謝杭建　陳中峰

摘? 要：從命題的視角對2023年高考集合、常用邏輯用語、不等式的考查內(nèi)容從題型、題量、考點分布等方面進行分析，指出各部分試題的命題特點. 從重視“四基”考查，突出基礎(chǔ)知識考查；重視知識交會，突出學科素養(yǎng)考查；重視情境創(chuàng)新，突出數(shù)學本質(zhì)考查三個維度進行命題導(dǎo)向分析，并給出復(fù)習教學建議.

關(guān)鍵詞：集合；常用邏輯用語；不等式；命題特點；復(fù)習建議

《教育部關(guān)于做好2023年普通高校招生工作的通知》（以下簡稱《通知》）中指出：“高考命題體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，注重考查關(guān)鍵能力、學科素養(yǎng)和思維品質(zhì)，注重考查學生對所學知識的融會貫通和靈活運用.”2023年各份高考試卷中的集合、常用邏輯用語和不等式試題很好地體現(xiàn)了《通知》的精神，獨立考查的試題主要考查學生對相關(guān)概念的理解及基本運算，與其他內(nèi)容綜合命制的試題主要體現(xiàn)其工具性作用，需要學生具備較寬的知識面，有難度的交會試題還需要學生對相關(guān)知識和方法融會貫通.

一、考查內(nèi)容分析

1. 集合部分考查內(nèi)容分析

從題型、題量、分值來看，2023年高考對集合內(nèi)容的考查，除全國乙卷（理科）涉及2道選擇題外，其他試卷中均包含1道選擇題. 除全國乙卷（文科）第2題、全國乙卷（理科）的第2題和第10題外，其他試卷中的集合試題均為全卷第1題. 北京卷中集合試題對應(yīng)的分值為4分，全國乙卷（理科）中集合試題對應(yīng)的總分值為10分，其他試卷中集合試題對應(yīng)的分值均為5分.

從考點分布來看，獨立考查集合內(nèi)容的試卷包括：全國甲卷（文、理科）、全國乙卷（文科）、天津卷、上海卷. 其中，上海卷考查兩個集合的差集運算，屬于新定義試題情境，其余試卷均考查集合的基本運算. 僅交會考查集合內(nèi)容的試卷包括：全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷和北京卷. 具體地，全國新高考Ⅰ卷中與一元二次不等式交會考查交集運算，全國新高考Ⅱ卷中與一元一次方程交會考查集合間的關(guān)系，北京卷中與一元一次不等式交會考查交集運算. 全國乙卷（理科）第2題獨立考查集合內(nèi)容，第10題與余弦型函數(shù)的周期性和等差數(shù)列的通項公式交會命題，考查集合的含義. 無論獨立考查還是交會考查，以上各題均涉及集合的含義和表示.

從上述分析來看，2023年高考對集合內(nèi)容的考查難度與往年持平，試題情境主要是集合的運算或集合與不等式的交會，很好地保持了命題的連續(xù)性和穩(wěn)定性. 與2022年不同的是，上海卷中出現(xiàn)了新定義試題情境，全國乙卷（理科）第10題將集合與余弦型函數(shù)的周期性和等差數(shù)列的通項公式交會命制，具有一定的思維含量，是一道比較新穎的考查集合內(nèi)容的試題.

2. 常用邏輯用語部分考查內(nèi)容分析

從題型、題量、分值來看，2023年的高考數(shù)學試卷中，只有全國甲卷（理科）第7題（5分）、全國新高考Ⅰ卷第7題（5分）、北京卷第8題（4分）、上海卷第16題（5分）和天津卷第2題（5分）涉及對常用邏輯用語內(nèi)容的考查.

從考點分布來看，上述5道試題均為與其他內(nèi)容交會考查常用邏輯用語相關(guān)內(nèi)容. 其中，上海卷第16題以圓錐曲線新定義為試題情境，考查命題的真假判斷，是選擇題的壓軸題，有一定的難度. 其他4道試題均為充分條件和必要條件的定義與其他知識的交會，如全國甲卷（理科）第7題涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，全國新高考Ⅰ卷第7題涉及等差數(shù)列的定義，北京卷第8題和天津卷第2題均涉及基本不等式．

從上述分析來看，2023年高考對常用邏輯用語的考查難度與往年持平，很好地保持了命題的連續(xù)性和穩(wěn)定性. 與2022年不同的是，全國新高考Ⅰ卷和全國甲卷（理科）中也考查了這部分內(nèi)容.

3. 不等式部分考查內(nèi)容分析

從題型、題量、分值來看，2023年高考除全國甲卷（理科）的選擇題和全國新高考Ⅱ卷的填空題未涉及對不等式內(nèi)容的考查外，其他試卷中的各類題型均考查了不等式內(nèi)容. 大部分試卷中涉及不等式內(nèi)容的試題有7 ～ 9道. 特別地，全國乙卷（文科）涉及不等式相關(guān)內(nèi)容的試題最多，共10道（比2022年多3道）；全國甲卷（理科）涉及不等式相關(guān)內(nèi)容的試題最少，共4道（比2022年少2道）；變化最大的是北京卷，相關(guān)試題的數(shù)量由2022年的9道減少為5道. 由于2023年高考中只有個別試題是對不等式內(nèi)容進行單獨考查的，大部分都是與其他知識交會考查，且在部分試題中不等式內(nèi)容只是起到工具性作用，因此無法十分準確地統(tǒng)計其所占分值．

從考點分布上看，不等式內(nèi)容主要涉及等式與不等式的性質(zhì)、一元一次不等式（組）和一元二次不等式（組）、均值不等式、絕對值不等式、柯西不等式、線性規(guī)劃等. 2023年高考獨立考查不等式內(nèi)容的試題難度較小，要么考查解絕對值不等式，如上海卷第17題、全國甲卷（文、理科）第23題、全國乙卷（文、理科）第23題；要么考查線性規(guī)劃，如全國甲卷（理科）第14題、全國甲卷（文科）第15題、全國乙卷（理科）第14題、全國乙卷（文科）第15題. 除此之外，其他試題均是在知識的交會處融入對不等式的考查.

2023年高考與不等式交會考查的主要內(nèi)容有：基本初等函數(shù)、數(shù)列、平面向量、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、直線與圓、圓錐曲線、立體幾何、概率統(tǒng)計等.具體包括以下幾個特點：（1）所有試卷中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題均涉及對不等式內(nèi)容的考查，且難度較大；（2）所有全國卷中均涉及對圓錐曲線與不等式內(nèi)容交會的考查；（3）除天津卷外，其他試卷均涉及對三角函數(shù)與不等式內(nèi)容交會的考查.

從上述分析來看，2023年高考對不等式內(nèi)容的考查除個別試卷中相關(guān)試題的題量有大幅度增減外，總體變化不大；在交會處命題的三個特點也與往年基本保持一致. 相較于2022年的變化有如下三點.

第一，2023年全國甲卷（文、理科）和全國乙卷（文、理科）的選考題獨立考查以絕對值不等式替代柯西不等式.

第二，2022年只有全國乙卷（文科）考查線性規(guī)劃內(nèi)容，2023年全國甲卷（文、理科）和全國乙卷（文、理科）均考查了線性規(guī)劃內(nèi)容，而且文、理科同題.

第三，不等式內(nèi)容在程序框圖中的考查由2022年的全國乙卷（文、理科）調(diào)整到全國甲卷（文、理科）.

第四，2023年高考不涉及不等式和常用邏輯用語的交會命題，但是增加了對不等式和二項式定理的交會考查，穩(wěn)定中有些許變化.

由此可見，2023年高考不等式相關(guān)試題較好地保持了命題的連續(xù)性和穩(wěn)定性. 試題難度跨越簡單題到難題，很好地考查了不同層次學生的基礎(chǔ)知識、關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)．

二、命題特點分析

1. 命題意圖分析

（1）立足基礎(chǔ)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性.

2023年集合、常用邏輯用語、不等式試題的設(shè)計注重發(fā)揮引導(dǎo)教學的功能. 試題回歸知識原點、回歸基礎(chǔ)和通性通法、回歸教材內(nèi)容、回歸體驗過程，體現(xiàn)基礎(chǔ)性. 作為必考題，大部分集合試題位于試卷前3題的位置，試題注重體現(xiàn)集合的概念與表示、集合的基本關(guān)系與基本運算；常用邏輯用語雖然常與其他知識交會考查，但是相關(guān)定義也是必須掌握的，如充分條件和必要條件等；不等式作為重要的數(shù)學工具，2023年高考獨立考查不等式試題的主要涉及線性規(guī)劃，以及全國甲卷（文、理科）和全國乙卷（文、理科）選考題中的以絕對值不等式替代柯西不等式. 其他試題與不等式交會時，主要涉及的不等式基礎(chǔ)知識有不等式的性質(zhì)、均值不等式、絕對值不等式等，體現(xiàn)不等式內(nèi)容的基礎(chǔ)性作用．

例1 （全國新高考Ⅰ卷·1）已知集合[M=][-2，-1，0，1，2，N=xx2-x-6≥0，] 則[M?N]等于（? ? ）.

（A）[-2，-1，0，1]

（B）[0，1，2]

（C）[-2]

（D）[2]

答案：C.

考查目標：此題考查的知識是集合的列舉法、描述法，交集運算和解一元二次不等式．

試題立意：此題以學生熟悉的集合的表示方法為載體，考查集合的交集運算及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力. 要求學生借助數(shù)軸或觀察法求出[M?N]，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)．

命題評價：此題保持高考對集合內(nèi)容考查的一貫形式，利用列舉法或描述法直接給出兩個集合進行命題，利用觀察法、Venn圖或數(shù)軸，根據(jù)集合運算的概念即可求解，一步到位，屬于基礎(chǔ)題．

（2）立足交會，體現(xiàn)綜合性.

2023年高考集合、常用邏輯用語、不等式試題深入考查學生對相關(guān)基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解、融會貫通和綜合應(yīng)用. 例如，全國乙卷（理科）第10題是集合、數(shù)列、三角函數(shù)的綜合題，深入考查集合的概念和三角函數(shù)的周期性，既可以通過三角函數(shù)的周期性求解，也可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 集合與其他知識的交會考查相對較少；常用邏輯用語都是與其他知識交會考查；而不等式試題除個別獨立考查不等式內(nèi)容外，大部分是與其他知識交會考查，在各題型的試題中位置大多數(shù)也靠后，綜合性強，一般難度都比較大.

例2 （全國甲卷·理7）設(shè)甲：“[sin2α+sin2β=1]”，乙：“[sinα+cosβ=0]”，則（? ? ）.

（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件

（B）甲是乙的必要條件但不是充分條件

（C）甲是乙的充要條件

（D）甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：B.

考查目標：此題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及充分條件和必要條件的定義.

試題立意：此題以三角公式為載體，創(chuàng)設(shè)考查充要條件的問題情境，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、充分條件、必要條件等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力和運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，體現(xiàn)對理性思維的考查．

命題評價：充分條件、必要條件與不等式、向量、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識結(jié)合進行考查，是高考的命題熱點. 此題與三角公式相結(jié)合命制，判斷充分性時舉反例即可，證明必要性時代入推證即可，屬于基礎(chǔ)題，常態(tài)化地考查了學生判斷充分條件和必要條件的方法. 2022年浙江卷第4題同樣以三角函數(shù)為試題情境交會考查充分條件和必要條件，近幾年隨著對邏輯推理能力的重視，將常用邏輯用語與其他知識交會考查已較為普遍. 相關(guān)交會知識大部分涉及基本概念、公式、定理，以及基本計算. 因此，我們需要掌握充分條件、必要條件的基本判斷方法，同時夯實基礎(chǔ)知識．

（3）立足情境，體現(xiàn)工具性.

高考數(shù)學試題的情境主要包括數(shù)學課程學習情境、數(shù)學探索創(chuàng)新情境和生活實踐情境. 情境設(shè)計的主要目的是檢測學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 合適的情境能增強試題的開放性和探究性，有效考查學生獨立思考和理性思維的水平，同時對學生的學科素養(yǎng)和核心能力提出了更高的要求，其要求學生由“解答試題”轉(zhuǎn)向“解決問題”. 就不等式部分而言，在2023年9份高考試卷解答題的壓軸題或次壓軸題中，幾乎都可以看到不等式的影子，它們或與圓錐曲線交會，或與函數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等交會，覆蓋了高中數(shù)學的所有主干知識. 例如，全國甲卷（文、理科）第20題和第21題，全國乙卷（理科）第21題，全國乙卷（文科）第20題和第21題，全國新高考Ⅰ卷第22題，全國新高考Ⅱ卷第22題，北京卷第20題，上海卷第20題和第21題，天津卷第19題和第20題，等等. 這些試題的情境都是數(shù)學課程學習情境或數(shù)學探索創(chuàng)新情境，突出對關(guān)鍵能力的考查，有利于篩選善于獨立思考、認知能力強的學生. 作為解決數(shù)學問題的基本工具，不等式在這些試題中充分顯示了其基礎(chǔ)性和工具性作用.

例3 （全國甲卷·理21）已知函數(shù)[fx=ax-][sinxcos3x，x∈0， π2].

（1）若[a=8]時，討論[fx]的單調(diào)性；

（2）若[fx

答案：（1）[fx]在[0， π4]上單調(diào)遞增，在[π4， π2]上單調(diào)遞減；

（2）[-∞，3].

考查目標：此題考查的知識是三角公式變換、換元法、函數(shù)求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)工具求函數(shù)極值或最值等．

試題立意：此題以三角函數(shù)和一次函數(shù)為載體命制，屬于數(shù)學課程學習情境. 第（1）小題中創(chuàng)設(shè)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的問題情境，交會考查了導(dǎo)數(shù)運算法則、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法、換元法、三角公式等基礎(chǔ)知識. 第（2）小題中創(chuàng)設(shè)不等式的恒成立問題，融合考查了函數(shù)、不等式、方程、三角、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查了解決不等式恒成立問題的通性通法，考查運算求解和邏輯推理能力，考查函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想．

命題評價：綜觀歷年高考試卷，不等式與導(dǎo)數(shù)之間的融合似乎是永恒的主題. 2023年高考不等式試題基本做到了不等式與其他知識板塊內(nèi)容融合應(yīng)用的全題型覆蓋，充分體現(xiàn)了不等式的基礎(chǔ)性和工具性. 此題以三角函數(shù)和一次函數(shù)為載體，實現(xiàn)了函數(shù)、不等式、方程、三角、導(dǎo)數(shù)運算法則及其應(yīng)用、換元法等自然融合，印證了“注重考查學生對所學知識的融會貫通和靈活運用”的命題指導(dǎo)思想. 與此類似的命題思想在各卷中均存在. 例如，全國乙卷（文科）第20題與此題是姊妹題，與此題考查知識方法基本一致，只是文科試題沒有涉及二次求導(dǎo)；全國乙卷（文科）第20題和全國乙卷（理科）第21題也是姊妹題，交會考查了函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)運算法則及其應(yīng)用等知識，很好地考查了利用不等式的工具性解決問題，考查了學生思維的條理性和嚴謹性．

2. 命題導(dǎo)向分析

（1）重視“四基”“四能”，突出對基礎(chǔ)知識的考查.

從前面的“考查內(nèi)容分析”中可以發(fā)現(xiàn)2023年各份高考試卷對集合、常用邏輯用語與不等式內(nèi)容的考查突出了基礎(chǔ)性的考查要求. 集合部分突出考查兩個集合的交集、并集、補集運算，以及兩個集合間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識；常用邏輯用語部分，突出考查充分條件和必要條件的定義等基礎(chǔ)知識；不等式部分突出考查絕對值不等式、線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識，這些知識與其他知識交會時，也起到了不可忽視的作用，考查了學生對基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解，以及融會貫通的應(yīng)用.

例4 （全國乙卷·文 / 理23）已知[fx=2x+][x-2].

（1）求不等式[fx≤6-x]的解集；

（2）在直角坐標系[xOy]中，求不等式組[fx≤y，x+y-6≤0]所確定的平面區(qū)域的面積.

答案：（1）[x-2≤x≤2]；（2）8.

考查目標：此題考查的知識是絕對值函數(shù)、絕對值不等式的求解，以及求可行域的面積.

試題立意：此題以分段函數(shù)為載體，考查含絕對值不等式的求解問題，可行域的確定及面積問題屬于數(shù)學課程學習情境. 第（1）小題通過分類討論將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來求解不等式的解集；第（2）小題通過不等式組確定平面區(qū)域，轉(zhuǎn)化為三角形面積問題. 突出考查了絕對值不等式等基礎(chǔ)知識，解絕對值不等式（組）的基本技能，以及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合和分類討論等思想. 這是一道常規(guī)試題，學生可以利用已有的數(shù)學基本活動經(jīng)驗求解，此題同時考查了運算求解能力和邏輯推理能力.

命題評價：高考對不等式選講內(nèi)容的考查均位于全國甲卷（文 / 理科）和全國乙卷（文 / 理科）的第23題，從近三年來看，2021年和2023年均以分段函數(shù)為載體，2022年考查三個數(shù)的均值不等式和柯西不等式等. 2021年的不等式選講試題重點考查解不等式及解含參不等式，2023年的不等式選講試題不僅考查了解不等式、含參不等式，而且進一步與線性規(guī)劃相結(jié)合考查了求平面區(qū)域的面積. 此題既有不等式選講中絕對值不等式章節(jié)例題和習題的影子，也有線性規(guī)劃章節(jié)例題和習題的影子. 由此可見，我們既需要用發(fā)展的眼光思考在新的情境中命題，也要回歸教材，重視對教材知識的過程性教學.

（2）重視知識交會，突出對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查.

2023年高考集合、常用邏輯用語、不等式試題重視在知識交會處命題，突出對素養(yǎng)和能力的考查. 例如，全國新高考Ⅰ卷第7題重點考查邏輯推理素養(yǎng)，其以等差數(shù)列為材料考查充要條件的推證，要求學生判別充分性和必要性，然后分別進行證明，解決問題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的概念和特點進行推理論證；全國新高考Ⅰ卷第19題考查了數(shù)學運算和邏輯推理等素養(yǎng).

例5 （全國新高考Ⅰ卷·7）記[Sn]為數(shù)列[an]的前n項和，設(shè)甲：[an]為等差數(shù)列；乙：[Snn]為等差數(shù)列，則（? ? ）.

（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件

（B）甲是乙的必要條件但不是充分條件

（C）甲是乙的充要條件

（D）甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：C.

考查目標：此題考查的知識是充分條件和必要條件的定義，等差數(shù)列的前n項和.

試題立意：此題以等差數(shù)列的定義、前n項和為載體，考查充分條件和必要條件，屬于數(shù)學探索創(chuàng)新情境. 在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中的內(nèi)容要求是“通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學定義與充要條件的關(guān)系”；學業(yè)要求是“能夠借助常用邏輯用語進行數(shù)學表達、論證和交流，體會常用邏輯用語在數(shù)學中的作用”. 此題同時考查了邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想，體現(xiàn)了數(shù)學抽象和邏輯推理等素養(yǎng)．

命題評價：2023年高考試題中與充要條件交會考查的內(nèi)容涉及三角函數(shù)、數(shù)列和圓錐曲線等. 此題以等差數(shù)列為載體考查充要條件的推證，但并未遵循常規(guī)的給定等差數(shù)列求通項、求和等套路，而是將等差數(shù)列的定義、第n項、前n項和融合在充分條件和必要條件中進行考查，要求學生判別充分性和必要性，然后分別進行推理證明. 解決問題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的概念和特點進行推理論證. 試題參照人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）必修第一冊“1.4.2 充要條件”的例3和例4命制，也同時源于人教A版教材選擇性必修第二冊第25頁習題4.2的第7題. 在新授課中，對前n項和公式的挖掘和拓展有助于問題的解決. 因此，此題對高中數(shù)學教學具有指導(dǎo)作用，提醒教師在公式教學中要關(guān)注公式的過程性教學及公式的拓展應(yīng)用，同時關(guān)注對學生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

（3）重視情境創(chuàng)新，突出數(shù)學本質(zhì)的考查.

2023年高考集合、常用邏輯用語、不等式試題也體現(xiàn)了應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求. 通過情境創(chuàng)新，考查學生透過問題發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數(shù)學本質(zhì)的能力，從而達到考查學生靈活運用所學知識和思維方法解決問題的能力的目的. 例如，上海卷第16題看似考查新定義問題，其本質(zhì)是考查動點到定點的范圍問題. 在教學過程中，教師要不斷引導(dǎo)學生在解決實際問題的過程中建構(gòu)知識、揭示內(nèi)涵，講清問題的本質(zhì)，在潤物細無聲中培養(yǎng)學生的能力，提升學生的素養(yǎng).

例6 （上海卷·16）在平面上，若曲線[Γ]具有如下性質(zhì)：存在點M，使得對于任意點[P∈Γ]，都有[Q∈Γ]使得[PMQM=1]. 則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”. 判斷下列兩個命題的真假（? ? ）.

① 所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”.

② 存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線.

（A）① 假命題；② 真命題

（B）① 真命題；② 假命題

（C）① 真命題；② 真命題

（D）① 假命題；② 假命題

答案：B.

考查目標：此題考查命題真假的判斷.

試題立意：此題以“自相關(guān)曲線”的定義為載體命制，看似考查命題的真假判斷的知識，實則考查學生對數(shù)學探索創(chuàng)新情境試題中新定義的信息獲取與加工的能力，以及學生的批判性思維和創(chuàng)新思維. 求解此類情境試題的關(guān)鍵在于對新定義的理解. 此題的數(shù)學本質(zhì)是求曲線上任一點P到定點M的距離的取值范圍A，當任意[x∈A]，都有[1x∈A]時，曲線滿足定義. 獲取這個信息后，再結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷即可. 另外，還要選擇合適的方法處理.

方法1：設(shè)橢圓、雙曲線方程，點M坐標，利用傳統(tǒng)的兩點間距離進行求解，比較麻煩，此處不再展開.

方法2：根據(jù)試題信息，可得[PMmaxQMmin=1.] 設(shè)[Mm+a，0 m>0]，則[m+a+am+a-a=1]. 進一步可以得到①為真命題. 利用同樣的方法，結(jié)合雙曲線兩端無限延伸的特點，容易判斷②為假命題.

方法3：直接作出橢圓和雙曲線的草圖，結(jié)合方法2的思想方法，直接利用邏輯推理論證得出答案.

此題考查了轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

命題評價：此題通過創(chuàng)設(shè)圓錐曲線的新定義，以判斷命題真假的呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式促使學生主動思考，發(fā)現(xiàn)新定義信息中蘊含的數(shù)學問題的本質(zhì)，化生為熟，將問題轉(zhuǎn)化為已有的認知結(jié)構(gòu)，運用已有方法解決. 無情境不成題，無思維不命題，應(yīng)對新穎性題型的策略就是：在平常教學中，更多地注重回歸教材，注重過程性教學，注重培養(yǎng)學生理解數(shù)學概念、定理、公理、公式、法則的內(nèi)涵與外延，以及其生成過程，感悟數(shù)學的本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變，注重培養(yǎng)學生的數(shù)學閱讀理解能力，在課堂中滲透對關(guān)鍵能力、學科素養(yǎng)和思維品質(zhì)的逐步培養(yǎng).

三、復(fù)習教學建議

高考數(shù)學全國卷在反套路、反機械刷題上下功夫，突出強調(diào)對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活掌握，注重考查學生對學科知識的綜合應(yīng)用能力，落實《中國高考評價體系》中“四翼”的考查要求. 同時，合理控制試題難度，科學引導(dǎo)中學教學，力圖促進高中數(shù)學教學與義務(wù)教育階段數(shù)學教學的有效銜接，促進教考銜接，引導(dǎo)學生提高在校學習效率，避免機械、無效地學習. 現(xiàn)針對“集合、常用邏輯用語、不等式”專題內(nèi)容給出以下復(fù)習教學建議.

1. 夯實學科基礎(chǔ)，重視概念教學

從認知規(guī)律來看，數(shù)學概念、定理的形成一般是起始于直覺，完成于邏輯. 教材將集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、用函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式等作為預(yù)備知識，這是高中數(shù)學課程回歸數(shù)學本質(zhì)，凸顯了數(shù)學內(nèi)在邏輯和思想方法的需要，對發(fā)展學生的理性思維和邏輯推理素養(yǎng)都有非常重要的意義. 在復(fù)習教學中，教師要以教材為依托，根據(jù)語言學習的規(guī)律，促使學生在熟練運用集合語言和常用邏輯用語的過程中加強思維的概括性、間接性和邏輯性；根據(jù)不等式內(nèi)容的課程定位和內(nèi)容要求，在掌握不等式的性質(zhì)及以二次函數(shù)為紐帶建立“三個二次”知識體系的過程中，促進學生用聯(lián)系的觀點看待問題，體會數(shù)學的整體性，提升思維嚴謹性和邏輯推理能力. 因此，要充分重視概念教學，數(shù)學概念是數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能的核心，切勿以刷題代替概念教學的鞏固和深化，要從概念的形成過程、知識的內(nèi)涵和外延、思想方法和育人功能等處著手，充分發(fā)揮數(shù)學概念的指導(dǎo)作用，全面提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

2. 立足學科素養(yǎng)，重視思維開發(fā)

“能力素養(yǎng)銀線”主要考查學生的學習掌握、實踐探索，以及思維方法等方面的能力. 當前高考數(shù)學試題在考查必備知識的基礎(chǔ)上，注重考查學生對學科知識的綜合應(yīng)用能力，突出對素養(yǎng)和能力的考查，以及甄別思維品質(zhì)、展現(xiàn)思維的過程，高考數(shù)學進入了“無思維，不命題”的時期. 現(xiàn)以不等式內(nèi)容的復(fù)習備考為例進行說明. 2023年高考對不等式內(nèi)容的考查穩(wěn)定中有些許變化，不等式與其他知識交會的知識點保持高中教材全覆蓋，交會形式也是多樣的，從近年來的高考試題命題導(dǎo)向來看，每年都有新形式交會的試題呈現(xiàn)，同時進一步加大了對學生思維品質(zhì)和思維過程的考查力度. 因此，在課堂教學中，教師不僅要講透不等式相關(guān)知識，還要講清這些知識間的關(guān)聯(lián)，讓學生深刻理解不等式是一種解決問題的重要工具. 通過適度訓練，梳理、歸納解題方法，同時堅持素養(yǎng)導(dǎo)向，將數(shù)學核心素的培育滲透到每個環(huán)節(jié)，注重培養(yǎng)、訓練、提升學生的思維認知能力，促使學生形成數(shù)學基本活動經(jīng)驗.

3. 關(guān)注情境創(chuàng)設(shè)，重視素養(yǎng)達成

“情境載體串聯(lián)線”是指通過創(chuàng)設(shè)情境，將其作為任務(wù)驅(qū)動，考查學生綜合運用基礎(chǔ)知識和基本技能分析問題、解決問題的能力，實現(xiàn)對學生學科基本概念、原理、技能和思維方法的考查. 全國卷在命制情境化試題的過程中，在剪裁素材方面，注意控制文字數(shù)量和閱讀理解難度；在抽象數(shù)學問題方面，設(shè)置合理的思維強度和抽象程度；在解決問題方面，通過設(shè)置合適的運算過程和運算量，力求使情境化試題達到試題要求層次與學生認知水平的契合與貼切. 領(lǐng)悟情境內(nèi)涵、抓住數(shù)學本質(zhì)，并非一日之功，要從高一的日常教學開始. 一方面，要日復(fù)一日地堅持講好教材中的基礎(chǔ)知識，重視數(shù)學本質(zhì)的教學；另一方面，要有意識地和學生共同應(yīng)對新穎的試題情境，分析試題的條件和設(shè)問方式，教會學生根據(jù)試題的具體特點迅速捕捉信息、合理分析信息，促使學生掌握透過現(xiàn)象看本質(zhì)的本領(lǐng)，學會透過紛繁復(fù)雜的試題情境把握其內(nèi)在的數(shù)學本質(zhì)，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

四、典型模擬題

1. 已知集合[A=xx=k+12，k∈Z，B=xx=k2，k∈Z，]

則[A]與[B]之間的關(guān)系是（? ? ）.

（A）[A=B] （B）[A]?[B]

（C）[B]?[A] （D）無法比較

答案：B.

2. 已知[△ABC]的兩個內(nèi)角[A，B]的對邊邊長分別為[a，b，] 則“[A=B]”是“[acosB=bcosA]”的（? ? ）.

（A）充分非必要條件

（B）必要非充分條件

（C）充要條件

（D）非充分非必要條件

答案：C.

3. 已知函數(shù)[fx=x-1-alnx.]

（1）若[fx≥0]，求[a]的值；

（2）設(shè)[m]為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)[n， 1+12 ·][1+122 · … · 1+12n

答案：（1）[1]；（2）3.

參考文獻：

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［4］中國高考報告學術(shù)委員會. 高考政策與命題解讀（2023）［M］. 北京：現(xiàn)代教育出版社，2023.

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［9］陳中峰，謝杭建. 橫看成嶺側(cè)成峰? 主角配角都適宜：2022年高考“集合、常用邏輯用語、不等式”專題命題分析［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2022（9）：14-23.

作者簡介：謝杭建（1974— ），男，一級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究；

陳中峰（1964— ），男，正高級教師，福建省特級教師，蘇步青數(shù)學教育獎獲得者，主要從事中學數(shù)學教育教學和考? ? ? ? ? ?試評價研究.