xué)生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、推理探究和知識(shí)遷移等能力，考查學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性，從而全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中對(duì)創(chuàng)新性的要求，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在概念理解及學(xué)生關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)的提升上下功夫.

例3 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·22）（1）證明：當(dāng)[0

（2）已知函數(shù)[fx=cosax-ln1-x2]，若[x=0]是[fx]的極大值點(diǎn)，求[a]的取值范圍.

答案：（1）略；（2）[a∈-∞，-2?2，+∞.]

考查目標(biāo)：此題考查函數(shù)的概念與性質(zhì)，考查初等函數(shù)特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值之間的關(guān)系等，考查學(xué)生問(wèn)題轉(zhuǎn)化、深入思考、嚴(yán)密推理、精確計(jì)算及靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

命題意圖：第（1）小題考查利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法，不含參數(shù)，較為基礎(chǔ)，適合大多數(shù)學(xué)生發(fā)揮，同時(shí)為第（2）小題的放縮提供了方向和所需結(jié)論；第（2）小題，注意到函數(shù)是偶函數(shù)，要求學(xué)生能根據(jù)題設(shè)條件與極值的局部性質(zhì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需要學(xué)生深入掌握并理解極值的概念，同時(shí)對(duì)學(xué)生的分析能力、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算能力和邏輯能力提出了較高要求，對(duì)學(xué)生思維的靈活性也有較高要求，具有一定的難度，突出了高考試題的選拔功能.

命題評(píng)價(jià)：此題多角度考查了導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，函數(shù)極值的局部性質(zhì)及不等式的性質(zhì). 在高中數(shù)學(xué)教材中，關(guān)于函數(shù)極值的判定有如下結(jié)論：當(dāng)[fx0=0]時(shí)，如果在[x0]附近的左側(cè)[fx0>0]，右側(cè)[fx0<0]，那么[fx0]是極大值. 此題依賴極值的基本判定方法進(jìn)行命制，緊貼教材，對(duì)學(xué)生的邏輯能力、運(yùn)算能力、分析能力和轉(zhuǎn)化能力提出了較高要求. 此題層次分明，內(nèi)容豐富，區(qū)分度較高，使不同學(xué)生的理性思維深度、知識(shí)掌握牢固程度、運(yùn)算求解嫻熟程度都得到了充分展示，可以較好地考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注意認(rèn)真提煉和總結(jié)解題方法，不斷提高學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)生有關(guān)能力和素養(yǎng)的發(fā)展.

2. 命題導(dǎo)向分析

第一，回歸教材，回歸知識(shí)本源，深化對(duì)必備知識(shí)的掌握，特別是對(duì)核心概念的本質(zhì)理解. 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，幾乎在每年高考中都有考查，試題通過(guò)函數(shù)形式的變化與設(shè)問(wèn)方式的改變，深度考查學(xué)生對(duì)奇函數(shù)和偶函數(shù)定義的理解. 這些試題涉及的函數(shù)都源于教材習(xí)題，而且教材中對(duì)于“奇函數(shù) + 奇函數(shù)”“偶函數(shù) + 偶函數(shù)”“奇函數(shù) × 偶函數(shù)”，特別是利用“[fx±f-x]”構(gòu)造奇函數(shù)或偶函數(shù)都有相應(yīng)的練習(xí)題，這些題解法多樣，不同的解法體現(xiàn)了對(duì)奇函數(shù)和偶函數(shù)定義不同層次的理解. 例如，在定義域區(qū)間對(duì)稱的前提下，通過(guò)對(duì)定義域內(nèi)任意 x 成立，可以得到充要條件；也可以通過(guò)特殊值獲得必要條件，進(jìn)而驗(yàn)證充分性；也可以根據(jù)基本函數(shù)的奇偶性，判斷由基本函數(shù)經(jīng)過(guò)加、減、乘、除等運(yùn)算后獲得函數(shù)的奇偶性. 特別地，全國(guó)乙卷（理科）第21題的第（2）小題需要將偶函數(shù)關(guān)于直線[x=0]對(duì)稱類比得到一般函數(shù)曲線關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱的性質(zhì)解決問(wèn)題，這是對(duì)偶函數(shù)定義的拓展，體現(xiàn)了對(duì)偶函數(shù)定義的深度考查.

第二，在問(wèn)題解決中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解、問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象概括、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力. 高考中對(duì)于關(guān)鍵能力的考查，首先是閱讀理解能力，即通過(guò)審題，要弄清楚已知是什么，所要解決的問(wèn)題是什么. 對(duì)于函數(shù)問(wèn)題，要先清楚所要研究的函數(shù)由哪些基本函數(shù)通過(guò)怎樣的運(yùn)算構(gòu)成，定義域是什么，有無(wú)特殊點(diǎn)或恒過(guò)的定點(diǎn)，能否不用求導(dǎo)就可以判斷函數(shù)的單調(diào)性. 如果問(wèn)題不明確就需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化為熟悉的或已經(jīng)解決的問(wèn)題為止. 例如，全國(guó)乙卷（理科）第21題的第（3）小題，試題選取與對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)相關(guān)的初等函數(shù)，通過(guò)乘積構(gòu)成所要研究的函數(shù). 通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，全面考查了函數(shù)的定義域、對(duì)稱性、單調(diào)性，極值的概念，零點(diǎn)的概念、存在性等知識(shí)，考查了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí). 第（1）小題面向大部分學(xué)生，要求學(xué)生能正確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，利用函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值求出切線方程. 第（2）小題通過(guò)設(shè)置探究與第（1）小題關(guān)聯(lián)的函數(shù)曲線是否具有軸對(duì)稱性質(zhì)的背景，重點(diǎn)考查了學(xué)生利用軸對(duì)稱圖形性質(zhì)建立等量關(guān)系確定參數(shù)值并進(jìn)行驗(yàn)證的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)有較高的要求. 第（3）小題則多角度考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及對(duì)函數(shù)極值概念的本質(zhì)理解，為學(xué)生的發(fā)揮提供了廣闊的空間，對(duì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找合理的解題途徑及推理論證能力提出了較高要求. 試題緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、分類討論等能力，具有較高的選拔功能.

第三，通過(guò)創(chuàng)新題型和設(shè)問(wèn)形式，在復(fù)雜情境和綜合問(wèn)題的解決中提升學(xué)生的探究能力、應(yīng)用能力、創(chuàng)新能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)及思維的靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

第一，回歸教材，注重對(duì)核心概念的本質(zhì)理解，建構(gòu)和健全知識(shí)體系，熟練技能，掌握通法，不斷夯實(shí)和深化“四基”.

通過(guò)命題分析可以看出，大多數(shù)高考試題源于教材，注重在運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)理解. 因此，復(fù)習(xí)中要將必備知識(shí)的理解、構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系、落實(shí)“四基”放在首位. 回歸教材不是對(duì)教材內(nèi)容和習(xí)題的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是對(duì)概念本質(zhì)的再認(rèn)識(shí)，對(duì)知識(shí)形成過(guò)程中隱含的數(shù)學(xué)思想方法的感悟，對(duì)解決一類問(wèn)題的通性通法的真正掌握. 例如，對(duì)于如何研究一個(gè)新函數(shù)，人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)一直強(qiáng)調(diào)“構(gòu)建函數(shù)的研究框架”，如在第92頁(yè)的閱讀材料“探究函數(shù)[y=][x+1x]的圖象和性質(zhì)”中用三個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)構(gòu)建框架：你認(rèn)為可以從哪些方面研究這個(gè)函數(shù)？你認(rèn)為可以按照怎樣的路徑研究這個(gè)函數(shù)？按照你構(gòu)建的路徑研究你想到的問(wèn)題. 因此，回歸教材，要注重對(duì)核心概念的本質(zhì)理解，建構(gòu)和健全知識(shí)體系，不斷夯實(shí)和深化“四基”是復(fù)習(xí)教學(xué)的根基.

第二，將數(shù)學(xué)閱讀與信息獲取、問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)思想方法的落實(shí)貫穿教學(xué)過(guò)程的始終，在問(wèn)題解決中強(qiáng)化學(xué)生的邏輯推理能力，扎實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算，進(jìn)而不斷提升學(xué)生的“四能”.

要以解題教學(xué)為抓手，高質(zhì)量上好解題教學(xué)課，從例題選擇、學(xué)生參與、教師指導(dǎo)等多方面入手，引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)如何審題，如何找到解決問(wèn)題的路徑，如何在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上選擇合理的運(yùn)算路徑，從而準(zhǔn)確、快捷地求得結(jié)果，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證等. 在復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，要以問(wèn)題解決為抓手，強(qiáng)化學(xué)生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、運(yùn)算求解、數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵能力.

第三，在復(fù)習(xí)教學(xué)的一開(kāi)始，教師應(yīng)該有意識(shí)、有計(jì)劃地逐步加入一些具有復(fù)雜、綜合、創(chuàng)新、開(kāi)放情境的問(wèn)題. 例如，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題、多選題、探究性問(wèn)題、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題、滲透數(shù)學(xué)文化的試題等. 另外，在確定所要研究的新函數(shù)時(shí)，應(yīng)該創(chuàng)新思路，利用基本函數(shù)通過(guò)運(yùn)算巧妙構(gòu)建新函數(shù)，在問(wèn)題解決中逐步提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］教育部考試中心. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系［M］.? 北京：人民教育出版社，2019.

［4］教育部考試中心. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［5］任子朝，趙軒. 基于高考評(píng)價(jià)體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實(shí)施路徑［J］. 中國(guó)考試，2019（12）：27-32.

［6］向立政，周遠(yuǎn)方，張?jiān)戚x. 深度考查關(guān)鍵能力? 充分發(fā)揮育人功能：2022年高考數(shù)學(xué)試題命題特點(diǎn)及復(fù)習(xí)教學(xué)建議［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2022（9）：3-13.

［7］俞平. 數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力測(cè)驗(yàn)試題編制：理論與方法［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（12）：1-7.

作者簡(jiǎn)介：楊林軍（1964— ），男，正高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

韓靜波（1984— ），男，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

周當(dāng)俠（1965— ），女，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.