周遠(yuǎn)方　向立政　張偉

摘? 要：2023年高考數(shù)學(xué)試題遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求，貫徹《中國高考評(píng)價(jià)體系》的理念. 在考查內(nèi)容上，科學(xué)設(shè)置情境，立足通性通法，強(qiáng)化運(yùn)算推理，貫穿理性思維，既全面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)功底與發(fā)展?jié)撡|(zhì)，又充分發(fā)揮了高考的育人功能. 在考查特點(diǎn)上，深化基礎(chǔ)性，促進(jìn)教考銜接；突出綜合性，體現(xiàn)融會(huì)貫通；強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，落實(shí)“雙減”要求；體現(xiàn)創(chuàng)新性，助力人才選拔. 對(duì)扭轉(zhuǎn)高三復(fù)習(xí)中普遍存在的隨意擴(kuò)充、無限拔高等突出問題具有正本清源的導(dǎo)向作用. 基于此，高三復(fù)習(xí)應(yīng)該堅(jiān)持回歸基礎(chǔ)、回歸教材、回歸通性通法、回歸育人本位，圍繞如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考這一核心，突出關(guān)鍵能力培養(yǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：命題特點(diǎn)；關(guān)鍵能力；核心素養(yǎng)；育人導(dǎo)向；復(fù)習(xí)建議

2023年高考數(shù)學(xué)試卷包括全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷、全國甲卷（文、理科）、全國乙卷（文、理科）、北京卷、上海卷、天津卷，共9份試卷. 各份試卷突出依標(biāo)命題，落實(shí)《中國高考評(píng)價(jià)體系》（以下簡(jiǎn)稱《體系》）“一核、四層、四翼”的考查要求，堅(jiān)持價(jià)值引領(lǐng)，注重素養(yǎng)立意，深化基礎(chǔ)考查，促進(jìn)教考銜接，既全面考查了核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識(shí)，又充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性. 為引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)回歸基礎(chǔ)、回歸教材、回歸通性通法、回歸育人本位發(fā)揮了積極導(dǎo)向作用.

一、考查內(nèi)容分析

2023年高考數(shù)學(xué)試題加強(qiáng)整體設(shè)計(jì)，以真實(shí)自然的情境為載體，以理性思維考查為核心，以運(yùn)算推理考查為重點(diǎn)，以通性通法考查為基礎(chǔ)，堅(jiān)持核心價(jià)值引領(lǐng)，強(qiáng)調(diào)必備知識(shí)掌握，突出關(guān)鍵能力考查，注重學(xué)科素養(yǎng)立意，既全面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)功底與發(fā)展?jié)撡|(zhì)，又充分發(fā)揮了高考的育人功能，有助于高校選拔人才.

1. 科學(xué)設(shè)置情境，堅(jiān)持核心價(jià)值引領(lǐng)

情境即問題情境，指的是真實(shí)的問題背景，是以問題或任務(wù)為中心構(gòu)成的活動(dòng)場(chǎng)域，是落實(shí)《體系》中的“四層”考查內(nèi)容和“四翼”考查要求的有效載體. 綜觀2023年高考數(shù)學(xué)的情境化試題：在素材選取上，貼近學(xué)生實(shí)際，類型豐富多樣；在素材呈現(xiàn)方式上，注意控制文字?jǐn)?shù)量和閱讀理解難度；在數(shù)學(xué)問題抽象上，設(shè)置合理的思維強(qiáng)度和抽象程度；在問題解決上，設(shè)置適度的運(yùn)算量，力求試題考查要求與學(xué)生認(rèn)知水平高度契合. 通過這些措施，既充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實(shí)際的特點(diǎn)，也意在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感，樹立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀.

（1）以真實(shí)自然的科學(xué)情境考查理性精神.

科學(xué)情境源于真實(shí)的研究過程或?qū)嶋H的探索過程，學(xué)生在解決這類情境中的問題時(shí)，必須調(diào)動(dòng)已有知識(shí)、運(yùn)用創(chuàng)新的思維方式開展探究活動(dòng). 設(shè)置科學(xué)研究情境不僅能有效考查數(shù)學(xué)必備知識(shí)和關(guān)鍵能力，而且有助于引導(dǎo)學(xué)生樹立熱愛科學(xué)、報(bào)效祖國的理想信念，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神、理性思維和創(chuàng)新意識(shí).

例1 （全國新高考Ⅱ卷·19）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖1和圖2所示.

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性. 此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為[pc]；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為[qc]. 假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布. 以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）當(dāng)漏診率[pc]= 0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率[qc]；

（2）設(shè)函數(shù)[fc=pc+qc]. 當(dāng)[c∈95，105]時(shí)，求[fc]的解析式，并求[fc]在區(qū)間[95，105]的最小值.

該題源于醫(yī)學(xué)中的一個(gè)真實(shí)情境，要求學(xué)生能根據(jù)漏診率、誤診率的概念，以及某種疾病的患病者與未患病者某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)的頻率分布直方圖，確定使得漏診率[pc=0.5%]的臨界值[c]和誤診率[qc]. 不僅考查了頻率分布直方圖、第[p]百分位數(shù)的求法等知識(shí)，而且也讓學(xué)生從一個(gè)醫(yī)學(xué)研究者的角度出發(fā)，有科學(xué)依據(jù)地確定臨界值[c]，滲透了科學(xué)精神. 此類問題還有全國甲卷文（理）科第19題（對(duì)比實(shí)驗(yàn)）和天津卷第7題（數(shù)據(jù)調(diào)查）.

（2）以簡(jiǎn)潔明了的數(shù)學(xué)情境考查深度思維.

數(shù)學(xué)情境是情境化試題的主要呈現(xiàn)方式，構(gòu)成對(duì)必備知識(shí)、關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)考查的主體. 為充分發(fā)揮數(shù)學(xué)情境在考查必備知識(shí)、關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)中的支撐作用，2023年高考數(shù)學(xué)試題從呈現(xiàn)方式入手，題目簡(jiǎn)潔，表述清晰，問題明確，不人為設(shè)置閱讀理解障礙，大多數(shù)學(xué)生都能讀懂題意，使學(xué)生把注意力集中到問題解決本身，減少了學(xué)生無謂的失誤與丟分，體現(xiàn)了“以生為本，人文關(guān)懷”的命題理念. 但簡(jiǎn)潔并不等于簡(jiǎn)單，很多試題簡(jiǎn)潔、熟悉的背景下卻蘊(yùn)含著深刻的思維，對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等素養(yǎng)要求較高.

例2 （全國乙卷·理10）已知等差數(shù)列[an]的公差為[2π3]，集合[S=cosann∈N*]，若[S=a，b]，則[ab]的值為（? ? ）.

該題題干簡(jiǎn)潔明了，所要研究的問題即為當(dāng)[S]只有兩個(gè)元素[a，b ]時(shí)，求兩個(gè)元素之積[ab]. 但看似熟悉的問題做起來卻并不容易，需要根據(jù)[cosan]（即[cos2π3n+a1-2π3]）的周期為3推得集合[S]最多有三個(gè)元素[cosa1]，[cosa2 ]，[cosa3]，因而必有兩個(gè)元素相等，于是分三種情形討論，對(duì)學(xué)生思維能力的考查非常深刻，給人以“大巧若拙，大道至簡(jiǎn)”之感.

（3）以學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境考查應(yīng)用能力.

綜觀9份高考數(shù)學(xué)試卷，每份試卷中都設(shè)置了2 ～ 3道現(xiàn)實(shí)情境試題，這些情境對(duì)于學(xué)生而言都比較熟悉，其內(nèi)容也豐富多樣，不僅深入考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，而且也意在引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，注重學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展. 例如，全國新高考Ⅰ卷第21題以甲、乙兩人投籃為背景，意在引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，滲透了體育. 類似的問題還有全國新高考Ⅰ卷第13題、全國新高考Ⅱ卷第3題、全國甲卷（理科）第6題. 又如，全國甲卷（文科）第4題以文藝匯演為背景，意在引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)藝術(shù)修養(yǎng)，滲透了美育；全國甲卷（理科）第9題以志愿者參加社區(qū)服務(wù)為背景，意在引導(dǎo)學(xué)生熱愛勞動(dòng)，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感，滲透了勞動(dòng)教育；全國新高考Ⅰ卷第10題以噪聲污染中的聲壓級(jí)為背景，意在引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，建設(shè)大美中國；全國乙卷（理科）第7題以課外讀物為背景，意在引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)課外閱讀，擴(kuò)大知識(shí)面.

2. 立足通性通法，強(qiáng)調(diào)必備知識(shí)掌握

通性通法是指那些對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、能力提升和素養(yǎng)發(fā)展具有支撐作用的基本思想方法，反映了數(shù)學(xué)的一般觀念和基本思維方式，有助于深化數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的有效解決，能有效考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解. 2023年高考數(shù)學(xué)一改2022年運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng)、技巧性高、堵卡點(diǎn)多等命題風(fēng)格，淡化特殊技巧，回避二級(jí)結(jié)論，聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)，把考查的著力點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解、對(duì)思想方法的靈活應(yīng)用，以及知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系上面，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展具有支撐作用的必備知識(shí)的掌握. 以全國新高考Ⅰ卷為例，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法考查的題量統(tǒng)計(jì)如下：轉(zhuǎn)化與化歸思想10道、數(shù)形結(jié)合思想7道、函數(shù)與方程思想6道、特殊與一般思想3道、分類與整合思想4道、概率與統(tǒng)計(jì)思想2道. 另外，有5道試題考查了待定系數(shù)法，有5道試題考查了特殊值法，有4道試題考查了構(gòu)造法.

該題要求學(xué)生能準(zhǔn)確理解極大值與極小值的概念及其存在的條件，進(jìn)而將條件“函數(shù)[fx]既有極大值又有極小值”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“函數(shù)[fx]在[0，+∞]上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)”，即方程[ax2-bx-2c=0]有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了解決函數(shù)極值存在問題的一般思路與基本方法.

3. 強(qiáng)化運(yùn)算推理，突出關(guān)鍵能力考查

邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算既是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的主體也是核心，是數(shù)學(xué)的“命根子”與“童子功”. 以邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算考查為重點(diǎn)突出考查關(guān)鍵能力，成為2023年高考數(shù)學(xué)試題的一大特色.

（1）考查題量豐富.

以全國新高考Ⅰ卷為例，除了第4題和第9題外，其余各題都需要數(shù)學(xué)運(yùn)算；除第2題、第5題、第8題、第16題和第17題外，其余各題都直接考查了邏輯推理. 其他各試卷對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算考查的題量與全國新高考Ⅰ卷大體相當(dāng).

（2）考查層次分明.

一是穩(wěn)住基本面. 每份試卷基本上都設(shè)置了30%的旨在考查基本運(yùn)算與基本推理的試題，要求學(xué)生能直接運(yùn)用數(shù)學(xué)基本概念、公式、原理、圖象、性質(zhì)、模型等知識(shí)進(jìn)行推理和演算，如全國新高考Ⅰ卷第1題、第2題、第3題、第4題、第5題、第9題、第13題、第14題和第17題確保了基礎(chǔ)較差的學(xué)生也能夠得到一定的分?jǐn)?shù)，有助于穩(wěn)定學(xué)生情緒. 二是突出中間層. 每份試卷都設(shè)置了約50%的中等難度的考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的試題，這些試題要求學(xué)生不僅要深刻理解數(shù)學(xué)基本概念、公式、原理、圖象、性質(zhì)、模型等基礎(chǔ)知識(shí)與基本思想方法，還要能夠靈活運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)功底提出了一定的要求，如全國新高考Ⅰ卷第6題、第7題、第8題、第10題、第11題、第15題、第16題、第18題、第19題和第20題. 三是控制塔尖部. 為了充分發(fā)揮高考的選拔功能，為國家遴選拔尖創(chuàng)新人才，每份試卷又設(shè)置了約20%的難度較大的試題，要求學(xué)生能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理與運(yùn)算，也考查了學(xué)生的創(chuàng)新思維，如全國新高考Ⅰ卷第12題、第21題和第22題.

（3）解題思路開闊.

2023年高考數(shù)學(xué)試題十分注重考查思維的靈活性與變通性，每份試卷中都有大量試題設(shè)置了多種求解路徑，呈現(xiàn)出寬入口、低起點(diǎn)、漸深入的特點(diǎn)，為不同層次、不同特質(zhì)的學(xué)生提供了展示的舞臺(tái)和發(fā)揮的空間，能有效考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力.

例4 （全國乙卷·文6）正方形[ABCD]的邊長是2，[E]是[AB]的中點(diǎn)，則[EC ? ED]的值為（? ? ）.

該題有三種解答思路：一是基向量法，即[EC ?][ED=12AB+AD? AD-12AB=3]；二是坐標(biāo)法，以點(diǎn)[A]為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以[AB， AD]的方向?yàn)閇x]軸和[y]軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，可以得到[EC=][1，2， ED=-1，2]，故[EC ? ED=3]；三是定義法，因?yàn)閇cos∠DEC=DE2+CE2-DC22DE ? CE=35]，所以[EC ? ED=][ECEDcos∠DEC=3]. 該題小巧靈活，思路開闊，三種方法都是解決平面向量問題的基本方法.

例5 （全國甲卷·理18）如圖3，在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[A1C⊥]平面ABC，[∠ACB=90°]，[AA1=2]，[A1]到平面[BCC1B1]的距離為1.

（2）已知直線[AA1]與[BB1]的距離為2，求[AB1]與平面[BCC1B1]所成角的正弦值.

解答該題第（2）小題的第一種思路是分別以[CA]，[CB]，[CA1]所在直線為[x ]軸、[y]軸、[z]軸建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量有關(guān)知識(shí)加以解決；第二種思路是過點(diǎn)[A]作直線[C1C]的垂線，交[C1C]的延長線于點(diǎn)[E，] 連接[B1E]. 先證明[AE⊥]平面[BCC1B1]，再利用相似三角形有關(guān)知識(shí)求出[AE]和[B1E]，進(jìn)而求出[sin∠AB1E]. 顯然，第二種思路的運(yùn)算過程要比第一種思路簡(jiǎn)單得多，但是學(xué)生往往想不到過點(diǎn)[A]向[C1C]作垂線這一步，這對(duì)學(xué)生的觀察能力與空間想象能力提出了較高的要求，依賴于學(xué)生平時(shí)解題經(jīng)驗(yàn)的積累.

4. 貫穿理性思維，注重學(xué)科素養(yǎng)立意

理性思維是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征，是數(shù)學(xué)邏輯思維能力與良好思維品質(zhì)的重要體現(xiàn). 綜觀2023年高考數(shù)學(xué)試卷，對(duì)理性思維的考查得到進(jìn)一步加強(qiáng)，并突出了以下命題導(dǎo)向.

（1）思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

嚴(yán)謹(jǐn)性是理性思維的主要標(biāo)志，是思維的基本特質(zhì)，也是高考命題的重要關(guān)注點(diǎn).

例6 （全國乙卷·理21）已知函數(shù)[fx=1x+aln1+x].

（1）當(dāng)[a=-1]時(shí)，求曲線[y=fx]在點(diǎn)[1， f1]處的切線方程.

（2）是否存在a，b，使得曲線[y=f1x]關(guān)于直線[x=b]對(duì)稱？若存在，求a，b的值；若不存在，說明理由.

（3）若[fx]在[0，+∞]上存在極值，求a的取值范圍.

該題第（2）小題，根據(jù)函數(shù)[f1x]定義域的對(duì)稱性得到[b=-12]，進(jìn)而利用特殊值法得到[a=12]后，還需要驗(yàn)證：當(dāng)[a=12]且[b=-12]時(shí)，等式[fb+x=fb-x]對(duì)[?x∈xx<-1或x>0]恒成立. 考查了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，但是很多學(xué)生忽視了這一驗(yàn)證過程.

（2）理解的深刻性.

深刻性是良好思維品質(zhì)的重要體現(xiàn)，能準(zhǔn)確反映學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)和思想方法理解的深刻程度，因而也成為2023年高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)著力點(diǎn).

例7 （全國新高考Ⅱ卷·22）（1）證明：當(dāng)[0

（2）已知函數(shù)[fx=cosa x-ln1-x2]，若[x=0]是[fx]的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

在解答該題第（2）小題時(shí)，若學(xué)生能抓住函數(shù)[fx=cosa x-ln 1-x2]為偶函數(shù)這一特征，在[a≠0]的條件下，為了能利用第（1）小題中已經(jīng)證得的結(jié)論[sinx0]，則可以規(guī)避分[a>0]和[a<0]兩種情況討論的煩瑣過程. 這一簡(jiǎn)化處理源自學(xué)生對(duì)“偶函數(shù)[cosax]與函數(shù)[cos a x]等效”這一特征的深刻理解，反映了思維的深度.

（3）表達(dá)的條理性.

有邏輯地思考、有條理地表達(dá)是理性思維的基本要求. 2023年高考數(shù)學(xué)試題主要通過以下兩種途徑考查表達(dá)的條理性：設(shè)置分類討論問題，設(shè)置邏輯證明問題.

① 設(shè)置分類討論問題.

每份試卷中都設(shè)置了3～4道需要分類討論的試題，解決此類問題要求學(xué)生首先能合理確定分類討論標(biāo)準(zhǔn)，然后按照所確定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行邏輯劃分（即分類）并逐類討論，最后將每類討論的結(jié)果進(jìn)行整合得到最終結(jié)論.

例8 （全國乙卷·理12）已知[⊙O]的半徑為1，直線PA與[⊙O]相切于點(diǎn)A，直線PB與[⊙O]交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若[PO =2]，則[PA ? PD]的最大值為（? ? ）.

（A）[1+22] （B）[1+222]

（C）[1+2] （D）[2+2]

解答該題時(shí)，先設(shè)[∠OPD=α 0≤α≤π4]，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義將[PA ? PD]表示成[α]的函數(shù)，進(jìn)而求函數(shù)的最大值. 而在建立函數(shù)關(guān)系式時(shí)，需要分點(diǎn)A，D在直線[OP]的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，考查了分類與整合的數(shù)學(xué)思想和分類討論意識(shí).

② 設(shè)置邏輯證明問題.

2023年高考數(shù)學(xué)十分重視邏輯證明問題，每份試卷中都設(shè)置了2～3道邏輯證明問題，通過證明問題考查學(xué)生的邏輯表達(dá)能力.

例9 （全國乙卷·理19）如圖4，在三棱錐[P-ABC]中，[AB⊥BC]，[AB=2]，[BC=22]，[PB=PC=][6]，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，[AD=][5DO]，點(diǎn)[F]在AC上，[BF⊥AO]. [P][F][E][O][D][C][B][A] [圖4]

（1）證明：[EF]∥平面[ADO]；

（2）證明：平面[ADO⊥]平面BEF；

（3）求二面角[D-AO-C]的正弦值.

該題不僅前兩小題考查推理論證，而且第（3）小題也考查了推理論證. 如果利用建立空間直角坐標(biāo)系的方法求解反而不自然，需要利用傳統(tǒng)方法“一作二證三計(jì)算”加以求解. 如圖5，先連接[MN]（M為AO與BF的交點(diǎn)，N為AD與BE的交點(diǎn)），然后證明[MN⊥AO]且[MF⊥AO]，從而得知[∠NMF]為二面角[D-AO-C]的一個(gè)平面角，再在[△BMN]中利用余弦定理求其補(bǔ)角[∠BMN]的余弦值，進(jìn)而得到所求角的正弦值. [P][F][E][O][D][C][B][A][N] [圖5][M]

解答該題需要多次作輔助線，并利用空間直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)嚴(yán)格推理論證，要求學(xué)生思維清晰、論證嚴(yán)謹(jǐn)、書寫有條理，全面考查了學(xué)生的觀察能力、分析轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.

二、命題特點(diǎn)分析

2023年高考數(shù)學(xué)認(rèn)真落實(shí)《體系》中“四翼”的考查要求，試題平易近人，表述簡(jiǎn)潔明了，考查層次分明，綜合創(chuàng)新適度，突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本能力的考查，注重概念的深刻理解、方法的靈活應(yīng)用及知識(shí)的融會(huì)貫通. 對(duì)扭轉(zhuǎn)過去高中數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在的隨意擴(kuò)充、無限拔高等突出問題具有正本清源的作用，有效促進(jìn)了教考銜接.

1. 深化基礎(chǔ)考查，促進(jìn)教考銜接

（1）調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)，打破固有模式.

與往年相比，2023年的高考數(shù)學(xué)試卷都保持了相對(duì)的穩(wěn)定性，但在試卷結(jié)構(gòu)上也都適當(dāng)進(jìn)行了一些調(diào)整，主要體現(xiàn)在對(duì)關(guān)鍵位置上的選擇題（如第12題）、填空題（如第16題）及解答題所考查的知識(shí)單元進(jìn)行了一些調(diào)整，意在引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)摒棄機(jī)械刷題與套路訓(xùn)練. 以2019—2023年全國新高考Ⅰ卷為例，第12題考查的知識(shí)單元依次為立體幾何、函數(shù)、立體幾何、函數(shù)、立體幾何；第16題考查的知識(shí)單元依次為解析幾何、立體幾何、數(shù)列、解析幾何、解析幾何；第17題考查的知識(shí)單元依次為三角函數(shù)、數(shù)列、數(shù)列、數(shù)列、三角函數(shù)；第18題考查的知識(shí)單元依次為立體幾何、立體幾何、統(tǒng)計(jì)、三角函數(shù)、立體幾何；第19題考查的知識(shí)單元依次為解析幾何、概率、三角函數(shù)、立體幾何、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；第20題考查的知識(shí)單元依次為導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)列；第21題考查的知識(shí)單元依次為概率、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、解析幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)；第22題考查的知識(shí)單元依次為選考內(nèi)容、選考內(nèi)容、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、解析幾何. 很明顯，這些關(guān)鍵位置上的試題所考查的知識(shí)單元都在不斷變化.

（2）合理控制難度，發(fā)揮甄別功能.

總體來看，2023年高考數(shù)學(xué)的整體難度較2022年有一定幅度的下調(diào)，每份試卷中易、中、難試題的分值之比基本都保持在3∶5∶2. 不僅選擇題、填空題、解答題三種題型的整體難度呈逐漸上升之勢(shì)，而且每種題型各小題間也基本按照從易到難的順序排列，有助于學(xué)生正常發(fā)揮，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷. 值得注意的是，全國6份試卷的第8題、第12題和第16題的難度都有明顯下降，規(guī)避了形如指數(shù)與對(duì)數(shù)的大小比較、抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性等一些熱點(diǎn)問題，將考查內(nèi)容聚焦到基本概念、基本原理和基本方法上，注重對(duì)能夠普適性解決學(xué)科問題的本原性方法的考查，注重考查學(xué)生在深刻理解基礎(chǔ)上的靈活運(yùn)用，意在引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)注重基礎(chǔ)、注重通性通法，淡化解題技巧. 例如，全國新高考Ⅰ卷第8題考查基本的三角恒等變換，全國新高考Ⅱ卷第8題考查等比數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式的有關(guān)計(jì)算，全國甲卷（理科）第12題綜合考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)以及余弦定理，全國甲卷（文科）第16題考查正方體與球的組合體問題，等等. 盡管這些試題所涉及的內(nèi)容都在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求之內(nèi)，是高中數(shù)學(xué)中的一些基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，但是學(xué)生要正確解決這些問題并不輕松，需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底和靈活的思維轉(zhuǎn)換能力，因而能有效甄別學(xué)生的能力與素養(yǎng).

（3）突出主干知識(shí)，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì).

2023年高考數(shù)學(xué)既全面系統(tǒng)考查了學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本思想方法的掌握情況，又突出了重點(diǎn)，將考查的側(cè)重點(diǎn)放在函數(shù)的概念與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等主干知識(shí)上面. 例如，全國新高考Ⅰ卷第11題、全國新高考Ⅱ卷第4題、全國甲卷（理科）第13題、全國甲卷（文科）第14題、全國乙卷（理科）第4題、全國乙卷（文科）第5題等都直接考查了偶函數(shù)的概念；全國新高考Ⅰ卷第15題、全國新高考Ⅱ卷第16題、全國甲卷（理科）第10題、全國甲卷（文科）第12題、全國乙卷（理科）第6題、全國乙卷（文科）第10題等都考查了形如函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象與性質(zhì). 各份試卷中無偏題、怪題，淡化了一些特殊技巧與二級(jí)結(jié)論的應(yīng)用，著力考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

例10 （全國甲卷·文 / 理22）已知點(diǎn)[P2，1]，直線[l： x=2+tcosα，y=1+tsinα] （t為參數(shù)），[α]為[l]的傾斜角，l與[x]軸正半軸、[y]軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，[PAPB=4].

（1）求[α]；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求[l]的極坐標(biāo)方程.

該題作為選做題之一，主要考查直線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程，要求學(xué)生能根據(jù)參數(shù)[t]的幾何意義將[PAPB]轉(zhuǎn)化為[t1 t2]，因而要求學(xué)生能深刻理解直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，并能靈活應(yīng)用，回歸學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的本源.

2. 注重多維綜合，重視融會(huì)貫通

必備知識(shí)與關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值之間緊密相連，是一個(gè)具有內(nèi)在邏輯關(guān)系的整體. 2023年高考數(shù)學(xué)從高中數(shù)學(xué)不同主題間、不同單元間、不同知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，適當(dāng)?shù)卦O(shè)置綜合性問題，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力、知識(shí)遷移能力和融會(huì)貫通能力.

例11 （全國新高考Ⅱ卷·10）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線[y=-3x-1]過拋物線[C：y2=2px p>0]的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（? ? ）.

（A）[p=2]

（B）[MN=83]

（C）以MN為直徑的圓與l相切

（D）[△OMN]為等腰三角形

該題選項(xiàng)B可以根據(jù)拋物線的定義加以判斷，即[MN=x1+x2+p=163]；選項(xiàng)C的判斷需要先證明MN的中點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離[d=12d1+d2][=12MF+NF=][12MN]（其中[d1，d2]分別表示點(diǎn)M，N到準(zhǔn)線l的距離）. 該題不僅綜合考查了直線的方程、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，而且綜合考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，以及邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力. 試題源于教材、高于教材、活于教材，融解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法和關(guān)鍵能力于一體，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重視知識(shí)整合，重視深層次理解基礎(chǔ)知識(shí)上的融會(huì)貫通.

例12 （全國新高考Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃. 無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第[2]次投籃的人是乙的概率；

（2）求第[i]次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量 Xi 服從兩點(diǎn)分布，且[PXi=1=1-PXi=0=qi]，i = 1，2，…，n，則[Ei=1nXi=i=1nqi]. 記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求[EY].

該題第（2）小題將概率與數(shù)列巧妙結(jié)合，通過全概率公式得到[pi]與[pi+1]所滿足的遞推關(guān)系式，進(jìn)而得到數(shù)列[pi]的通項(xiàng)公式，綜合考查了全概率公式、遞推數(shù)列及等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，試題背景新穎、構(gòu)思精巧，給人耳目一新之感，體現(xiàn)了不同主題知識(shí)之間的綜合.

3. 關(guān)注生活實(shí)際，強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用

2023年高考數(shù)學(xué)保持了近幾年應(yīng)用問題的考查風(fēng)格. 一是題量適中，每份試卷中的應(yīng)用問題大致為2～3道；二是難度適宜，以中等難度為主，大多數(shù)應(yīng)用題對(duì)中等偏上的學(xué)生來說都能順利解答；三是貼近學(xué)生，絕大多數(shù)應(yīng)用題均取材于學(xué)生熟悉的生活素材，如全國新高考Ⅰ卷第10題中的噪聲污染問題、第13題中的選課問題、第21題中的投籃問題，全國新高考Ⅱ卷第12題中的信號(hào)傳輸問題，全國甲卷（理科）第9題中的志愿者社區(qū)服務(wù)問題，天津卷第13題中的取球問題等，要求學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法發(fā)現(xiàn)問題與提出問題、分析問題與解決問題，有效考查了學(xué)生的閱讀理解、數(shù)據(jù)處理、分析轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)建模等能力，體現(xiàn)了學(xué)以致用.

例13 （全國新高考Ⅱ卷·12）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立. 發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為[α 0<α<1]，收到0的概率為[1-α]；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為[β 0<β<1]，收到1的概率為[1-β]. 考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次. 收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（? ? ）.

（A）采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為[1-α1-β2]

（B）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為[β1-β2]

（C）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為[β1-β2+1-β3]

（D）當(dāng)[0<α<0.5]時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

該題取材于學(xué)生熟悉的信號(hào)傳輸問題，主要考查互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式. 多數(shù)學(xué)生能準(zhǔn)確理解該題的題意，解題的主要困難在于不能將所求概率中的事件分解成兩兩互斥事件的和或相互獨(dú)立事件的積.

4. 立足課標(biāo)、教材，體現(xiàn)適度創(chuàng)新

立足《標(biāo)準(zhǔn)》和教材是高考命題的基本遵循，也是落實(shí)教考銜接的重要舉措. 綜觀2023年高考數(shù)學(xué)試卷，所有考點(diǎn)都在《標(biāo)準(zhǔn)》的要求范圍內(nèi)，大部分試題都能在教材上找到原型. 盡管有些試題呈現(xiàn)出較強(qiáng)的綜合性與一定的創(chuàng)新性，但所涉及的知識(shí)點(diǎn)、思想方法依然沒有超標(biāo)越位，沒有脫離教材，體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》和教材在高考命題中的“定盤星”作用. 但是源于教材并不是簡(jiǎn)單照搬教材，而是以教材上的一些典型問題、素材為基礎(chǔ)，進(jìn)行適當(dāng)改編、重組與引申，以考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解及對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用.

例14 （全國新高考Ⅰ卷·7）記[Sn]為數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，設(shè)甲：[an]為等差數(shù)列；乙：[Snn]為等差數(shù)列，則（? ? ）.

（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件

（B）甲是乙的必要條件但不是充分條件

（C）甲是乙的充要條件

（D）甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

該題源于人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”），實(shí)際上是在原教材習(xí)題的基礎(chǔ)上增加了逆命題真假的判斷，并以充要條件判斷的形式加以考查，從而比教材上的習(xí)題顯得更加靈動(dòng)、鮮活，對(duì)思維的考查也更加深入.

教材題源：（人教A版教材選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題4.2第7（1）題）已知[Sn]是等差數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，證明[Snn]為等差數(shù)列.

例15 （全國乙卷·理11）設(shè)A，B為雙曲線[x2-y29=1]上兩點(diǎn). 下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（? ? ）.

（A）（1，1） （B）（-1，2）

（C）（1，3） （D）（-1，-4）

該題解答思路為先求出以選項(xiàng)中的點(diǎn)為中點(diǎn)的直線AB的方程，再檢驗(yàn)所求直線的方程與雙曲線是否相交，若相交則符合條件. 學(xué)生往往習(xí)慣于求已知直線與雙曲線兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，而解答該題需要運(yùn)用逆向思維，對(duì)學(xué)生的思維定式有一定的挑戰(zhàn)性. 該題同樣源于教材習(xí)題改編，只是已知雙曲線的方程不同而已.

教材題源：（人教A版教材選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題3.2第13題）已知雙曲線[x2-y22=1]. 過點(diǎn)[P 1 ，1 ]的直線[l]與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，[P]能否為線段[AB]的中點(diǎn)？為什么？

除此之外，2023年全國新高考Ⅱ卷第10題（參見例11）的四個(gè)選項(xiàng)基本上都源于教材相關(guān)例題和習(xí)題的改編再創(chuàng)，其中選項(xiàng)C就是教材習(xí)題的改頭換面，將拋物線的定義與直角三角形的性質(zhì)巧妙結(jié)合，考查了邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教材題源：（人教A版教材選擇性必修第一冊(cè)復(fù)習(xí)參考題3第16題）過拋物線[y2=2pxp>0]的焦點(diǎn)[F]作直線與拋物線交于[A， B]兩點(diǎn)，以[AB]為直徑畫圓，觀察它與拋物線的準(zhǔn)線[l]的關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？相應(yīng)于橢圓、雙曲線如何？你能證明你的結(jié)論嗎？

2023年高考數(shù)學(xué)試卷中類似的試題還有很多. 例如，全國新高考Ⅰ卷第3題與人教A版教材必修第二冊(cè)復(fù)習(xí)參考題6的第8題高度相似；全國新高考Ⅰ卷第10題源于人教A版教材必修第一冊(cè)習(xí)題4.4的第10題，所不同的是高考試題探討的是聲壓級(jí)，而教材習(xí)題探討的是聲強(qiáng)級(jí)；等等.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

針對(duì)上述考查內(nèi)容和考查方式的一些變化與特點(diǎn)，高三復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)該堅(jiān)持回歸基礎(chǔ)、回歸教材、回歸通性通法、回歸育人本位，圍繞如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考這一核心，突出關(guān)鍵能力培養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1. 回歸基礎(chǔ)，深化核心概念教學(xué)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)該堅(jiān)持把教學(xué)重心放在對(duì)關(guān)鍵能力提升、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展具有支撐作用的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法上，切忌隨意擴(kuò)展、無限拔高. 要引導(dǎo)學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)和內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，弄清知識(shí)的來龍去脈，把握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建整體知識(shí)結(jié)構(gòu)，厘清數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)形成整體性、系統(tǒng)性和發(fā)展性認(rèn)識(shí).

例16 （2021年全國新高考Ⅰ卷·8）有[6]個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取[1]個(gè)球. 甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是[1]”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是[2]”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是[8]”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是[7]”，則（? ? ）.

（A）甲與丙相互獨(dú)立

（B）甲與丁相互獨(dú)立

（C）乙與丙相互獨(dú)立

（D）丙與丁相互獨(dú)立

該題主要考查兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，要求學(xué)生不僅要理解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義，更重要的是能根據(jù)“若[PAB=P APB]，則A與B相互獨(dú)立”進(jìn)行判斷，但很多學(xué)生不知道如何判斷，暴露了高三復(fù)習(xí)中概念教學(xué)的不足. 因此，促進(jìn)學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵與外延，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能應(yīng)用概念進(jìn)行推理與演算，是落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的首要任務(wù).

例17 （全國新高考Ⅱ卷·6）已知函數(shù)[fx=][aex-lnx]在區(qū)間[1， 2]上單調(diào)遞增，則[a]的最小值為（? ? ）.

（A）[e2] （B）e

（C）[e-1] （D）e-2

由已知條件，得[fx=aex-1x≥0]在[1， 2]上恒成立，即[xex≥1a][a>0]在[1， 2]上恒成立. 再根據(jù)函數(shù)[gx=xex]在區(qū)間[1， 2]上為增函數(shù)可以得到[gx>][g1=e≥1a]. 這里將[aex-1x≥0]變形為[xex≥1a][a>0]運(yùn)用的是分離常數(shù)法（即將常數(shù)放在不等式的一邊，變量放在不等式的另一邊），這是解決含參數(shù)不等式恒成立問題的一種基本思路. 學(xué)生只有熟練掌握了這些基本方法，其關(guān)鍵能力提升、核心素養(yǎng)發(fā)展才有基礎(chǔ).

2. 回歸教材，加強(qiáng)典型問題研究

回歸教材并不是對(duì)教材內(nèi)容的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行整合與重構(gòu)，發(fā)掘知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)、方法的交會(huì)點(diǎn)和能力的生長點(diǎn). 在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮教材上的典型例題和習(xí)題在認(rèn)知深化、知識(shí)應(yīng)用、思維培養(yǎng)等方面的作用，充分挖掘教材中一些典型的背景和素材在能力培養(yǎng)、素養(yǎng)發(fā)展方面的價(jià)值功能，讓教材真正“活”起來.

例18 （人教A版教材選擇性必修第一冊(cè)復(fù)習(xí)參考題3第3題）當(dāng)[α]從[0°]到[180°]變化時(shí)，方程[x2+][y2cosα=1]表示的曲線的形狀怎樣變化？

該題要求根據(jù)曲線方程中的參數(shù)[α]的變化情況討論曲線形狀的變化，體現(xiàn)了解析幾何試題動(dòng)態(tài)變化的特點(diǎn). 實(shí)際上，人教A版教材選擇性必修第一冊(cè)的訓(xùn)練系統(tǒng)配置了很多類似題目. 例如，在復(fù)習(xí)參考題3中，還配置有第11題和第13題，通過此類問題，結(jié)合變式探究，不僅有助于學(xué)生進(jìn)一步掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，而且能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性，提高學(xué)生的分類討論能力. 教師要充分用好教材中的這些相關(guān)問題.

例19 （全國新高考Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（? ? ）.

（A）直徑為[0.99 m]的球體

（B）所有棱長均為[1.4 m]的四面體

（C）底面直徑為[0.01 m]，高為[1.8 m]的圓柱體

（D）底面直徑為[1.2 m]，高為[0.01 m]的圓柱體

該題新穎別致，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力和創(chuàng)新思維要求較高. 如圖6，部分學(xué)生能將問題轉(zhuǎn)化為判斷圓柱體的軸為[A1C]時(shí)能否被整體放入，但不知道與[A1C]垂直的正方體的截面面積的最大值為多少，在什么位置取得最大值，導(dǎo)致思維受阻. 還有學(xué)生認(rèn)為當(dāng)截面為[△BC1D]時(shí)，其截面面積最大，再將[△BC1D]的內(nèi)切圓作為圓柱的底面，從而出現(xiàn)誤判. 該題是典型的題在書外根在書內(nèi)，題根仍在教材習(xí)題之中.

（1）求證：[A1C⊥]平面[EFGHKL]；

（2）求[DB1]與平面[EFGHKL]所成角的余弦值.

如果教師在復(fù)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這道習(xí)題做過深入思考與探究，那么選項(xiàng)D的判斷就會(huì)輕松很多. 其實(shí)，對(duì)于這道教材習(xí)題，還有很多值得深入挖掘、探討和拓展的問題. 例如，2014年湖北卷（理科）第19題和（文科）第20題均由此題改編再創(chuàng)而成. 事實(shí)上，回歸教材復(fù)習(xí)備考的基本要義就是要實(shí)現(xiàn)從教材內(nèi)容出發(fā)到高考數(shù)學(xué)中去，再從高考試題分析回到教材中來，通過“導(dǎo)、聯(lián)、串、變”的復(fù)習(xí)策略，落實(shí)這種雙向良性循環(huán)的復(fù)習(xí)過程. 這才是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的正道.

3. 回歸通性通法，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

回歸通性通法，就是要突出數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)攝作用，善于運(yùn)用一般觀念與一般方法分析和解決問題. 教學(xué)中，教師要淡化特殊技巧，引導(dǎo)學(xué)生善于從紛繁復(fù)雜的題型與方法技巧中洞悉問題的本質(zhì)、把握一般規(guī)律. 例如，導(dǎo)數(shù)解答題是多年來的壓軸題，也是歷來的高考難點(diǎn)之一，令眾多學(xué)生“談導(dǎo)色變”. 值得一提的是，2023年全國新高考Ⅰ卷的導(dǎo)數(shù)解答題真正回歸高中學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的初衷，不僅放回到第19題的位置，而且所考查的函數(shù)結(jié)構(gòu)常見，設(shè)問方式是常規(guī)的“一半討論一半證”，用到的構(gòu)造函數(shù)及解題思路就是基本的通性通法，讓大多數(shù)學(xué)生都能得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù). 該題的換位既是意料之外，又是情理之中，不僅是為了破解固有模式，更重要的是要遏制為做導(dǎo)數(shù)題要學(xué)大量高等數(shù)學(xué)和二級(jí)結(jié)論的不良風(fēng)氣，對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容形成“深挖洞、廣積糧”的過熱浪潮起到了撥亂反正的作用，尤其是打破了導(dǎo)數(shù)解答題不再只是尖子生獨(dú)享的特權(quán)，增添了普通生學(xué)好導(dǎo)數(shù)的信心，對(duì)高中數(shù)學(xué)回歸導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的教學(xué)定位和工具價(jià)值具有撥亂反正、正本清源和高屋建瓴的引導(dǎo)和啟示功能.

例20 （全國新高考Ⅰ卷·19）已知函數(shù)[fx=][aex+a-x].

（1）討論[fx]的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)[a>0]時(shí)，[fx>2lna+32].

該題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，考查運(yùn)用函數(shù)最值證明不等式的基本方法，綜合考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力. 第（2）小題不僅解法多樣，而且貼近教材，更蘊(yùn)含著深刻的高等數(shù)學(xué)背景（切線不等式）. 因此，該題位置前移的真正價(jià)值在于正面引導(dǎo)教學(xué)回歸，將其作為與教材例題和習(xí)題與常用不等式結(jié)合復(fù)習(xí)的案例，會(huì)是一個(gè)不可多得的好素材.

4. 回歸育人本位，促進(jìn)“雙減”落地

回歸育人本位，就是要尊重教育規(guī)律，切實(shí)改變機(jī)械刷題、重復(fù)訓(xùn)練和套路訓(xùn)練的現(xiàn)象，要在如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、掌握原理、內(nèi)化方法、舉一反三這些關(guān)鍵問題上下功夫，在訓(xùn)練的科學(xué)性、系統(tǒng)性、層次性上做文章，切實(shí)減輕學(xué)生過重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展.

（1）培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí).

教師要注重情境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考與探究，從中發(fā)現(xiàn)問題與提出問題，進(jìn)而分析問題與解決問題.《標(biāo)準(zhǔn)》和教材也十分注重這方面的引導(dǎo). 例如，人教A版教材必修第一冊(cè)第87頁“拓廣探索”第13（2）題要求學(xué)生通過類比題干中的推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)[y=fx]的圖象關(guān)于[y]軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)[y=fx]為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論；人教A版教材必修第一冊(cè)第230頁“拓廣探索”第18題要求學(xué)生觀察已知三個(gè)等式的特點(diǎn)，寫出能反映一般規(guī)律的等式；人教A版教材必修第一冊(cè)第256頁第24（2）題要求學(xué)生根據(jù)所給條件自己構(gòu)造一些求值問題，該小題開放性強(qiáng)，答案多種多樣，為學(xué)生提供了較大的思維空間.

（2）促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)思考.

授人以魚，不如授之以漁. 數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，永遠(yuǎn)也做不完，只有真正學(xué)會(huì)了思考，學(xué)生的解題思維才能真正由模仿走向創(chuàng)造，才能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題. 例如，2023年全國新高考Ⅰ卷第21題第（3）小題（見例12），解題的關(guān)鍵：一是要明確[EY ]的含義；二是可以從特殊到一般探討[EY]（即[Ei=1nXi ]）的計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探究一般性問題的思維方法. 因此，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要緊扣如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，合理創(chuàng)設(shè)情境，注重問題引導(dǎo)，適度點(diǎn)撥啟發(fā)，典例深度剖析，將學(xué)生思維不斷引向深入.

（3）加強(qiáng)運(yùn)算能力培養(yǎng).

運(yùn)算求解能力歷來是高考考查的重點(diǎn)，高考對(duì)其考查層次非常分明. 一是以基本運(yùn)算為載體考查學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解及運(yùn)算法則的掌握情況，如全國新高考Ⅰ卷第2題，只要學(xué)生能理解復(fù)數(shù)[z]與其共軛復(fù)數(shù)[z]這兩個(gè)運(yùn)算對(duì)象的意義，并掌握了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則就可以輕而易舉求解，這是高考對(duì)運(yùn)算求解能力考查的最基本要求. 二是以運(yùn)算思路的尋求、運(yùn)算方法的選擇、運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)為載體考查學(xué)生對(duì)運(yùn)算思路和運(yùn)算方法的探究能力，如全國甲卷（理科）第12題，該題解題思路并不明顯，需要學(xué)生根據(jù)橢圓的定義并結(jié)合余弦定理探究運(yùn)算思路和方法. 三是以簡(jiǎn)化運(yùn)算為載體考查學(xué)生思維的深刻性與敏捷性，如全國新高考Ⅰ卷第20題第（2）小題，在由[bn]為等差數(shù)列得到[a1=d]或[a1=2d]后，再運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，便可以將[S99-T99=99]轉(zhuǎn)化為[99a50-99b50=99]，進(jìn)而得到關(guān)于[a50]的一元二次方程[a250-a50-2 550=0]，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算. 四是以近似計(jì)算為載體考查學(xué)生思維的創(chuàng)造性，這類運(yùn)算往往需要綜合運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)等知識(shí)進(jìn)行放縮，對(duì)學(xué)生的觀察、變形及創(chuàng)新能力要求較高.

總之，針對(duì)上述考查特點(diǎn)，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中要做到以下幾點(diǎn). 首先，要依標(biāo)靠本，做到研究《標(biāo)準(zhǔn)》、研究教材、研究高考，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、公式、法則、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，不僅讓學(xué)生能準(zhǔn)確識(shí)記，而且還要在理解的前提下靈活運(yùn)用；其次，要做到理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，要善抓典型例子，充分利用課內(nèi)時(shí)間，著力培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 真正做到：在增強(qiáng)基礎(chǔ)性上下功夫，讓學(xué)生基礎(chǔ)更扎實(shí)；在增強(qiáng)綜合性上下功夫，讓學(xué)生潛能更寬廣；在增強(qiáng)應(yīng)用性上下功夫，讓學(xué)生能力更突出；在增強(qiáng)創(chuàng)新性上下功夫，讓學(xué)生活力更充沛.

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作者簡(jiǎn)介：周遠(yuǎn)方（1962— ），男，正高級(jí)教師，特級(jí)教師，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)獲得者，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課程、教材、教學(xué)和評(píng)價(jià)研究；

向立政（1965— ），男，正高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)價(jià)研究；

張偉（1980— ），男，高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)價(jià)研究.