王思驊

【摘 要】學生的度量意識不是憑空形成的，需要在度量的活動中培養(yǎng)和發(fā)展，而度量原理和方法則需要在大量的實驗中發(fā)現(xiàn)和感悟。度量實驗能夠幫助學生實現(xiàn)對度量方法的自我建構，培養(yǎng)學生解決問題的能力。文章以“角的度量”為例，闡述如何在度量實驗中發(fā)展學生思維。

【關鍵詞】技能學習 度量實驗 角的度量

量角器作為高度簡約化、高度智慧化的度量工具，其建構過程對學生度量意識的培養(yǎng)和數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展具有非常重要的價值。以往因教學設計的偏差，教師容易將學生角色定位成“量角器的使用者”，讓學生進行大量的技能訓練，學生沒有真正掌握其要領，學習效果不如預期。而度量意識的建立和發(fā)展，需要從度量實驗入手。通過調動度量經驗、提出猜想、控制變量、設計量角器，學生逐步感悟到量角器中蘊含的度量的本質，積累了豐富的數(shù)學活動經驗，將度量技能的學習上升到度量意識培養(yǎng)。基于以上認識，筆者以數(shù)學度量實驗為學生主要學習方式，以“角的度量”為例，進行了教學的改進設計。

一、聯(lián)結舊知，調動度量的經驗

師：全鋪、半鋪、邊鋪這三種方法，有什么共同點？

生1：都是用邊長1厘米的正方形去量的。

生2：從測量結果可以發(fā)現(xiàn)，有多少個這樣的正方形，長方形的面積就是幾平方厘米。

師：回顧一下長度的測量，我們是怎么測量的？

生3：用直尺測量，觀察直尺上的刻度。

師：如何根據刻度判斷長度？

生4：一般我們以1厘米為單位，線段包含幾厘米，長度就是幾厘米。

師：角的度量也需要單位嗎？

度量是將事物的屬性量化，即以一定的標準為單位進行測量。度量角就是以一種統(tǒng)一的度量單位作為標準，對某個角進行測量得出的一種數(shù)據，是對角的大小的描述。

角的度量對象是兩條邊張開的程度，是具有二維特征的特殊對象。因此，學生在理解角的度量時存在障礙，容易誤認為“角的大小”等于角的兩條邊之間的“寬度”，從而得出錯誤的結論：角的兩條邊越長，角的度數(shù)就越大。學生如果對角的度量本質不明，對量角方法的本質理解就會出現(xiàn)偏差。

“角”作為陌生的度量對象，和長度、面積與質量等有著明顯的不同，但其度量原理是相同的，即用具有同一屬性的單位去比較、填充、度量。被測的對象角中包含多少個單位角，它的角度就是多少。學生已經具備長度和面積測量的經驗，這對角的度量的學習具有正向的遷移價值。

筆者教學“角的度量”這節(jié)課時，重在引導學生結合以往的度量經驗，明確度量單位往往比度量對象要小，也就是“以小量大”。接著引導學生類比遷移，對比長度和面積度量，思考角的度量是否也需要度量單位和工具。

在導入階段，筆者讓學生對長方形的面積的測量進行回顧和梳理，以調動學生關于面積測量的基本經驗。接著，出示一個長6厘米、寬4厘米的長方形，組織學生圍繞兩個問題進行交流：你準備怎樣測量這個長方形的面積？如果只有一個小正方形，怎樣確定面積值？通過交流，學生進一步明確測量面積需要用測量單位，其中“邊鋪”的方法是最佳選擇，它基于測量原理又不囿于測量原理。只需要從“邊”下手，以邊長1厘米的小正方形為單位去度量，有多少個這樣的面積單位，長方形的面積就是幾平方厘米。這一原理將貫穿學生角的度量學習的始終。

二、提出猜想，遷移度量的本質

師：要測量一個角的大小，怎么辦？

生1：可以用三角尺比一比。

生2：如果角的大小是67°呢？

生3：看來角的度量也需要單位。

師：簡單地猜想一下，單位角可能是多少度？

生4：我們測量面積用的是1平方厘米，測量長度用的是1厘米，所以單位角應該是1°。

生5：我不同意，1°角太小了，你能找得到嗎？

我們常?？匆妼W生拿著量角器茫然無措的樣子，他們不知道如何擺放量角器，才能使量角器上的“角”與所測量的角重合。

在復習導入的基礎上，學生能夠將長度和面積測量的經驗遷移到角的度量上，初步明確度量角的本質，即包含多少個單位角，被度量的角的度數(shù)就是多少。

教學中，筆者首先讓學生思考：要測量一個角的大小，怎么辦？學生結合度量經驗對如何測量一個角提出猜想?？梢越柚浅弑纫槐?，利用已知度數(shù)來測量。經過全班交流，學生意識到如果在三角板上找不到與這個角相匹配的角度，也無法拼接測量得到時，那么這個角的度量就需要單位。

在激烈的討論過程中，學生自主合情推理出角的度量單位的可能樣態(tài)。有的學生選擇1°角，有的學生選擇10°角。學生在選擇時經歷了一個糾結的過程，可以看出他們對1°角和10°角的概念并沒有直觀上的認識，需要從實際生活中進一步建立1°角和10°角的直觀表象。

猜想環(huán)節(jié)的設計，對度量角的學習具有正向的遷移價值，為后續(xù)的實驗開展奠定了基礎，讓學生帶著問題、帶著猜想去實驗和去探索，還滲透了對科學研究及其態(tài)度的培養(yǎng)。在達成“用單位角比較”共識的基礎上，組織學生開展之后的小組實驗活動。

三、設計角度量實驗，確定單位角

師：如何證明你們的猜想是準確的呢？

生1：選擇幾個角量一量，通過測量結果來判斷。

生2：測量后，如果和猜想有較大差距，可以對照猜想進行調整。

同桌協(xié)作完成活動一。

活動一：

要求：選擇三角尺或10°角，測量出圖1中3個角的大小，并說說你是怎么測量的。

實驗材料：一副三角尺、若干個10°角、①號角（75°）、②號角（40°）和③號角（36°）。

全班匯報交流。

生3：三角尺上的45°角和30°角拼接在一起，可以和①號角相匹配。

生4：②號角的度數(shù)不是我們熟悉的，但它可以用4個10度角拼起來去量。

生5：測量③號角用不上4個10°角，但是3個又不夠，它的度數(shù)應該在30°～40°。

師：③號角很特別，怎樣才能較為準確地測量出它的度數(shù)呢？

小組討論，其他學生補充：還需要比10°角更小的角，要繼續(xù)往下分。

學生在測量的過程中會發(fā)現(xiàn)：用三角尺上的45°角和30°角拼接后，正好與①號角相匹配，角度就是75°。②號角，4個10°角拼起來可以測量，角度是40°，但實際拼接的過程并不順利，需要同桌協(xié)作。學生感慨：如果有合適的測量工具便能夠事半功倍；測量③號角，發(fā)現(xiàn)角度在30°～40°，需要把10°角繼續(xù)細分，比如1°角。三個角的設計是有梯度的，旨在引導學生在實驗的過程中不斷質疑，在解決困難的過程中，啟發(fā)學生用作測量單位的角應盡可能小，而1°角能滿足測量所有角的大小的需要，比較精確。但是，這個“1°角”實在太小，實際操作會比10°角更加不方便，容易數(shù)錯。

在這個基礎上，筆者提出設問：如何保留“1°角”的優(yōu)勢而彌補它的不足？順勢引導學生把單位小角合并為半圓工具，這樣就非常巧妙地揭示了“量角器就是單位小角的集合”。活動一既突出了度量的原理，又建立了“1°角”和“10°角”的直觀表象，突出了角的單位的認知，讓學生明白用1°角這個單位去量，其結果就是多少度。

這一環(huán)節(jié)的教學，筆者抓住“學生的認知沖突”這一核心，引導學生在實驗過程中不斷改變量角方法，并調整單位角的度數(shù)，在一次次思維爭辯中明確、理解、應用1°角。此外，結合設問促使學生發(fā)現(xiàn)和辨別1°角的特征，為學生真正理解量角器的本質打好基礎。

四、控制變量，感悟量角的本質

學生獨立完成活動三后，小組交流。

師：你是怎么量的？上來演示給大家看。

生1演示測量125°角的過程。

教師相機點撥，強調“點重合，邊重合”。

生2演示測量55°角（不同朝向），認為度數(shù)也是125°。

生3：我不同意，這個是銳角，應該是55°。我是這么量的。

生3先把角旋轉，調整到同一個朝向，測量結果是125°。

生4：我們小組發(fā)現(xiàn)可以不用旋轉，只要再添一圈刻度。

生4展示兩圈刻度量角器。

教師組織學生嘗試畫第二圈刻度，再次量角，總結量角方法。

教材中的量角器作為一個“成品”被直接呈現(xiàn)，它是怎么出現(xiàn)的？它的構造原理是什么？中心點、零刻度線、內外刻度線等這些晦澀的、抽象的數(shù)學概念又該怎么理解？對學生來說這些疑問都給認識角的度量的原理造成障礙，學生不了解量角器的來龍去脈，對量角器的結構特點也不理解。

為了有效突破這一難點，教師應為學生認識量角器提供自主探究的空間，引導學生參與對量角器的制作中，把學生的角色從“量角器的使用者”解放出來，在探索和實踐中有效轉變?yōu)椤傲拷瞧鞯脑O計者”。

以往的教學中，教師往往采用講解、示范操作，按部就班地直接教授度量的基本規(guī)則，而后學生模仿并反復操練的教學方式，以此來解答學生的疑問。學生無法真正參與其中，很難在操作和嘗試中發(fā)現(xiàn)問題，學習效果也不理想。

因此，教師需要對量角器的結構和使用的教學步驟進行合理的設計和分解。于是，筆者對現(xiàn)有教材進行了補充，設計了活動二、活動三的測量實驗活動。

活動二：用若干個10°角擺出90°角。

實驗材料是若干個10°角。首先，學生展示擺一擺的過程。其次，教師用課件動畫演示。在這個基礎上，筆者提出設問：如果再加90°，會是怎樣的？接著教師用課件動畫演示，18個10°也就是180°，形成了一個半圓。教師帶領學生10°、10°地數(shù)，使學生再次充分感受單位角累加的過程，領悟量角器的本質，為理解量角的原理打下堅實的基礎。最后，利用提供的“簡易量角器”讓學生初步練習量角。

這個實驗活動的變量是什么？

從“10°角”推廣到“簡易量角器”。通過這一變化讓學生親歷量角器的動態(tài)“漸變”過程，賦予其“現(xiàn)實需要”，促使學生理解量角器的來龍去脈，調動學生的學習積極性。教師可以先展示無刻度的量角器，讓學生初步認識量角器的“雛形”。相比于“成品量角器”，簡易量角器線條稀疏、無刻度。正因為這個特點，學生掌握量角的方法時減少了很多干擾，對于學習量角方法有較大的優(yōu)勢。

教師按需給予了學生“10°角”這個直觀材料，一方面從建立角的大小的量化觀念出發(fā)，引導學生在觀察和操作等過程中聚焦量角器的本質，使學生鞏固“量角器的本質是單位小角的集合”的認識；另一方面遵循學生的認知規(guī)律，引導學生對單位小角的選擇進行優(yōu)化。擺一擺的操作活動，學生充分參與量角器的制作過程中，同時教師借助課件演示，為學生認識半圓形量角器的形成提供了感性材料。

活動三：安排學生測量兩個開口正好相反的角——125°角和55°角。（如圖2）

這一活動的變量是從單圈刻度過渡到兩圈刻度。觀察平時的教學，不難發(fā)現(xiàn)學生對量角器上兩圈刻度的作用和由來，并不太理解。“尺”作為學生最熟悉的度量工具，只有單向刻度。如果量角器只有單向刻度，那么量不同朝向的角的大小就非常麻煩，因此不得不在內圈也加上刻度。通過這個活動，進一步突顯矛盾沖突，產生一種強烈的心理傾向，即量角器要有內外兩圈刻度，到此，一個完整的量角器成型了。這樣一來量角器成了學生自己的作品，學生自主建構起量角器這一模型。

為了讓學生正確地量角，筆者改變了策略。除了安排學生上臺展示量角的過程，集體交流，還組織小組互相學習量角方法，給學生充分的時間動手操作，觀察別人是怎么量的，引導學生之間互相啟發(fā)。最后，安排學生開展“讀角”游戲，引導學生思考要度量的角與哪條始邊重合，重點關注從哪邊的0°開始讀起，從而幫助學生真正理解角的度量的內在原理。學生在這樣真實、自然、動態(tài)的游戲過程中不斷積累量角的經驗，繼續(xù)加深對內圈和外圈的區(qū)分，從而將度量規(guī)則自我內化。

度量意識的形成不是憑空出現(xiàn)的，需要在實踐中培養(yǎng)。提升技能學習，要以學生的實質發(fā)展為目標，以數(shù)學實驗為依托，創(chuàng)造性地構建技能學習的方式，通過數(shù)學實驗促進學生思維的縱深發(fā)展，才是技能學習的核心和最終歸宿。

注：本文系南京市教育科學“十四五”規(guī)劃課題“指向核心素養(yǎng)提升的‘好玩數(shù)學課實踐”（課題批準號：L/2021/230）的階段性成果。