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品五年中考?搖 看一個(gè)題型

2014-05-28 03:29張興中
關(guān)鍵詞:教學(xué)啟示解題策略

張興中

[摘 要] 針對近年來數(shù)學(xué)中考卷中常出現(xiàn)的以能力立意為目標(biāo)、以增大思維容量為特色的“新定義”創(chuàng)新題,本文作者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),分析了此類題的特點(diǎn),指出解題策略,闡述了解題方法如何滲透日常教學(xué)的一些想法.

[關(guān)鍵詞] 新定義;解題策略;教學(xué)啟示

縱觀近五年的中考數(shù)學(xué)卷,常常出現(xiàn)一道以能力立意為目標(biāo)、以增大思維容量為特色的“新定義”創(chuàng)新題,這種題目集應(yīng)用性、探索性和開放性于一體,不失為全方面、多角度考查學(xué)生分析問題和解決問題的一種新穎別致的試題.

所謂“新定義”創(chuàng)新試題,是指給出一個(gè)考生從未接觸的新規(guī)定,要求考生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用,其目的在于考查考生的閱讀理解能力、接受能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動探究的品質(zhì). “給什么,用什么”是應(yīng)用“新定義”解題的基本思路.

解這類題的策略是:仔細(xì)閱讀分析材料,捕捉相關(guān)信息,緊扣定義,圍繞定義與條件,結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法,通過歸納、探索、推理,發(fā)現(xiàn)解題方法,然后解決問題.

■ “新定義”題回放

例1 (2008年紹興中考)定義[p,q]為一次函數(shù)y=px+q的特征數(shù).

(1)若特征數(shù)是[2,k-2]的一次函數(shù)為正比例函數(shù),求k的值.

(2)設(shè)點(diǎn)A,B分別為拋物線y=(x+m)(x-2)與x軸、y軸的交點(diǎn),其中m>0,且△OAB的面積為4,O為原點(diǎn),求圖象過A,B兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù).

解答 (1)因?yàn)樘卣鲾?shù)為[2,k-2]的一次函數(shù)為y=2x+k-2,所以k-2=0. 所以k=2.

(2)因?yàn)閽佄锞€與x軸的交點(diǎn)為A■(-m,0),A■(2,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,-2m),若S■=4,則■·m·2m=4,解得m=2;若S■=4,則■·2·2m=4,解得m=2. 所以當(dāng)m=2時(shí),滿足題設(shè)條件. 所以此時(shí)拋物線的解析式為y=(x+2)(x-2),它與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),(2,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,-4). 所以一次函數(shù)的解析式為y=-2x-4或y=2x-4. 所以特征數(shù)為[-2,-4]或[2,-4].

評析?搖 此題是在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情景,給出了一個(gè)“特征數(shù)”的新概念. 解答此題的關(guān)鍵是讀懂、理解題意,注意將新的信息向已有知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 第(1)小題只要把已知的特征數(shù)代入關(guān)系式,結(jié)合所學(xué)知識,運(yùn)用正比例函數(shù)的概念,問題就可以解決. 第(2)小題由于所給拋物線的解析式為交點(diǎn)式,所以易知交點(diǎn)坐標(biāo),但點(diǎn)A的坐標(biāo)有兩種可能,需分類討論,難度也隨之增大,所以,在解決此類問題的過程中,要有全面的觀念,以及對問題的整體把握,同時(shí)要注意分類討論思想的滲透,以及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)建模在解題過程中的靈活運(yùn)用.

例2 (2012年紹興中考)聯(lián)想三角形外心的概念,我們可引入如下概念.

定義:到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn),叫做此三角形的準(zhǔn)外心.

舉例:如圖1所示,若PA=PB,則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心.

應(yīng)用:如圖2所示,CD為等邊三角形ABC的高,準(zhǔn)外心P在高CD上,且PD=■AB,求∠APB的度數(shù).

探究:已知△ABC為直角三角形,斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上,試探究PA的長.

解答?搖 應(yīng)用:①若PB=PC,連結(jié)PB,則∠PCB=∠PBC. 因?yàn)镃D為等邊三角形的高,所以AD=BD,∠PCB=30°. 所以∠PBD=∠PBC=30°. 所以PD=■·DB=■AB,與已知PD=■AB矛盾,所以PB≠PC.

②若PA=PC,連結(jié)PA,同理可得PA≠PC.

③若PA=PB,由PD=■AB得PD=BD,所以∠APD=45°. 故∠APB=90°.

探究:因?yàn)锽C=5,AB=3,所以AC=■=■=4.

①若PB=PC,設(shè)PA=x,則x 2+3 2=(4-x) 2,解得x=■,即PA=■.

②若PA=PC,則PA=2.

③若PA=PB,在Rt△PAB中不可能.

故PA=2或PA=■.

評析 ?搖此題是在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上引入新概念“三角形的準(zhǔn)外心”. 解答此題的關(guān)鍵是讀懂、理解題意,注意將新的信息結(jié)合圖形,并聯(lián)系已學(xué)的線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識解決問題.

例3 (2011年紹興中考)在平面直角坐標(biāo)系中,過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線,若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等,則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn). 例如,圖3中過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線,與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等,則點(diǎn)P是和諧點(diǎn).

(1)判斷點(diǎn)M(1,2),N(4,4)是否為和諧點(diǎn),并說明理由.?搖?搖

(2)若和諧點(diǎn)P(a,3)在直線y=-x+b(b為常數(shù))上,求a,b的值.

解答 (1)因?yàn)?×2≠2×(1+2),4×4=2×(4+4),所以點(diǎn)M不是和諧點(diǎn),點(diǎn)N是和諧點(diǎn).?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖

(2)由題意知,當(dāng)a>0時(shí),由(a+3)×2=3a,解得a=6. 又點(diǎn)P(a,3)在直線y=

-x+b上,代入得b=9;當(dāng)a<0時(shí),由(-a+3)×2=-3a,解得a=-6,又點(diǎn)P(a,3)在直線y=-x+b上,代入得b=-3.所以a=6,b=9或a=-6,b=-3.?搖

評析?搖 此題首先呈現(xiàn)“和諧點(diǎn)”這一新概念,為促進(jìn)對定義的理解,在定義后又采用平面直角坐標(biāo)系中的具體點(diǎn)和圖象進(jìn)行說明,接著以這個(gè)定義為整個(gè)問題的題眼,逐層深入. 此題既巧妙設(shè)置了對分類討論思想的考查,以面積和周長的形式出現(xiàn),隱蔽性強(qiáng),對思維嚴(yán)密性要求高,又在數(shù)形結(jié)合思想的考查上形成由低級到高級的鏈條,較好地區(qū)分出了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解和掌握程度,具有較好的效度.

例4 (2012年南京中考)如圖4所示,A,B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn),P是⊙O上的動點(diǎn)(P不與A,B重合),我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于A,B的滑動角.

(1)已知∠APB是⊙O上關(guān)于A,B的滑動角.

①若AB是⊙O的直徑,則∠APB=______;

②若⊙O的半徑是1,AB=■,求∠APB的度數(shù).

(2)已知O2是⊙O1外一點(diǎn),以O(shè)2為圓心作一個(gè)圓與⊙O1相交于A,B兩點(diǎn),∠APB是⊙O1上關(guān)于A,B的滑動角,直線PA,PB分別交⊙O2于點(diǎn)M和點(diǎn)N(點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合),連結(jié)AN,試探索∠APB與∠MAN和∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系.

解答 (1)①因?yàn)锳B是⊙O的直徑,所以∠APB=90°.

②因?yàn)镺A=OB=1,AB=■,

所以O(shè)A2+OB2=1+1=2=AB2.

所以△AOB是直角三角形.

所以∠AOB=90°.

所以∠APB=■∠AOB=45°,或∠APB=180°-45°=135°.

(2)當(dāng)P在優(yōu)弧AB上時(shí),如圖5所示,這時(shí)∠MAN是△PAN的外角,因而∠APB=∠MAN-∠ANB;當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上時(shí),如圖6所示,此時(shí)∠APB是△PAN的外角,因而∠APB=∠MAN+∠ANB.

點(diǎn)評?搖 本題以新概念“滑動角”入手,有一種新意,但其知識點(diǎn)就是圓周角與圓心角之間的關(guān)系,只是說法不同而已,還用到直徑所對的圓周角為直角、股定理等知識;第二問主要看考生能否周全考慮,自己要畫出圖形來幫助分析,結(jié)合圖形很容易得到正確結(jié)論.

■ 感悟教學(xué)

“新定義”題要求學(xué)生不僅要從語義上閱讀理解每一個(gè)句子的含義,還要從深層次上進(jìn)行挖掘,理解數(shù)學(xué)新知識的本質(zhì),要求學(xué)生要有較高的獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)能力,要培養(yǎng)和提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識的能力,教學(xué)時(shí)可以從以下幾個(gè)方面著手.

1. 及時(shí)總結(jié)已學(xué)的知識

學(xué)習(xí)是學(xué)生在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,通過同化和順應(yīng)重組知識,完成新知識的過程,而“總結(jié)”是把數(shù)學(xué)知識與技能通過“同化”或“順應(yīng)”的機(jī)能進(jìn)行“平衡”認(rèn)知結(jié)構(gòu)的必要步驟,新的概念、定理和方法并不是空中樓閣,它們的構(gòu)成元件都是學(xué)生已掌握的知識,適時(shí)組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納知識和技能的一般規(guī)律,有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、記憶和應(yīng)用新知識.因此對學(xué)生而言,關(guān)鍵要明白學(xué)習(xí)新知識并不是無從下手,完全可運(yùn)用已有知識加以解釋、理解,從而解決問題. 常用的總結(jié)方法有:在概念學(xué)習(xí)后,以辨析、類比等方式進(jìn)行小結(jié);對解題過程進(jìn)行反思,舉一反三;從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想及學(xué)習(xí)啟示三個(gè)層面進(jìn)行課堂小結(jié);布置閱讀、練習(xí)和實(shí)踐等不同形式的課外數(shù)學(xué)活動,讓學(xué)生撰寫學(xué)習(xí)心得、專題小論文等總結(jié)性的文章.

2. 培養(yǎng)獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力

“新定義”試題包含的新信息要學(xué)生自己加工,沒有教師的講解、舉例和解說,也沒有模仿和練習(xí)的過程,因此要順利解決這類問題必須有較強(qiáng)的獨(dú)立學(xué)習(xí)能力. 在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,教師要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生預(yù)習(xí)的習(xí)慣,上新課之前要自己預(yù)習(xí),要盡量通過自己的努力獨(dú)立學(xué)習(xí)和掌握新的知識,而不是依賴于教師的講解. 對于比較簡單的問題,可以讓學(xué)生獨(dú)立完成,使學(xué)生體會到運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的快樂. 對于有一定難度的問題,應(yīng)該讓學(xué)生有充足時(shí)間獨(dú)立思考,再進(jìn)行嘗試解決. 對于思維力度較大的問題,應(yīng)在學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論和全班交流的基礎(chǔ)上,通過合作共同解決.

3. 培養(yǎng)閱讀理解能力

閱讀理解是解“新定義”試題的第一步. 學(xué)生在閱讀的基礎(chǔ)上,通過自己的思考理解新信息,擁有好的閱讀能力無疑是解決這類問題的必要條件. 這就要求學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中要注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí),對題目中的詞句能正確理解,在此基礎(chǔ)上揭示新知識的本質(zhì),明確符合新知識要求的實(shí)例和使用條件. 教師在課堂上要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),進(jìn)行例題變式,讓學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)題剖析并根據(jù)要求自主命題、相互考查等多種形式靈活教學(xué),以培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用知識的意識、數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力和閱讀理解能力,讓學(xué)生多見識、多做此類題也是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解能力的不錯(cuò)方法.

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