孔峰　楊薇　李紅春

摘? 要：通過對2023年高考復數(shù)和平面向量專題考查內(nèi)容的整體把握，以典型試題為例進行分析，總結(jié)命題特點，歸納出“立足數(shù)學運算能力，強化數(shù)形結(jié)合思想”的命題主旨，明晰高考數(shù)學的復習目標與方法，在此基礎(chǔ)上提出高考數(shù)學復習教學建議.

關(guān)鍵詞：復數(shù)；平面向量；命題特點；教學建議

2023年高考復數(shù)和平面向量試題，注重對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，要求學生在有扎實的數(shù)學運算求解能力的基礎(chǔ)上，不斷領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

一、考查內(nèi)容分析

復數(shù)和向量都具有代數(shù)形式和幾何意義，它們都是溝通代數(shù)與幾何的橋梁. 其中，復數(shù)的代數(shù)運算是考查的重點，主要考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng). 根據(jù)復數(shù)的幾何意義思考問題，有時能獲得更加直觀的解答. 而數(shù)學運算和直觀想象素養(yǎng)是高考平面向量試題考查的重點.

針對2023年高考復數(shù)和平面向量試題，從情境水平、考查知識、關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)、試題難度等方面梳理，如表1和表2所示.

按照《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）對數(shù)學核心素養(yǎng)水平的劃分，2023年高考復數(shù)試題均為數(shù)學運算素養(yǎng)的一般要求，試題均為熟悉情境和簡單運算. 主要考查復數(shù)代數(shù)表示的四則運算、兩個復數(shù)相等的含義，以及復數(shù)的模的求法、共軛復數(shù)、復數(shù)的幾何意義. 與往年相比，復數(shù)試題難度基本保持不變.

2023年高考平面向量試題主要考查了平面向量的運算及幾何意義、平面向量模的轉(zhuǎn)化，以及平面向量與其他知識相關(guān)聯(lián)的問題. 其中，全國甲卷（文科）、全國乙卷（文科）、全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷都注重對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，均是學生較為熟悉的情境，通過簡單的運算即可以解決，是數(shù)學運算的一般水平. 與往年相比，平面向量試題有一定的變化，尤其表現(xiàn)在全國甲卷（理科）和全國乙卷（理科）中相關(guān)試題均比2022年相關(guān)試題難度明顯增加. 全國甲卷（理科）的平面向量試題具有一定的靈活性，考查學生的聯(lián)想構(gòu)造能力，對學生的直觀想象素養(yǎng)提出了要求；全國乙卷（理科）的平面向量試題將平面向量與平面幾何、三角函數(shù)相關(guān)知識有機結(jié)合，具有一定的綜合性，要求學生立足直觀，運用函數(shù)思想求最值，考查學生分析問題和解決問題的能力. 試題為關(guān)聯(lián)情境，體現(xiàn)了對直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)的深度考查.

二、命題特點分析

1. 命題意圖分析

（1）復數(shù)——重點考查算法，突出數(shù)學運算素養(yǎng).

2023年高考復數(shù)試題大多數(shù)較為基礎(chǔ)，以考查復數(shù)的四則運算為主，試題情境皆為單元內(nèi)的關(guān)聯(lián)，將復數(shù)、復數(shù)的模、共軛復數(shù)、兩個復數(shù)相等等概念與復數(shù)的運算結(jié)合在一起考查.

答案：A.

考查目標：要求學生熟練掌握復數(shù)的除法和減法運算，對共軛復數(shù)的概念有準確的理解.

命題意圖：該題考查了復數(shù)的除法和減法運算，考查了共軛復數(shù)的概念，引導師生不僅要重視數(shù)學運算技能的落實，還要認真閱讀教材，重視對教材基本概念的準確理解. 高考數(shù)學命題注重基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.《標準》對復數(shù)的要求并不高，該題的設(shè)置落實了“基礎(chǔ)性”要求，是試題面向全體學生的具體體現(xiàn).

命題評價：該題將復數(shù)的概念、四則運算和共軛復數(shù)相結(jié)合，考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，以及處理簡單關(guān)聯(lián)運算情境的能力，試題注重基礎(chǔ)，形式尋常多見.

全國乙卷（理科）第1題將復數(shù)的除法運算和對共軛復數(shù)的概念理解相結(jié)合；全國甲卷（理科）第2題考查復數(shù)相等的條件；全國新高考Ⅱ卷第1題將復數(shù)的乘法運算與復數(shù)的幾何意義相結(jié)合；全國乙卷（文科）第1題將復數(shù)的乘方運算、加法運算與求模運算相結(jié)合. 總之，復數(shù)試題不難，但都體現(xiàn)了單元內(nèi)的知識點的關(guān)聯(lián)性.

（2）平面向量——立足數(shù)學運算，求解關(guān)聯(lián)問題.

平面向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁. 從代數(shù)角度來看，向量可以用坐標表示，用坐標可以求單個向量的模，坐標運算通?？梢杂脕砼卸▋蓚€向量的位置關(guān)系，尤其是垂直或者平行. 當兩個向量既不平行也不垂直時，通常求向量的夾角，重點考查數(shù)學運算素養(yǎng). 從幾何角度來看，向量是有向線段，既可以求模，也可以求兩個向量的線性運算和數(shù)量積運算. 利用向量與平面幾何的聯(lián)系，借助向量可以探究線段的長度、夾角和位置關(guān)系等問題. 平面向量基本定理可以化“未知”為“已知”. 從聯(lián)系的角度思考問題，將平面向量的運算、平面向量基本定理及平面幾何知識結(jié)合起來，考查學生的數(shù)學運算和直觀想象素養(yǎng). 平面向量可以設(shè)計成諸多動態(tài)問題，如運動的點、運動的向量和變化的角度，這樣就可以將向量與求最值問題相關(guān)聯(lián)，利用函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等工具探究相關(guān)的最值問題. 這類問題體現(xiàn)了命題的綜合性和創(chuàng)新性，能全面考查學生的數(shù)學運算和直觀想象素養(yǎng).

例2 （全國新高考Ⅱ卷·13）已知向量a，b滿足[a-b=3]，[a+b=2a-b]，則[b]的值為______．

答案：[3].

考查目標：掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，將平面向量的模靈活轉(zhuǎn)化為數(shù)量積從而求解問題，準確理解數(shù)量積的本質(zhì)是實數(shù)，并能熟練運算求解.

命題意圖：要求學生通過相對復雜的運算對象設(shè)計運算路徑，選擇合理的運算方法簡化問題，這是對數(shù)學運算求解能力的深度考查. 通過平方去掉向量模的符號后，得到向量的完全平方式. 如何展開？蘊含著豐富的運算律，引導教師要立足教材，讓學生明白算法和算理. 該題通過對向量的模與數(shù)量積的靈活轉(zhuǎn)化，考查學生對知識間聯(lián)系的把握程度，以及在運算求解中是否有整體思想.

命題評價：該題看似簡單，但是如果不能熟練運用基本關(guān)系[a ? a=a2]進行轉(zhuǎn)化去掉模的符號，學生將很難下手，彰顯了核心知識的重要地位. 該題考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，以及處理簡單關(guān)聯(lián)運算情境的能力.

例3 （全國甲卷·理4）已知向量a，b，c滿足[a=b=1]，[c=2]，且[a+b+c=0]，則[cosa-c，b-c]的值為（? ? ）.

（A）[-45] （B）[-25]

（C）[25] （D）[45]

答案：D.

考查目標：準確理解向量的模、向量的夾角的概念，能用坐標法或幾何法求解向量的夾角.

命題意圖：該題既可以用坐標法求解，也可以構(gòu)造幾何圖形直觀求解，考查學生的直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng). 高考數(shù)學命題追求創(chuàng)新性，有時通過命制一些切入點多、解法多樣的試題讓不同學生有不同的思考，展現(xiàn)不同層次學生的數(shù)學素養(yǎng)，考查學生思維的靈活性和創(chuàng)新性. 該題引導一線教師在教學中要重視對學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng).

命題評價：該題題干簡潔，體現(xiàn)數(shù)學的簡潔美，解法靈活，便于學生多角度切入，深入考查學生對平面向量知識的理解和靈活運用知識解決問題的能力. 通過給出平面向量中的一些基本條件，要求學生讀懂向量語言，借助聯(lián)想，將已知條件轉(zhuǎn)化為直角三角形三邊所在向量后建立平面直角坐標系，利用向量的夾角公式求解；或者從平面向量的線性關(guān)系出發(fā)構(gòu)造幾何圖形，在等腰三角形中借助三角函數(shù)知識直接求解. 該題在三角形中考查學生對平面向量性質(zhì)掌握的靈活程度，無論是代數(shù)方法還是幾何方法，都需要對條件[a+b+c=0]有合理的理解，即首尾相接的三個向量構(gòu)成三角形，聯(lián)系條件[a=b=1]，[c=2]容易讓人想到直角三角形，直角三角形便于建立平面直角坐標系進行求解. 如果借助向量的線性運算，將已知條件轉(zhuǎn)化為[a+b=-c]，作出向量[a+b]，它與向量[c]長度相同，方向相反，容易得到等腰三角形.

例4 （全國乙卷·理12）已知[⊙O]的半徑為1，直線PA與[⊙O]相切于點A，直線PB與[⊙O]交于B，C兩點，D為BC的中點，若[PO=2]，則[PA ? PD]的最大值為（? ? ）.

（A）[1+22] （B）[1+222]

（C）[1+2] （D）[2+2]

答案：A.

考查目標：能準確畫圖，從定義出發(fā)表示數(shù)量積的大小，在分類討論的基礎(chǔ)上，能借助三角函數(shù)的知識求解最值.

命題意圖：聯(lián)系出思想，具有一定綜合性的數(shù)學問題有助于考查學生的素養(yǎng)水平，新穎的問題情境能甄別出學生的辨別、判斷和選擇能力. 綜合性是高考數(shù)學試題的主要特點，主要體現(xiàn)在不同知識和解題方法的融合上. 該題通過平面向量和幾何知識的有機結(jié)合，重點考查學生的直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)，考查學生靈活運用所學知識解決綜合問題的能力.

命題評價：該題命題巧妙，選取直線和圓的位置關(guān)系作為素材，在此基礎(chǔ)上設(shè)置動態(tài)變化. 求解時需要借助平面幾何的性質(zhì)研究邊角關(guān)系，再通過引入變量列出目標函數(shù)，最后求函數(shù)的最值. 求解該題的關(guān)鍵在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學生對知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力，對學生的直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)提出了要求. 試題融基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合性和創(chuàng)新性于一體，對幾何圖形中的最值問題的基本活動經(jīng)驗進行了考查.

2. 命題導向分析

（1）試題重視對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，夯實基礎(chǔ)是學生能力發(fā)展的必經(jīng)之路.

《標準》要求夯實學生“四基”，包括基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗. 其中，基礎(chǔ)知識和基本技能是基礎(chǔ). 立足教材中的基本概念和基本原理，將數(shù)學運算作為學生最基本的技能來培養(yǎng)，這是高考數(shù)學試卷給我們的深刻啟示. 數(shù)學運算是學生數(shù)學學習過程中最基本的技能，它是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題. 數(shù)學運算主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序和求得運算結(jié)果等. 2023年高考復數(shù)與平面向量試題，幾乎都需要立足數(shù)學運算來解決，復數(shù)的四則運算、求復數(shù)的模、求向量的模、求向量的夾角、求向量的數(shù)量積及利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)的值等都離不開數(shù)學運算. 例如，全國新高考Ⅰ卷第2題給出的復數(shù)[z]是商的形式，需要先將復數(shù)[z]化簡，寫成[a+bi a，b∈R]的形式，然后寫出復數(shù)[z]的共軛復數(shù)，最后作減法. 在這里，需要先將復數(shù)化簡，再寫共軛復數(shù)，否則計算過程會比較復雜，這里涉及對算法的選擇. 再如，全國新高考Ⅱ卷第13題給出的條件是模，要求的結(jié)果也是模，從代數(shù)的角度分析，用平方法去掉模是基本算法.

（2）在知識關(guān)聯(lián)處設(shè)計問題，引導教學加強知識間的縱橫聯(lián)系.

2023年高考復數(shù)試題多數(shù)為將復數(shù)的運算與復數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合起來進行考查，運算是基礎(chǔ)，概念理解是關(guān)鍵. 例如，全國新高考Ⅱ卷第1題將復數(shù)的乘法運算與復數(shù)的幾何意義相結(jié)合，先進行化簡運算，再根據(jù)復數(shù)[a+bi a，b∈R]與復平面內(nèi)的點[a，b]對應(yīng)，判斷點所處的象限；全國乙卷（理科）第1題先進行復數(shù)的除法運算，對所給的式子化簡，再按照共軛復數(shù)的定義求解問題.

2023年高考平面向量試題也在知識的關(guān)聯(lián)處設(shè)計問題. 例如，全國甲卷（理科）第4題由向量模的條件和向量的線性關(guān)系聯(lián)想向量的位置關(guān)系，進而在平面直角坐標系中轉(zhuǎn)化已知條件，用坐標法求解向量的夾角，將眾多向量知識融為一體，體現(xiàn)了知識間的縱橫聯(lián)系.

（3）求解綜合問題要注重數(shù)形結(jié)合思想的運用，努力發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).

高考數(shù)學命題強調(diào)綜合性和創(chuàng)新性. 求解平面向量綜合問題時，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想解題顯得十分重要. 例如，全國甲卷（理科）第4題雖然能用坐標法進行求解，但是直接由已知條件構(gòu)圖，在等腰三角形中借助二倍角公式求解會更加直觀、簡潔；全國乙卷（理科）第12題雖然也可以用坐標法求解，即先引入?yún)?shù)[k]寫出直線[BC]的方程，代入圓的方程，由中點坐標公式求出點[D]的坐標，接著由幾何直觀求出點[A]的坐標，最后寫出向量[PA]和[PD]的坐標，用坐標法表示數(shù)量積，得到目標函數(shù)后求最值，但是由于同樣需要分兩種情況討論，故該方法計算量偏大. 對于幾何問題，從幾何視角出發(fā)挖掘幾何圖形中的邊角關(guān)系，可以通過直觀求解問題.

（4）試題源于教材又高于教材，教學中要對教材內(nèi)容進行必要的延伸和拓展.

2023年高考復數(shù)和平面向量試題幾乎都能在教材中找到命題的源頭. 例如，人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）必修第二冊在第78頁給出了復數(shù)除法的操作方法：在進行復數(shù)除法運算時，通常先把[a+bi÷c+di]寫成[a+bic+di]的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復數(shù)[c-di]，化簡求結(jié)果；人教A版教材必修第二冊在第72頁給出了共軛復數(shù)的概念：一般地，兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù). 這正是全國新高考Ⅰ卷第2題的解法依據(jù). 又如，人教A版教材必修第二冊第73頁習題7.1第4題與全國新高考Ⅱ卷第1題高度一致. 再如，全國甲卷（理科）第4題同樣可以在教材中找到原型，人教A版教材必修第二冊第23頁習題6.2第6題如下：已知向量[a，b]，求作向量[c]，使[a+b+c=0]，判斷表示[a，b，c]的有向線段能否構(gòu)成三角形.

三、復習教學建議

1. 立足基本概念，夯實求解復數(shù)問題的基本原理和方法

《標準》對復數(shù)的要求主要為：理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義，掌握復數(shù)代數(shù)表示的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義. 分析近幾年的高考試題，不難發(fā)現(xiàn)，復數(shù)的考查重點在于運算，但不止于運算，求解問題時通常需要用到復數(shù)的實部與虛部、復數(shù)的模、兩個復數(shù)相等、復數(shù)對應(yīng)點、共軛復數(shù)等概念，教學中不能因為內(nèi)容簡單就一帶而過，忽略對概念的理解. 事實上，新高考倡導從概念出發(fā)思考和解決問題，有些復數(shù)的重要性質(zhì)，只要回到定義就能很快得到證明.

2. 從幾何與代數(shù)兩個角度，著力提升平面向量基本運算的技能

從幾何的角度來看，平面向量的方向和大小共同決定了向量的運算，向量的加法是運算的基礎(chǔ)，教學中要重視三角形法則和平行四邊形法則的運用，幫助學生理解減法和加法的關(guān)系. 平面向量數(shù)乘運算和數(shù)量積是最重要的向量運算，它們是求解平面幾何問題的重要工具，教學時要講清這兩種運算的特點，理解運算律，區(qū)分其與簡單的字母運算的異同. 平面向量基本定理在用幾何法求解平面向量問題中起著至關(guān)重要的作用，教學時要讓學生認識到用它解題的必要性和合理性，不斷體會轉(zhuǎn)化與化歸思想.

從代數(shù)的角度來看，平面向量的運算體現(xiàn)在坐標法上. 此運算的前提是建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，坐標系的建立需要學生有良好的直觀想象素養(yǎng). 在教學中，要不斷總結(jié)借助平面幾何圖形建立平面直角坐標系的方法. 另外，求點的坐標，有時需要引入?yún)?shù)并充分利用垂直或共線條件，要引導學生體會數(shù)學條件運用的等價性. 在平常的教學中，教師要通過典型實例，充分展示計算過程，分析算法，規(guī)范表達，為學生作好示范.

3. 優(yōu)化思維品質(zhì)，加強數(shù)學思想方法的引領(lǐng)，提升學生解決綜合問題的能力

平面向量綜合問題中蘊含著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想. 教師要引導學生在解題過程中嘗試一題多解，從不同的角度理解和轉(zhuǎn)化問題，將數(shù)和形有機結(jié)合，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)新性，發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng). 與此同時，教師還要引導學生進行解題后的反思，積累解題經(jīng)驗，培養(yǎng)思維的深刻性. 很多平面向量的綜合問題都與最值或范圍相關(guān)，解題時經(jīng)常需要用到函數(shù)、導數(shù)、三角、不等式等其他知識. 教學中，教師要引導學生從聯(lián)系的角度分析問題，選準變量，合理轉(zhuǎn)化，充分發(fā)揮圖形直觀的作用，借助平面幾何的有關(guān)知識簡化運算.

4. 深挖教材，借助對典型例題和習題的拓展與研究構(gòu)建求解問題的模型

教材是命題的源泉. 教材中的每道題目都是教材編寫者精挑細選的，有些具有示范性，有些具有拓展性，在教學中一定要充分發(fā)揮它們的價值. 例如，人教A版教材必修第二冊“6.4.1 平面幾何中的向量法”在例2的探究中得到一個重要結(jié)論“平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和”，在此基礎(chǔ)上通過變式，我們能夠得到“從同一頂點出發(fā)的三角形的兩條邊對應(yīng)的向量的數(shù)量積等于第三條邊中線與第三條邊長一半的平方差”. 這就是極化恒等式. 將極化恒等式作為一個模型，很多不規(guī)則或者動態(tài)圖形中的數(shù)量積問題就可以迎刃而解了，充分展示了運用數(shù)學模型思想解題的魅力.

參考文獻：

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作者簡介：孔峰（1966— ），男，正高級教師，湖北省特級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究；

楊薇（1984— ），女，中學一級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究；

李紅春（1977— ），男，中學高級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究.