張潔

摘要：本文主要分析了線性代數(shù)課程的現(xiàn)狀，討論了線性代數(shù)在教材、授課方式、案例和考核方式中的改進，提出教材要中西結(jié)合、上課要帶筆記本電腦、案例要經(jīng)典、考核要分層進行等方法。通過實踐發(fā)現(xiàn)，以上幾點改進對線性代數(shù)的教與學(xué)具有顯著作用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)改進；分層考核

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）47-0232-02

“線性代數(shù)”是幾乎所有非文科專業(yè)要學(xué)習(xí)的一門必修課程，是學(xué)習(xí)專業(yè)課程的基石，特別是對計算機專業(yè)的學(xué)生來說尤其重要。長期以來，學(xué)生普遍認為線性代數(shù)不好學(xué)，難于理解，一致認為“三多”：定義多、符號多、性質(zhì)多。線性代數(shù)以“抽象、冗繁、枯燥”而著稱，即內(nèi)容抽象、知識點冗繁、計算枯燥，以致學(xué)生認為這門課沒有作用，無須學(xué)習(xí)。所以，線性代數(shù)長期“招人不待見”，為此本文針對本校的線性代數(shù)課程，做了一些教學(xué)改進，希望拋磚引玉，引起同行共鳴。

一、教材的改進

國內(nèi)線性代數(shù)教材有很多種，幾乎每所高校都有自己編寫的教材，內(nèi)容大同小異，水平參差不齊。其中，同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)（第六版），由高等教育出版社出版，是榮獲2000年中國高校科學(xué)技術(shù)二等獎的教材，代表了國內(nèi)相關(guān)教材的高水平。但與國外教材相比，差距較大，如表1所示。

同濟版的線性代數(shù)屬于工程數(shù)學(xué)，但從表1中可以看出。沒有一個工程實際案例，為何叫工程數(shù)學(xué)？圖片也很少，每次修訂沒有加入新的思想，大多是理論層面的增減，無實際應(yīng)用案例。而且，這一版教材讀起來很枯燥乏味，證明較多，敘述復(fù)雜，缺少應(yīng)用案例。

國外的英文版教材，剛開始讀起來會很累、費勁，因為其會涉及不少專業(yè)術(shù)語單詞，但讀到后面就會覺得很輕松，有關(guān)核心概念的幾個單詞會重復(fù)出現(xiàn)，慢慢地能順利讀下去。當(dāng)然，對學(xué)生來說，這也可以提高英語水平。另外，國外教材編寫通俗易懂，書中出現(xiàn)的案例比較新奇，學(xué)生在之前幾乎并不曾見到，趣味性很強，能夠激發(fā)他們產(chǎn)生繼續(xù)往下讀的強烈愿望，調(diào)動求知欲望。

有了這種感覺，線性代數(shù)無論是在教還是在學(xué)方面，都方便多了。所以，本文建議使用國外原版教材。然而，國外教材價格比較昂貴，考慮到學(xué)生的承受能力，有點不太合適。而且，國外教材有關(guān)線性代數(shù)的內(nèi)容太廣，很多知識點要到研究生階段才會學(xué)習(xí)到。為此，我們可以采用中西結(jié)合的方式，教材使用同濟版本的，一些好的實例、圖片選用國外教材的，將其制成電子文檔，以節(jié)約成本。這不僅尊重了認知規(guī)律，由感性到理性，通過圖讓學(xué)生從幾何走向代數(shù)，而且便于學(xué)生理解線性代數(shù)相關(guān)知識點，建立知識點“模型”。

二、授課方式的改進

從第一節(jié)課開始，我們就要求學(xué)生帶筆記本電腦上課，每講一個知識點就在計算機操作中及時實現(xiàn)。我們都知道，四階以上的線性代數(shù)問題，沒有計算機是沒法解的，學(xué)這門課就是為了用。帶筆記本電腦上課，有以下幾大優(yōu)勢。

第一，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性。MATLAB的一大特點是有豐富的圖形，將計算結(jié)果可以比較直觀地顯示出來，使學(xué)生更易接受線性代數(shù)的知識點和概念。

第二，提高學(xué)生解決問題的能力。每次講授線性代數(shù)課的時候，學(xué)生總會問：學(xué)習(xí)這門課程有什么用？你能舉個實例嗎？當(dāng)時教師很尷尬，講不出來，這是因為他們沒有研究案例，如何解決只是停留在理論階段。有了MATLAB軟件，教師上課前肯定要對相關(guān)問題研究透徹，再讓學(xué)生上課時利用線性代數(shù)知識進行現(xiàn)場解決。只有將線性代數(shù)的知識點安排在每次實例中，學(xué)生才能真正領(lǐng)悟它的內(nèi)涵，提高分析問題、解決問題的能力。

第三，提升學(xué)生的計算機編程能力。碰到復(fù)雜一點的案例，必須編寫程序，而且不可能是一兩個命令就能解決的，這時再讓學(xué)生去研究程序的編寫，如循環(huán)語句、判斷語句等，既能學(xué)好線性代數(shù)，又能提高其他相關(guān)課程的學(xué)習(xí)，可謂“一舉多得”。

我國“數(shù)學(xué)機械化”帶頭人、首屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎獲得者、數(shù)學(xué)家吳文俊院士曾語重心長地指出：“我國在體力勞動的機械化革命中曾經(jīng)掉隊，造成現(xiàn)在的落后狀態(tài)。在當(dāng)前新的一場腦力勞動的機械化革命中，我們不能重蹈覆轍?！彼裕寣W(xué)生帶筆記本電腦上課，希望他們不要為冗繁枯燥的計算而煩惱。

三、案例的改進

從上面分析也可以看出，線性代數(shù)主要在于應(yīng)用，核心就是案例。案例一定要經(jīng)典，能讓學(xué)生留下深刻印象。矩陣就是一張數(shù)表，此時引進灰度圖像，說明該灰度圖像就是矩陣，且每個元素都是255以內(nèi)的非負整數(shù)，可以讓學(xué)生在課堂上用電腦來操作。彩色照片由紅綠藍3種基色復(fù)合而成，即是由3個矩陣復(fù)合而成。在講解線性方程組的問題時，我們更需要經(jīng)典案例。比如，經(jīng)濟學(xué)中的收支平衡、化學(xué)方程式的配方、捕食者—食餌模型、交通流量問題、平板穩(wěn)態(tài)溫度的計算、電阻電路的計算等，這些問題需要建立線性方程組，然后通過軟件計算得出結(jié)果。又如，在講解特征值與特征向量時，必須引進一些例子。比如，某一城市的人口總數(shù)是固定的，因居民經(jīng)常在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙，人口的分布在變化。若每年7%的城區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，3%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)住。開始時市區(qū)有30%的居民，郊區(qū)有70%的居民，問10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？20年后、50年后又如何？當(dāng)然，特征值和特征向量還可以解決基因問題。線性代數(shù)中有各種變換，如線性變換、正交變換，但從概念上講解很抽象，此時使用MATLAB作圖就可以直觀表示出兩種變化，前后對比一目了然，正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的優(yōu)點是不改變圖形的形狀。若憑教材或教師的純理論講解，學(xué)生估計無法體會得這么深刻，課堂效果也不會這樣生動、形象。此外，還可以利用MATLAB做出二次型圖像，直觀感受什么是正定、負定和不定。

四、考核方式的改進

線性代數(shù)這門課程基本上會大一下學(xué)期開設(shè)，學(xué)生才進入大學(xué)，思維還沉浸在應(yīng)試教育的模式中，缺少獨立思考的能力，在具體的內(nèi)容學(xué)習(xí)中，只會套用解題公式，不能靈活地運用知識來解決問題，因此，我們提出“分層”考核法。由于每一個學(xué)生對學(xué)習(xí)成績的要求不一樣，教師要設(shè)置一個最基本要求，將線性代數(shù)考核分為以下幾層。首先，“及格中等”層：要求每一位學(xué)生提交案例報告，闡述出這個案例會用到線性代數(shù)的哪些知識點、具體解決方法和程序?qū)崿F(xiàn)是什么，依據(jù)報告給出相應(yīng)的成績等次。其次，“中等良好”層：教師給出一道案例，要求學(xué)生自己查找資料，類似于數(shù)學(xué)建模的要求，開放題，答案不唯一，依據(jù)分析問題和解決問題的過程，給出相應(yīng)的等次。最后，“優(yōu)秀”層：依據(jù)考研要求，閉卷考試。當(dāng)然，參加“優(yōu)秀”層考核的前提是，完成前面兩個考核，這會讓每一位學(xué)生都得到發(fā)展。該方法已經(jīng)使用了兩年，效果非常好，確實能提高學(xué)生動手解決問題的能力。

用計算機進行線性代數(shù)的教育改革，發(fā)達國家已進行了近20年，形成了一套完整的經(jīng)驗體系。本文試圖通過近幾年線性代數(shù)的教學(xué)實踐和改革，以期讓線性代數(shù)不抽象、不冗繁、不枯燥，將其概念形象化，讓學(xué)生懂得線性代數(shù)的計算有簡明的程序，其應(yīng)用極其精彩而廣泛。

參考文獻：

[1]沈雁.線性代數(shù)教學(xué)中直觀性應(yīng)用的實踐與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（6）：86-88.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]魏鳳英.基于矩陣求逆談高等代數(shù)中的計算及MATLAB實現(xiàn)[J].長春大學(xué)學(xué)報，2013，23（10）：1279-1281.

[4]李大潛.素質(zhì)教育與數(shù)學(xué)教學(xué)改革[J].中國大學(xué)教學(xué)，2000，（3）：9-11.

[5]李尚志.線性代數(shù)精彩應(yīng)用案例（之一）[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（3）：1-8.

[6]高淑萍，等.線性代數(shù)課程MATLAB實驗內(nèi)容的教學(xué)與研究[J].中國電子教育，2007，（4）：59-62.

[7]蔡海鷗.線性代數(shù)教學(xué)方法探索[J].首都師范大學(xué)學(xué)報，2009，30（5）：3-7.