溫笑穎

【摘要】一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫作三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形.本文重點是用正弦定理和余弦定理來解三角形.

【關(guān)鍵詞】解三角形；正弦定理；余弦定理

以下均設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.

一、三角形有解無解，有一解還是兩解

例1 在△ABC中，已知a=2，b=2，A=30°，則角B有（ ）.

A.無解 B.一解 C.兩解 D.無數(shù)解

解 由正弦定理，得 asinA=bsinB，即2sin30°=2sinB，sinB=22，又∵0°a，∴B=45°或B=135°.選C.

例2 （2015北京文科）在△ABC中，a=3，b=6，A=2π3，則B=.

解 由正弦定理，得asinA=bsinB，即332=6sinB，所以sinB=22，所以B=π4.

說明 已知△ABC的邊a，b和角A.

（1）若A為銳角時：

a

（2）若A為直角或鈍角時：a≤b，無解；a>b，一解（銳角）.

二、判斷三角形的形狀

判斷三角形形狀問題，一是應(yīng)用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關(guān)系，通過因式分解等方法化簡得到邊與邊關(guān)系式，從而判斷出三角形的形狀（角化邊）.

二是應(yīng)用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間三角函數(shù)的關(guān)系，通過三角恒等變形以及三角形內(nèi)角和定理得到內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀（邊化角）.

例3 根據(jù)所給條件，判斷△ABC的形狀.

（1）acosA=bcosB；（2）acosA=bcosB=ccosC.

選題意圖 本題主要考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀.

解 （1）解法一 （角化邊）由余弦定理得：

acosA=bcosBa·b2+c2-a22bc=b·a2+b2-c22aca2c2-a4-b2c2+b4=0，

∴（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0，∴a=b或c2=a2+b2，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

解法二 （邊化角）利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化.

（2）由正弦定理得：a=csinAsinC，b=csinBsinC代入已知等式：

csinAcosAsinC=csinBcosBsinC=ccosC，∴sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC.

即tanA=tanB=tanC.

∵A，B，C∈（0，π），∴A=B=C.

∴△ABC為等邊三角形.

說明 根據(jù)已知條件，適當(dāng)選取使用的定理，也是應(yīng)該在解題中注意的問題.

例4 （2013陜西文科）設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為（ ）.

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

解 ∵bcosC+ccosB=asinA，∴由正弦定理得

sinBcosC+sinCcosB=sin2A，所以sin（B+C）=sinA，sinA=sin2A，sinA=1.

∴△ABC是直角三角形.

三、求解三角形