劉嘉祥

[摘要]以微積分內(nèi)容為載體，從內(nèi)容選擇、例題、問題情境開展等幾個方面，分別闡述如何在微積分中開展探究性學(xué)習(xí)的措施。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué)；微積分；探究性學(xué)習(xí)

1微積分中的探究性學(xué)習(xí)

現(xiàn)代微積分有時作為“數(shù)學(xué)分析”的同義語，通常數(shù)學(xué)分析的概念很廣，包括微積分、級數(shù)論、函數(shù)論、微分方程、積分方程、變分法和泛函分析等，這些學(xué)科又稱“分析數(shù)學(xué)”，在古典意義下，微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的合稱，它不僅是分析學(xué)的基礎(chǔ)部分，而且是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分，微積分中蘊含的重要思想是極限思想，這是初等數(shù)學(xué)中從未涉及的，以“直”代“曲”，以“局部”研究“整體”，無窮分割等思想，使人類思維進入到無限小分析領(lǐng)域，使人類的視野由有限到無限，由靜止到運動，由常量到變量，由孤立到發(fā)展，這種思維的探究有利于學(xué)生形成辯證邏輯思維，使復(fù)雜問題簡單化，改變以往初等數(shù)學(xué)中認為數(shù)學(xué)只是靜態(tài)的觀點，認識數(shù)學(xué)所具有的動態(tài)方面，因此，微積分中的探究性學(xué)習(xí)定義為：微積分中的探究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞一定微積分中的問題、文本或材料，在教師的指導(dǎo)下，通過自主地參與發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題等一系列探索微積分的活動或過程(其中包括思維、情感和動作等方面的活動)，來獲得知識和技能、發(fā)展能力、培養(yǎng)情感體驗為目的的一種學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過程，目前微積分探究性學(xué)習(xí)在具體實施中存在諸多問題，開展情況不理想，主要原因是起主導(dǎo)作用的教師缺乏一套行之有效且操作性強的實施方式和措施，表現(xiàn)出其強烈的愿望與具體操作之間存在著矛盾，因此，建立一套操作性和適用性強的實施措施以解決這一矛盾，是目前微積分教學(xué)改革所必需的。

2選擇恰當?shù)母拍钸M行探究

概念學(xué)習(xí)的實質(zhì)是掌握同類事物共同的關(guān)鍵特征，微積分的概念、定理等內(nèi)容的提出，分析和論證過程，知識的發(fā)生、發(fā)展形成過程，思路的探索，方法及規(guī)律的概括過程等內(nèi)容，都可設(shè)計為探究問題。概念形成是指學(xué)生從大量同類事物的不同例證中獨立發(fā)現(xiàn)事物的關(guān)鍵特征，從而獲得概念的過程，概念是微積分學(xué)習(xí)的重點與核心，是進行判斷、推理和建立定理的基礎(chǔ)，是思維的細胞、濃縮的知識點，清晰的概念是正確思維的前提，因此，重視學(xué)生概念形成的探究十分重要，微積分概念的形成是從具體到抽象的過程，具有復(fù)雜性和抽象性，學(xué)生對極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等抽象概念的理解不夠深刻，特別以“ε-N”，“ε-δ”語言這種高度抽象與概括描述居多，學(xué)生難以理解其定義，掌握其實質(zhì)，學(xué)生獲得概念的過程是抽象概括的過程，在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注概念的實際背景，探究知識的形成過程，克服機械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。例如，極限概念以無限接近為主旨，而無限接近歸結(jié)于有限線段的無限可分性，這是形象思維的典型，教學(xué)時通過具體實例，讓學(xué)生體會極限能夠反映實際事物的變化規(guī)律，為了使學(xué)生易于接受和掌握數(shù)學(xué)概念，教師應(yīng)先創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)概念的情境，設(shè)法喚起學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識和經(jīng)驗，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念時，通過瞬時速度和切線的斜率引進和探究，提取函數(shù)的變化率問題，使學(xué)生經(jīng)歷感性認識到理性認識的飛躍，再用極限定義變化率的實質(zhì)加深導(dǎo)數(shù)概念的理解。

3選擇恰當?shù)睦}進行探究

例題與習(xí)題是教學(xué)的有機組成部分，是傳授知識、鞏固方法、培養(yǎng)能力、積淀素養(yǎng)的載體。通過選擇富于啟迪，深淺程度與思維活動都符合學(xué)生個體發(fā)展需要和認知規(guī)律的例題與習(xí)題，應(yīng)用特殊的數(shù)學(xué)思想方法，將其結(jié)論作推廣或拓廣的引申，從而作為探究的重要材料，能有效地啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生的探究熱情，推廣探究是對一個命題進行推廣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生在某個基本解決問題的基礎(chǔ)上提出新的問題，通過學(xué)生主動嘗試、探索及分析研究，促進學(xué)生求異思維及發(fā)散思維的發(fā)展，利用恰當?shù)睦}與習(xí)題對其結(jié)論作推廣探究，可以加深學(xué)生對原有結(jié)論的理解，并得到一些形式相似的結(jié)論。加強了學(xué)生的探究意識，歷史上，由于牛頓和萊布尼茲等人未能認識無窮小的本質(zhì)，造成了邏輯推演中的漏洞，錯誤的推導(dǎo)竟然得出正確有效的結(jié)果，從而激勵人們?yōu)槲⒎e分建立嚴格的基礎(chǔ)而努力，使得極限論獲得了巨大的發(fā)展，伹要注意由片面感性認識而產(chǎn)生的錯誤，例如，由于有“b＞a”的觀念，推導(dǎo)出“定積分∫^b_af(x))dx具有單調(diào)性”的錯誤論斷，其原因是未能掌握定積分本質(zhì)是二型曲線積分，而不是一型曲線積分的知識，從有限推廣到無限僅注重形式而忽略本質(zhì)也會產(chǎn)生錯誤，等等。

4選擇問題情景開展探究

探究的對象本身既是問題，同時又是研究的出發(fā)點和焦點，微積分發(fā)展史啟示我們，問題是微積分建立和發(fā)展的起點和動力，微積分產(chǎn)生的背景是四類問題，正是在解決這些問題的努力中產(chǎn)生了微積分，而微積分探究性學(xué)習(xí)是以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，微積分問題情景的創(chuàng)設(shè)對于探究性學(xué)習(xí)具有重要的意義，它是第一步，也是最關(guān)鍵的一步，因此，教師要努力創(chuàng)設(shè)問題情景開展探究，培養(yǎng)學(xué)生敢探、肯探、好探問題，激發(fā)學(xué)生思維的積極性，例如，學(xué)習(xí)“二型曲面積分”時，提出“由和式極限導(dǎo)出的積分有哪些，它們是否具備單調(diào)性”的問題。經(jīng)過思考，學(xué)生們列舉出定積分、重積分及一型、二型曲線曲面積分之后，關(guān)于單調(diào)性問題出現(xiàn)了不同意見的爭論。課堂氣氛十分活躍，教師及時組織課堂討論，并逐步引導(dǎo)學(xué)生從積分表示形式人手，抓住確定一個積分單調(diào)性的最本質(zhì)的東西——積分中的微元，于是得出結(jié)論：“除二型曲線、曲面積分(定積分是二型曲線積分之特例)外，上述幾種積分均具有單調(diào)性，而二型曲線(曲面)積分不具單調(diào)性，其原因在于有向微元dx(有向面積元dxdy)未必大于零”。

5利用幾何直觀開展探究

微積分的基本屬性之一是抽象，大學(xué)生頭腦中形象的東西比較多，有比較扎實的基本功，這為他們理解微積分中的抽象概念及理論提供了形象的實例，有利于對抽象概念的理解數(shù)學(xué)家把點與數(shù)對應(yīng)、曲線與方程對應(yīng)的思想進一步推廣，探究出函數(shù)與點、函數(shù)集與空間相對應(yīng)的思想，在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立了泛函分析這一新的數(shù)學(xué)分支，再如，對不等式“sinx＜x＜tanx”用幾何圖像進行探究非常直觀；學(xué)習(xí)“函數(shù)f(x)在區(qū)間一致連續(xù)”的概念時，結(jié)合具體例子借圖形理解定義，以達到真懂的境界；在三類可積函數(shù)的學(xué)習(xí)中，“若f(x)在[a，b]連續(xù)，則f(x)在[a，b]可積”的定理在學(xué)習(xí)時可從幾何直觀進行探究，根據(jù)可積準則的幾何意義把要證問題轉(zhuǎn)化為幾何問題較為直觀；函數(shù)極限性質(zhì)中的保序性定理，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理的證明以及一些例題等均可借助幾何直觀探究學(xué)習(xí)，教師從推演細節(jié)中探究出證明的中心思想，借助幾何直觀講解定理，以此提高學(xué)生分析和解決抽象問題的能力。

[參考文獻]

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