陳卓英

[摘 要]分?jǐn)?shù)的內(nèi)容一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的一大困惑。通過(guò)對(duì)原人教版數(shù)學(xué)課本第十冊(cè)第四單元中的一道量率區(qū)分的易錯(cuò)題，從問(wèn)題解決等方面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)因進(jìn)行分析，尋找重組教材、指導(dǎo)學(xué)法、拓展練習(xí)的教學(xué)改進(jìn)策略。

[關(guān)鍵詞]量率區(qū)分 剖因溯源 教學(xué)改進(jìn)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）14-021

“一葉知秋”是指從一片樹(shù)葉的凋落知道秋天的到來(lái)，比喻通過(guò)個(gè)別的細(xì)微的跡象，可以看到整個(gè)形勢(shì)的發(fā)展趨向與結(jié)果。同樣，在教學(xué)上，只要看看學(xué)生的作業(yè)情況，就可以大致了解到教師的教學(xué)是成功的，還是失敗的。下面這個(gè)案例，也許能給我們一些啟示。

一、案例背景

原人教版數(shù)學(xué)課本第十冊(cè)第四單元中有這樣一道習(xí)題：“把一根4米長(zhǎng)的木料平均分成5段，每段是這根木料的（ ），每段長(zhǎng)（ ）米?！痹擃}反饋時(shí)，發(fā)現(xiàn)全班有50%的學(xué)生將兩個(gè)括號(hào)里的答案互相交換了位置，約有40%的學(xué)生在兩個(gè)括號(hào)里均填寫(xiě)為4 / 5，10%的學(xué)生在第二個(gè)括號(hào)里填寫(xiě)5 / 4、1 / 4、1 / 5等分?jǐn)?shù)。

筆者在與學(xué)生訪(fǎng)談中，發(fā)現(xiàn)他們經(jīng)常會(huì)混淆代表具體量和代表分率的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，還有對(duì)用除法解決平均分問(wèn)題時(shí)總愛(ài)用“大數(shù)÷小數(shù)”，而不管誰(shuí)是總數(shù)，誰(shuí)是份數(shù)。后來(lái)通過(guò)老師的講評(píng)，學(xué)生訂正了錯(cuò)誤，可再過(guò)幾天，出現(xiàn)類(lèi)似題目，學(xué)生又會(huì)頻頻出錯(cuò)。于是，筆者不禁思考：“學(xué)生為什么在講評(píng)和多次練習(xí)后，還是重復(fù)錯(cuò)誤呢？這說(shuō)明了什么問(wèn)題？”

二、剖因溯源

“兩個(gè)分?jǐn)?shù)不小心交換了位置”和“除法總是用大數(shù)除以小數(shù)”這兩個(gè)問(wèn)題看起來(lái)微小，卻體現(xiàn)了學(xué)生的認(rèn)知心理，反映了學(xué)生認(rèn)知上的某種障礙。筆者認(rèn)為主要原因不外乎以下三種。

（一）教材編排方面

對(duì)于“分?jǐn)?shù)的意義”內(nèi)容，原人教版數(shù)學(xué)教材分兩個(gè)階段安排：第一階段安排在三年級(jí)上冊(cè)，主要是把一個(gè)物體或一個(gè)圖形看作一個(gè)整體；第二階段安排在五年級(jí)下冊(cè)，主要是把很多物體或多個(gè)圖形看作一個(gè)整體，概括出單位“1”，并將分?jǐn)?shù)的意義拓展到兩種含義（即表示一種關(guān)系和表示具體數(shù)量）。教材這樣編排，一方面我們感到分?jǐn)?shù)意義理解的輕重失衡。翻閱原人教版三年級(jí)～五年級(jí)的數(shù)學(xué)課本，教材中沒(méi)有安排獨(dú)立的課時(shí)來(lái)研究用分?jǐn)?shù)表示數(shù)量，所以和學(xué)生在第一學(xué)段已建立起“部分和整體的一種關(guān)系”相比，分?jǐn)?shù)代表一種數(shù)的內(nèi)容過(guò)于單薄。另一方面，我們感到不利于學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義的正遷移。教材先讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)表示“部分和整體的一種關(guān)系”，再概括分?jǐn)?shù)的意義，然后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，最后認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)表示一種關(guān)系的另一種意義，這樣編排于無(wú)形中割裂了分?jǐn)?shù)的兩種意義，使學(xué)生的學(xué)習(xí)不能發(fā)生正遷移，必然造成錯(cuò)誤理解所學(xué)的概念。

（二）教師方面

如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，教師不能很好地把握分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)重點(diǎn)，忽視了知識(shí)結(jié)構(gòu)的前后連貫，隨著知識(shí)難度的增加，原本隱藏的問(wèn)題開(kāi)始暴露。

（三）學(xué)生方面

由于上述題目中的兩個(gè)問(wèn)題非常相似，又比較抽象，很多學(xué)生面對(duì)問(wèn)題弄不清是求具體的數(shù)量，還是求部分與整體的關(guān)系。以前在低年段學(xué)習(xí)求每份數(shù)時(shí)，總數(shù)都大于份數(shù)，結(jié)果一般能被份數(shù)整除，而到了高年段，學(xué)生的思維還是原先的水平，當(dāng)遇到求具體數(shù)量且結(jié)果不是整數(shù)時(shí)，就無(wú)從下手了。

三、曲徑通幽

基于前面的原因分析，在對(duì)教材進(jìn)行深度解讀后，筆者改進(jìn)教學(xué)，從而使教學(xué)更有效。

策略（一）：重組教學(xué)內(nèi)容，均衡分?jǐn)?shù)的兩種意義

針對(duì)原教材中分?jǐn)?shù)兩種意義的教學(xué)失衡，筆者覺(jué)得可以對(duì)有關(guān)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容進(jìn)行整合處理，有助于學(xué)生比較好地理解分?jǐn)?shù)的意義。

階段1：三年級(jí)上冊(cè)──強(qiáng)化認(rèn)知基礎(chǔ)，拓展分?jǐn)?shù)意義的理解。

由于三年級(jí)學(xué)生是在整數(shù)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義的，所以筆者嘗試讓學(xué)生在分水果的過(guò)程中體會(huì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，強(qiáng)調(diào)“平均分”是分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征。

（1）通過(guò)把4個(gè)草莓、2個(gè)橘子、1個(gè)蘋(píng)果分給兩個(gè)同學(xué)的操作，引出“平均分”。

（2）每人得到多少個(gè)？學(xué)生列式計(jì)算，師板書(shū)：被除數(shù)÷除數(shù)=商。

（3）理解“一半”的意思，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)1 / 2的意義。

①把1個(gè)蘋(píng)果平均分成2份，每份是多少？根據(jù)除法的意義，想一想，怎么列式？1÷2表示什么意思？1÷2=？

②引出1 / 2，說(shuō)說(shuō)1 / 2的意思。

③剛才我們從蘋(píng)果中找到了1 / 2，那你能從圖形中找出1 / 2嗎？（活動(dòng)操作過(guò)程略）

（4）類(lèi)比遷移，認(rèn)識(shí)幾分之一（略）。

（5）初步感知整體“1”。

師（小結(jié)）：由于整體的個(gè)數(shù)不同，它們的1 / 2所表示的個(gè)數(shù)也不一樣。

（6）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)各部分的名稱(chēng)（略）。

設(shè)計(jì)思路：從分?jǐn)?shù)的引入開(kāi)始就把整體“1”的均分和單個(gè)“1”的均分結(jié)合在一起認(rèn)識(shí)，使學(xué)生接納分?jǐn)?shù)時(shí)就較好地建構(gòu)起比較完整的分?jǐn)?shù)意義。

階段2：五年級(jí)下冊(cè)──改變編排結(jié)構(gòu)，完善分?jǐn)?shù)認(rèn)知系統(tǒng)。

“分?jǐn)?shù)的意義”的學(xué)習(xí)主要是對(duì)三年級(jí)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的完善，教學(xué)時(shí)筆者除了重點(diǎn)揭示單位“1”和認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位外，還把原本分兩個(gè)課時(shí)教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”與“分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系”的新授整合在一節(jié)課中嘗試教學(xué)。

（1）分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

①老師買(mǎi)了6個(gè)餅，平均分給3個(gè)人，每人得到多少個(gè)？

生：6÷3=2（個(gè)）。

②1.5個(gè)餅平均分給3個(gè)人，每人得到多少個(gè)？

生：1.5÷3=0.5（個(gè)）。

……

師：觀察這些算式，你發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法有什么關(guān)系？

師（小結(jié)）：看來(lái)，兩個(gè)數(shù)相除，商不僅可以用小數(shù)來(lái)表示，也可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。

③如果用字母a表示被除數(shù)，b表示除數(shù)，誰(shuí)可以用字母來(lái)表示這種關(guān)系？（板書(shū)：a÷b=a / b）

師：a / b是a÷b的商，在這里它表示一個(gè)具體的量，有時(shí)也表示一種關(guān)系。

設(shè)計(jì)思路：以除法的含義為解決問(wèn)題的主線(xiàn)，讓學(xué)生感受到解決問(wèn)題的方法是一樣的，只是商的表達(dá)方式不同。這樣教學(xué)，不僅讓學(xué)生比較清楚地認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系，又能讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)可以表示具體數(shù)量，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)表示分率做好準(zhǔn)備。

（2）單位“1”的認(rèn)識(shí)。

①師：看到a / b，你會(huì)想到哪些分?jǐn)?shù)？（生答略）

師：請(qǐng)舉例說(shuō)說(shuō)1 / 4的含義，也可以畫(huà)圖表示。

②學(xué)生反饋交流（略）。

（3）師：在表示1 / 4的過(guò)程中，有什么共同點(diǎn)？（都是平均分成4份，取了其中的1份）有什么不同的地方？（分的物體不同）

（4）在分?jǐn)?shù)與除法、具體量與分率的溝通中認(rèn)識(shí)單位“1”。

（5）師（小結(jié)）：我們把一個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)表示。這個(gè)整體可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常把它叫做單位“1”。表示其中的一份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)單位。

設(shè)計(jì)思路：這里抓住1 / 4這個(gè)突破口，強(qiáng)化1 / 4的含義，引導(dǎo)學(xué)生理解雖然單位“1”不同，但都是用分?jǐn)?shù)1 / 4表示。通過(guò)圖的變換，讓學(xué)生對(duì)單位“1”是一個(gè)物體的認(rèn)識(shí)，逐步拓展到單位“1”是多個(gè)物體的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步理解單位“1”和分?jǐn)?shù)單位。

策略（二）：指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法，引領(lǐng)分?jǐn)?shù)的兩種意義

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)，尤其是剛開(kāi)始接觸分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生對(duì)于正確區(qū)分量、率更是個(gè)難點(diǎn)。教學(xué)中，教師可給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時(shí)收到事半功倍的效果。

1.單位區(qū)分。

如上述題目，分析時(shí)可以先從題目的字面入手，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，觀察這兩個(gè)問(wèn)題有什么異同。通過(guò)比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第一個(gè)括號(hào)后面沒(méi)有單位，而第二個(gè)括號(hào)后面是有單位的。如“每份占總量的幾分之幾”“甲是乙的幾分之幾”所表示的就是分率，分率是沒(méi)有單位的；如“每段長(zhǎng)幾分之幾米”“每份是幾分之幾”所表示的就是具體數(shù)量，數(shù)量是有單位的。第一個(gè)問(wèn)題“每段是這根木料的幾分之幾”，求的是分率，以木料的全長(zhǎng)為標(biāo)準(zhǔn)；第二個(gè)問(wèn)題“每段長(zhǎng)幾米”，求的是數(shù)量。

2.數(shù)形結(jié)合。

我們可以借助畫(huà)線(xiàn)段圖或示意圖等方法來(lái)幫助學(xué)生理解題意，從而把抽象的問(wèn)題變?yōu)橹庇^圖形。如上述錯(cuò)例分析中，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意分別畫(huà)出兩幅線(xiàn)段圖。如下圖：

師：圖1是把誰(shuí)看做單位“1”？（整根木料）平均分成幾段？（5段）其中的一段就是表示“每段是這根木料的幾分之幾”，用算式表示是1÷5=1 / 5。圖2是把誰(shuí)平均分成5段？（4米長(zhǎng)的木料）每段是多少米？用算式表示是4÷5=4 / 5（米）。

策略（三）：拓展題目類(lèi)型，強(qiáng)化分?jǐn)?shù)兩種意義

認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系后，可以設(shè)計(jì)一些專(zhuān)門(mén)區(qū)分分?jǐn)?shù)兩種意義的對(duì)比練習(xí)題，以便學(xué)生更好分辨“什么時(shí)候是一種關(guān)系，什么時(shí)候是具體的數(shù)量”“什么時(shí)候該加單位，什么時(shí)候不該加單位”。如下：

（1）基礎(chǔ)練習(xí)。

①一根5米的鋼管平均截成8段，每段是這根鋼管的（ ），每段長(zhǎng)（ ）米。

②同學(xué)們到植物園參觀，用25分鐘走了2千米，平均每分鐘走（ ）千米。

（2）拓展練習(xí)。

①小明做完以下三項(xiàng)作業(yè)要2小時(shí)，其中做作業(yè)用了1 / 2小時(shí)，聽(tīng)英語(yǔ)用了1 / 4小時(shí)，那剩下的體育鍛煉要用幾小時(shí)？

②小明做完以下三項(xiàng)作業(yè)要2小時(shí)，其中做作業(yè)用了所有時(shí)間的1 / 2，聽(tīng)英語(yǔ)用了1 / 4，那剩下的體育鍛煉用了全部時(shí)間的幾分之幾？

筆者對(duì)于三年級(jí)和五年級(jí)兩次教學(xué)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容各有側(cè)重，從教學(xué)情況和效果來(lái)看，雖然仍有很多不成熟的地方，但能幫助學(xué)生比較完整地掌握分?jǐn)?shù)的兩種意義，為今后小數(shù)乘除法、分?jǐn)?shù)乘除法等計(jì)算教學(xué)和相關(guān)的解決問(wèn)題的教學(xué)做好鋪墊。

（責(zé)編 杜 華）