*本文系2021年度無錫市基礎教育前瞻性教學改革實驗項目“促進學生學科關鍵能力發(fā)展的深度教學探索”的研究成果之一。

收稿日期：2024-04-11

作者簡介：屈佳芬，江陰市申港實驗小學校長，正高級教師，江蘇省特級教師，主要研究方向為小學數學教育、教師專業(yè)發(fā)展、小學教育管理。

摘要：抽象是數學的基本特征，數學抽象能力是數學核心素養(yǎng)的主要表現之一，具有內隱性、概括性、敏感性、發(fā)展性等特點。當前數學抽象能力的培育存在感知對象不充分、探究過程不完整、數學思考不深入等問題，需要提供豐富的感知材料、經歷完整的探究歷程、啟迪深層的數學思考，引領學生不斷夯實抽象基礎、經歷抽象過程、把握抽象本質，促進抽象能力的逐漸生長。

關鍵詞：數學抽象能力；數學核心素養(yǎng)；小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2024）06-0098-04

抽象是數學的基本特征，是用數學的眼光觀察現實世界的基本方式，是三大數學基本思想之一?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》把抽象能力放在數學核心素養(yǎng)主要表現的首位，可見抽象能力的重要性。然而，在當前的數學學習中，淺表化、機械化的學習還大量存在，抽象能力的培養(yǎng)未能真正落到實處，帶領學生走向深層化、意義化的學習，是數學抽象能力提升的必要之道。

一、數學抽象能力的內涵解讀

（一）數學抽象

抽象，是數學迭代發(fā)展過程中所依賴的最重要的基本思想。所謂數學抽象，國內外許多專家學者都進行了相應的研究，如迪內斯把數學抽象定義為：從不同的情境中抽象出共性的過程，并且這一共性可以作為檢驗某一因素是否符合這一屬性的標準。弗賴登塔爾強調數學學習絕不是教師單方面的活動，學習者會對接收到的抽象知識進行再加工處理，把現實問題抽象成數學問題[1]。李昌官認為：數學通過舍棄現實事物的非數學屬性，從中分離出事物數與形兩方面的屬性，進而對這些屬性進行最大限度的一般化、理想化處理，得到具有廣泛普適性和應用性的數學概念[2]?？梢钥闯?，不同研究者的研究雖側重不同，但基本理念有相通之處。具體理解為，數學抽象是以具體事物為載體，通過觀察、分析，舍棄事物表象的、外部的東西，抽出事物本質的、內在的因素，從空間形式和數量關系來解釋客觀事物的一種數學研究方法。數學抽象是對數學事物基本特征的高度概括。

（二）數學抽象能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對數學抽象能力這樣表述：主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力[3]。筆者認為，數學抽象能力具有以下特征。

1.內隱性

認知心理學認為，在不知不覺中獲得某種知識，學習了某種規(guī)則，叫作內隱學習。數學抽象能力是學習者個體內在的一種能力，相對于顯性的數學知識而言，它是一種緘默性知識，具有內隱性，不易表達，不易外顯，很難用語言文字或符號形式進行直接傳遞。

2.概括性

抽象與概括是密不可分的，高度的抽象必然有高度的概括，概括性是數學抽象能力的顯著特征。學習者在面對復雜的現實情境時，需要從中提取關鍵的特征和規(guī)律，將其概括為更簡單、更易于理解的形式。因此，概括伴隨數學抽象的過程，概括水平越高，抽象能力也越強。

3.敏感性

敏感性是體現抽象能力強弱的一個重要標準。如果說一個人的知識技能水平，決定著他成就的最低線，那決定他發(fā)展上限的則是抽象能力。抽象能力強的人對抽象概念非常敏感，往往能從零散的、簡單的數學信息中抽象出本質的、結構性的數學原理，體現出較好的思維敏捷性、發(fā)散性和創(chuàng)造性。

4.發(fā)展性

能力的提升是循序漸進、螺旋上升的，數學抽象能力同樣具有發(fā)展性。如低年級學生，處在形象思維階段，對數學抽象只有朦朦朧朧的印象，自主抽象能力較弱，隨著年齡的增長、學習的深入，對經歷抽象的體驗逐漸增多，積累的數學抽象經驗逐漸豐富，自主抽象的意識將慢慢形成，數學抽象能力也將逐漸生長。

二、數學抽象能力培育的問題分析

數學抽象能力對學生學習起著至關重要的作用，甚至影響一個人終身的發(fā)展。但實際的教學中，數學抽象能力卻未能得到高度的重視，許多課堂教學形式單一，教學過程單薄，數學思考淺層，深度學習未能真正形成，數學抽象能力的培養(yǎng)未能真正落地。具體體現在以下幾個方面。

（一）感知對象不充分，缺乏數學抽象的認知基礎

數學知識本身是高度抽象的，是對一類研究對象本質屬性高度概括的結果，研究對象是實現數學抽象的載體，充分感知是實現數學抽象的前提。然而，在實際的教學中，很多教師備課不充分，提供給學生感知的數學素材單一化，不具體、不全面，學生在實際的學習中，感性認識不到位，無法正確進行數學抽象，甚至出現認識的偏差。

（二）探究過程不完整，缺乏數學抽象的過程經歷

數學抽象能力是一種高階能力，需要在反復的探索、體驗和感悟中慢慢生長。每一次概念的形成、結論或規(guī)律的獲得，都是學生經歷一次數學抽象的過程。但是，當前的課堂學習中，受功利性的驅使，教師寧愿減少甚至舍棄知識的形成過程，讓學生大量地、反復地做題，學生經歷數學抽象的過程不完整、體驗不豐富，往往形式大于實質，抽象能力培養(yǎng)淪為空談。

（三）數學思考不深入，缺乏數學抽象的理性概括

數學抽象的過程是對研究對象進行理性分析，不斷剝離非本質屬性，凸顯本質屬性的過程，其中，高質量的思考、理性化的表達必不可少。然而，很多的課堂數學思考不深入，缺少合理的數學問題情境，缺少深層的問題思考時機，數學抽象的結果并未由學生自我感悟而得，學生通常是被動接受結論，數學抽象異化為結論告知。

三、數學抽象能力培養(yǎng)的實踐策略

數學抽象能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要滲透在教學的每一個環(huán)節(jié)，在深度的學習中體悟，日積月累，潛移默化，方可逐漸形成。

（一）提供豐富的感知材料——夯實抽象基礎

感知即意識對內外界信息的覺察、感覺、注意、知覺的一系列過程。從數學抽象的本質內涵看，要實現有意義的數學抽象，必須先對學習對象進行豐富的、全面的感知，才有可能剝離事物的非本質屬性，抽取本質屬性。

如，在“角的認識”教學中，可以設置如下幾個維度的感知層次，來豐富學生的感性認識。首先，實物中感知。教師出示一個五角星和一把三角尺，問學生：為什么叫五角星？為什么叫三角尺？引導學生說出，這里面都藏著角。此時，學生對角的認識是模糊的，是基于生活經驗而形成的。其次，創(chuàng)造中感知。教師課前提供多種材料，讓學生創(chuàng)造一個角。有的學生利用小棒擺出了角，有的學生利用吸管折出了角，有的學生利用工具畫出了角……此時，教師及時提問：這里的幾個角有什么共同點？學生基本都能說出有兩條直直的邊和一個尖。通過這一層次的感悟，學生舍棄了制作角的材料等非本質屬性，初步指向角的本質特征邊和角。最后，深層辨析中感知。教師在黑板上貼出了一個自制的活動角，先不斷地變換角的開口方向，連續(xù)追問學生：這樣是角嗎？再變換角的開口大小，追問學生，這樣是角嗎？同時再不斷拉長和縮短角的兩條邊，繼續(xù)追問學生：這樣還是角嗎？這里的三次辨析，再次拓寬了角的認識外延，進一步剝離與角相關的位置、大小及邊的長短等非本質屬性，對角的認識進行了準確的抽象。

感知是抽象的基石，選取好感知材料是首要條件。選取感知材料時：其一，要考慮豐富性，要符合認知發(fā)展的規(guī)律；其二，要考慮全面性，對可能干擾正確抽象的一些非本質屬性的素材要盡可能提供；其三，還要考慮典型性，切勿多而濫，干擾學生認知。感知材料越豐富、越全面、越典型，越有利于學生準確抽象。

（二）經歷完整的探究歷程——經歷抽象過程

好的數學教學應從學習者的生活經驗和已有的知識背景出發(fā)，讓學生進行充分的數學實踐和交流，經歷數學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從而理解數學本質，抽象數學模型。一般來說，數學抽象要經歷四個階段：第一階段是感知與識別，對提供的數學對象深入感知；第二階段是分離和提取，剝離感知對象的非本質屬性，提取所有的本質屬性；第三階段是辨析與固化，在充分思辨的基礎上理解本質屬性；第四階段是提煉和簡化，把本質屬性加以高度概括[4]。

如，在“乘法分配律”的教學中，創(chuàng)設了五個層次的探究歷程。第一層次，在解決實際問題中初步體會等式的特點。出示兩種不同情境的兩個實際問題，讓學生用兩種方法解答，引出兩個等式，并引導學生對兩個等式讀一讀，初步找感覺。第二層次，繼續(xù)解決類似實際問題再悟等式的特點。學生根據剛才經驗，解答并寫出類似等式，教師讓學生將黑板上的三組等式再讀一讀，再次找感覺，此時，學生對這類等式的感覺已加深了。第三層次，寫出幾組類似等式加深理解等式的特點。此時，學生基本能獨立寫出等式，對等式的特點理解已從朦朧走向清晰。第四層次，在深入討論每個等式為什么相等中理解知識本質。學生通過交流討論，用乘法的意義解釋每組等式相等的理由，揭示了乘法分配律的本質。第五層次，在無窮列舉中找到一般模型。教師適時提問：這樣的等式還有嗎？寫得完嗎？能否找到一種方法把它表示出來。此時，學生用符號表示乘法分配律就水到渠成，數學抽象及時且真實。

數學抽象的過程是一個慢過程，教師要留出足夠的時間，讓學生慢慢感受；要精心設計梯次，讓學生逐步感悟；要耐心等待學生，讓學生自我感悟。只有讓學生完整經歷探究的過程，數學抽象才可能真實有效。

（三）啟迪深層的數學思考——把握抽象本質

思考是一種整體的思維活動，是一種指向明確、探究深入、富有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的深層智力活動。帶領學生經歷數學抽象的過程中，教師要善于創(chuàng)設有效的問題情境，引發(fā)學生高質量的數學思考，使其對抽象的結果的本質、原理理解清晰。

如教學“三角形分類”時，為了讓學生真正理解“三角形按角分為什么只有三類”，教師可以設置“認知平衡—認知沖突—認知平衡”這樣一個思維歷程，讓學生在積極的思考過程中把握抽象本質。活動伊始，教師創(chuàng)建在釘子板上圍三角形的任務，讓學生圍出三個角是“銳銳銳、直銳銳、鈍銳銳”三種組合后，及時發(fā)問：世界上的三角形有多少個？難道就只有這三種？估計應該有第四種，或者第五種吧？這樣的發(fā)問把學生的思維一下子調動起來，學生積極主動地去嘗試第四種圍法……當學生怎么嘗試也圍不出，心里極其困惑時，教師再適時設問：你們圍不出第四種，老師也圍不出第四種，難道真沒第四種？現在我們來思考，“一個三角形中有沒有兩個直角？為什么？”。此時的設問把學生興奮的內心引導到冷靜的思考，學生很快找到了原理，因為三角形的內角和是180°，所以一個三角形中不可能有兩個直角，更不可能有兩個鈍角。這里的連續(xù)設問，讓學生經歷了一次較為深刻的認知沖突過程，并深刻理解了三角形按角分為什么只有三類的原理，對抽象結果的本質感悟深刻，理解透徹。

深層的數學思考是實現數學抽象的必要條件，它必須伴隨學生的知識探究過程，才有可能實現有效抽象。同時，教師也要多創(chuàng)設回顧反思的機會，讓學生對抽象的過程及時自我反思，自我感悟，積累抽象的經驗。在這樣不斷思考、反思中，抽象能力才會螺旋上升，逐漸生長。

總之，數學抽象能力的培育是一個長期的過程，不能一蹴而就，需要一以貫之，系統(tǒng)施策，讓學生在持續(xù)的、有意義的數學學習中不斷感悟、熏陶和內悟。

參考文獻：

[1]唐秦.關于“數學抽象”的國外研究綜述[J].中學數學月刊，2016（11）：54.

[2]李昌官.數學的學科性質與課程目標[J].中學數學教學參考，2021（5）：23.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022：8.

[4]程茂山.數學抽象能力培養(yǎng)的嘗試與思考：以《三角形的認識與分類》教學為例[J].小學教學設計，2023（20）：61.

責任編輯：石萍