李輝

［摘 ?要］ 數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，也是學(xué)生分析和解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。研究者以“比的認(rèn)識(shí)”一課為例，通過(guò)教材分析整體把握“比”的本質(zhì)屬性和特有價(jià)值，通過(guò)學(xué)前調(diào)查了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，針對(duì)學(xué)習(xí)難點(diǎn)挖掘豐富的數(shù)學(xué)素材，整合優(yōu)化成與兒童知識(shí)體系、認(rèn)知結(jié)構(gòu)相匹配，與學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與價(jià)值相契合的結(jié)構(gòu)化學(xué)材，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展觀察、思考、交流等一系列活動(dòng)，去偽存真，感悟概念本質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］ 結(jié)構(gòu)化學(xué)材；概念教學(xué)；本質(zhì)屬性；學(xué)情

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象本質(zhì)屬性的一種反映形式，具有抽象性。數(shù)學(xué)概念在小學(xué)數(shù)學(xué)中大量存在，是學(xué)生分析和解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，概念教學(xué)一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。生動(dòng)有趣、指向知識(shí)本質(zhì)的結(jié)構(gòu)化學(xué)材有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并在其腦海中產(chǎn)生豐富的表象，促進(jìn)概念理解從外延向內(nèi)涵推進(jìn)，從而抽象出概念的本質(zhì)屬性。

“比”是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，教材把比定義為“兩個(gè)數(shù)的比表示為兩個(gè)數(shù)相除”。筆者每次教學(xué)這部分內(nèi)容總會(huì)不由自主地思考：“比”與除法有什么不同呢？學(xué)生對(duì)“比”已有怎樣的認(rèn)識(shí)？基于以上思考，筆者通過(guò)教材分析與文獻(xiàn)查閱厘清“比”的本質(zhì)屬性和特有價(jià)值，通過(guò)學(xué)情調(diào)查了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，針對(duì)學(xué)習(xí)難點(diǎn)挖掘教材與生活素材，整合優(yōu)化成適合小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化學(xué)材，助力學(xué)生建構(gòu)概念和發(fā)展思維。

一、深入研讀教材，把握概念本質(zhì)

在教學(xué)“比的認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生已學(xué)習(xí)了除法和認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，“比”的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)“比例”的基礎(chǔ)?！氨取边@部分內(nèi)容原來(lái)一直編排在“分?jǐn)?shù)除法”單元內(nèi)，修訂版教材把“比”列為一個(gè)獨(dú)立單元，意味著學(xué)生對(duì)“比”的學(xué)習(xí)不能只停留在與分?jǐn)?shù)、除法之間的關(guān)系層面，不能只從運(yùn)算的角度去認(rèn)識(shí)比，而要從量與量之間的關(guān)系角度來(lái)理解比。

2014年以前的人教版教材把“比”定義為“兩個(gè)數(shù)相除又叫作這兩個(gè)數(shù)的比”，2014年后變成“兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除”。概念定義的變遷，進(jìn)一步說(shuō)明“比”與除法并不是等價(jià)概念，而是有其自身的意義、特點(diǎn)和價(jià)值。張奠宙先生在其《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書(shū)中明確指出：“比值的計(jì)算固然要用到除法，但是比不等于除法，比有比的意義，除法有除法的用途。比，可以只是兩個(gè)量之間的一種比較關(guān)系、一種對(duì)應(yīng)、一種狀態(tài)，可以不必凸顯除法。”

那么為什么有了除法還要引入“比”“比”與除法區(qū)別何在？

1.除法趨向于運(yùn)算的形式和結(jié)果，而“比”凸顯的是量與量之間的一種倍比關(guān)系；“比”為比例的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，可以擴(kuò)展為正比例關(guān)系，這種比例關(guān)系的含義遠(yuǎn)超除法。

2. 除法、分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系，而“比”可以表示三個(gè)或多個(gè)量的倍比關(guān)系。

3.兩個(gè)數(shù)的比可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)數(shù)相除；而兩個(gè)數(shù)相除，比如“等分除”就不宜表示成這兩個(gè)數(shù)的比。

4. “比”源于度量，物體除了長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等可度量的屬性，還有顏色、形狀、質(zhì)地、口感等不可度量的屬性，這些不可度量的屬性用比來(lái)表征量與量間的對(duì)等關(guān)系，更加清晰明了。

二、進(jìn)行學(xué)前調(diào)查，掌握學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。

1. 設(shè)計(jì)問(wèn)卷，學(xué)前調(diào)查

問(wèn)卷內(nèi)容主要有兩個(gè)方面：一是了解學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，即在現(xiàn)實(shí)生活中哪里見(jiàn)過(guò)“比”，對(duì)哪些“比”印象比較深刻；二是學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，即對(duì)“比”的相關(guān)知識(shí)的了解程度。為了體現(xiàn)靈活性和開(kāi)放性，問(wèn)卷以問(wèn)答題的形式給出（如表1）。

2. 整理分析，了解起點(diǎn)

前測(cè)共發(fā)放問(wèn)卷85份，收回有效問(wèn)卷85份，通過(guò)整理分析，結(jié)果表明：42%的學(xué)生知道配方中的“比”；86%的學(xué)生提及球賽中的比分；78%的學(xué)生會(huì)讀寫(xiě)“比”，知道“比”可以轉(zhuǎn)換成除法。

（1）大部分學(xué)生對(duì)“比”有一定的認(rèn)識(shí)

有42%的學(xué)生知道生活中常見(jiàn)的“配方比”，86%的學(xué)生提及球賽中的比分，78%的學(xué)生會(huì)讀寫(xiě)“比”、求比值，可見(jiàn)基于生活經(jīng)驗(yàn)和前置的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)于讀寫(xiě)“比”、求比值這樣外顯性的知識(shí)有一定的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)。

（2）區(qū)別不了“生活中的比”與“數(shù)學(xué)中的比”

86%的學(xué)生提及的球賽比分并不是“數(shù)學(xué)中的比”。比分是一個(gè)得分記錄，反映的是數(shù)據(jù)的相差關(guān)系；而“數(shù)學(xué)中的比”反映的是量與量間的倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生較難區(qū)分其差異性。

三、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)材料，分層建構(gòu)概念

教師要站在學(xué)科結(jié)構(gòu)和單元知識(shí)整體結(jié)構(gòu)的視角，剖析概念的本質(zhì)屬性，找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，將教材及其他素材創(chuàng)造性地改編為結(jié)構(gòu)化學(xué)材。結(jié)構(gòu)化學(xué)材是實(shí)現(xiàn)概念意義建構(gòu)的有效載體，能促進(jìn)學(xué)生概念認(rèn)知從外延向內(nèi)涵推進(jìn)，同時(shí)能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。針對(duì)“數(shù)學(xué)中的比是表示量與量間的倍數(shù)關(guān)系”這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，筆者整合課本與生活素材，優(yōu)化成結(jié)構(gòu)化學(xué)材，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比辨析，去偽存真，突破認(rèn)知誤區(qū)，正確區(qū)分“相差關(guān)系”和“倍數(shù)關(guān)系”，助力學(xué)生逐級(jí)分層建構(gòu)概念。

1. 整合前測(cè)學(xué)材，在溝通交流中認(rèn)識(shí)“比”

（1）回顧學(xué)情

生活中有許多“比”，學(xué)生已經(jīng)了解很多關(guān)于比的知識(shí)。

（2）了解“比”的讀寫(xiě)、求比值

你能選一個(gè)“比”讀一讀并介紹與它相關(guān)的知識(shí)嗎？

“比”在生活中很常見(jiàn)，讓學(xué)生介紹“比”的相關(guān)知識(shí)，教師因勢(shì)利導(dǎo)、適時(shí)點(diǎn)撥，既尊重其學(xué)習(xí)起點(diǎn)，又滿(mǎn)足其表達(dá)意愿，讓其掌握比的讀寫(xiě)法和了解求比值的方法。

2. 設(shè)計(jì)對(duì)比學(xué)材，在比較辨析中明晰“比”

（1）呈現(xiàn)學(xué)材一：臘腸中的“比”

教師呈現(xiàn)制作臘腸的場(chǎng)景：臘腸是一道美食，受到人們普遍歡迎。有研究表明，制作臘腸時(shí)，瘦肉和肥肉的比例為7分瘦3分肥（7 ∶ 3），這樣更加油潤(rùn)，吃起來(lái)才香。假如按這個(gè)比取一些瘦肉和肥肉制作臘腸，你會(huì)怎么取？在學(xué)習(xí)單上填一填吧！

學(xué)習(xí)單（一）：制作臘腸時(shí)，瘦肉和肥肉的質(zhì)量比為7∶3時(shí)口感較好。按這個(gè)比取一些瘦肉和肥肉制作臘腸，你會(huì)怎么??？

瘦肉 ? ? 肥肉

7 ? ?∶ ? ? 3

（ ? ?） ∶ ? 300

1400 ?∶ ?（ ? ?）

（ ? ?） ∶ ?（ ? ?）

（ ? ?） ∶ ?（ ? ?）

經(jīng)歷學(xué)習(xí)單填寫(xiě)的過(guò)程，學(xué)生能充分感知制作臘腸時(shí)瘦肉和肥肉數(shù)量之間的關(guān)系。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，它們的數(shù)量有什么變化規(guī)律？有沒(méi)有不變的？

經(jīng)過(guò)思考交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：①每次變化比的前項(xiàng)和后項(xiàng)擴(kuò)大的倍數(shù)相同；②無(wú)論怎么變，瘦肉的質(zhì)量總是肥肉的7/3，倍數(shù)關(guān)系保持不變。

（2）呈現(xiàn)學(xué)材二：進(jìn)球中的比

制作臘腸中的“比”倍數(shù)關(guān)系不變，球賽中的比分會(huì)有同樣的特點(diǎn)嗎？教師呈現(xiàn)足球賽情境：一場(chǎng)足球賽上半場(chǎng)結(jié)束了，克羅地亞隊(duì)與法國(guó)隊(duì)的比分是2∶1。視頻回顧進(jìn)球過(guò)程，學(xué)生在學(xué)習(xí)單上記錄并感受比分的變化過(guò)程。

學(xué)習(xí)單（二）：一場(chǎng)足球賽上半場(chǎng)比分是2∶1，記錄進(jìn)球的過(guò)程，比分是怎樣變的？它與煮飯中的“比”一樣嗎？

比分是怎樣變化的？經(jīng)過(guò)觀察交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：①比分是每次只有一邊增加1，另一邊不變；②比分中可以出現(xiàn)0，它的比值要么求不了，要么不相等。比分只是得分記錄，主要是方便人們了解得分的相差。

（3）對(duì)比辨析，去偽存真

臘腸中的“比”和進(jìn)球中的比分有什么不同？

通過(guò)觀察、對(duì)比、思考，學(xué)生認(rèn)識(shí)到：臘腸中的比，每次變化的前項(xiàng)和后項(xiàng)擴(kuò)大的倍數(shù)相同，比值不變，也就是“倍數(shù)關(guān)系”保持一定；球賽比分每次只有一項(xiàng)發(fā)生變化，它的比值不能保持一定，主要是反映得分的“相差關(guān)系”。

“臘腸中的比”和“球賽比分”兩個(gè)學(xué)材分別指向 “倍數(shù)關(guān)系”與“相差關(guān)系”，通過(guò)對(duì)比辨析，去偽存真，學(xué)生能清晰地認(rèn)識(shí)到倍數(shù)關(guān)系的比才是數(shù)學(xué)中的比，助力概念建構(gòu)，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

四、設(shè)計(jì)拓展學(xué)材，在應(yīng)用中拓寬“比”

“比”原本是同類(lèi)量的比較關(guān)系，也可以推廣到不是同類(lèi)量的情境，還可以根據(jù)需要拓展為三個(gè)量或多個(gè)量的比。比是學(xué)習(xí)比例的基礎(chǔ)，教師要結(jié)合實(shí)際生活設(shè)計(jì)拓展學(xué)材，進(jìn)一步拓寬“比”概念的內(nèi)涵。

1. 拓展學(xué)材一，從兩個(gè)量的比到多個(gè)量的比

活動(dòng)1：把一個(gè)正方形平均分成2份、3份、4份，涂2種顏色（如圖1），說(shuō)一說(shuō)你看到的比。

活動(dòng)2：把2種顏色變化成3種顏色，又能看到什么比？

活動(dòng)3：說(shuō)一說(shuō)生活中有三個(gè)量的比。

借助正方形涂色的變式，從2種顏色過(guò)渡到3種顏色，從“部分與部分比”（比如紅色部分與其他顏色的比），到“部分與整體比”（比如紅色部分與整個(gè)正方形的比）。在變化過(guò)程中，豐富學(xué)生對(duì)比的直覺(jué)感受，體會(huì)兩個(gè)量可以比，三個(gè)量也可以比，有助于概念的整體建構(gòu)。

2. 拓展學(xué)材二，從同類(lèi)量的比到不同類(lèi)的比

水果店搞促銷(xiāo)，蘋(píng)果3千克1盒，共12元；葡萄4千克1盒，共28元。

問(wèn)題1：蘋(píng)果總價(jià)12元，葡萄總價(jià)28元，你能想到比嗎？

問(wèn)題2：呈現(xiàn)數(shù)量，從蘋(píng)果3千克到葡萄4千克，你能想到比嗎？

問(wèn)題3：蘋(píng)果12元1盒，共3千克；葡萄28元1盒，共4千克，你又能想到哪些比？

如圖2，教師選取學(xué)生熟悉的“總價(jià)、數(shù)量、單價(jià)”入手，遞進(jìn)呈現(xiàn)學(xué)材，鼓勵(lì)學(xué)生尋找新的比。學(xué)生很容易從總價(jià)與總價(jià)比、數(shù)量與數(shù)量比，過(guò)渡到總價(jià)與數(shù)量的比，體會(huì)在實(shí)際生活中不同類(lèi)量的比有時(shí)會(huì)產(chǎn)生新的量，進(jìn)一步溝通比與除法之間的聯(lián)系。

3. 拓展學(xué)材三，從比到比例

活動(dòng)1：分別寫(xiě)出三個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比。

活動(dòng)2：比較三個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

活動(dòng)3：三個(gè)長(zhǎng)方形形狀相似嗎？你有什么想說(shuō)的？

如圖3，三個(gè)長(zhǎng)方形相似是因?yàn)樗鼈冮L(zhǎng)寬比的比值相等，如果把三個(gè)比用等號(hào)相連，就是正比例。通過(guò)相似長(zhǎng)方形的變化，豐富了學(xué)生的空間想象力，讓其感受比的美，為比例的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

4. 拓展學(xué)材四，從數(shù)學(xué)中的比到生活中的比

前測(cè)中學(xué)生寫(xiě)出了很多生活中的比，教師可以從中精選組合成學(xué)材。教師教學(xué)“比”后，讓學(xué)生解釋這些“比”的含義，深化對(duì)“比”的認(rèn)識(shí)，感受“比”在生活中的廣泛應(yīng)用。

五、總結(jié)反思

筆者認(rèn)為，概念教學(xué)應(yīng)摒棄教師越俎代庖式的簡(jiǎn)單歸納，應(yīng)基于教材分析和學(xué)情調(diào)查，在準(zhǔn)確把握概念本質(zhì)和學(xué)習(xí)起點(diǎn)的基礎(chǔ)上，挖掘與學(xué)生已有知識(shí)體系、認(rèn)知結(jié)構(gòu)相契合，符合其學(xué)習(xí)興趣和價(jià)值認(rèn)同的學(xué)習(xí)材料，促使學(xué)生經(jīng)歷概念建構(gòu)的完整過(guò)程，使其習(xí)得的知識(shí)結(jié)構(gòu)化。

豐富有效的結(jié)構(gòu)化學(xué)材有助于學(xué)生在腦海中產(chǎn)生多樣的、立體的、個(gè)性化的表象，這種表象正是概念建構(gòu)的基礎(chǔ)。教師借助學(xué)材引領(lǐng)學(xué)生自主探索、思考辨析、合作交流，這樣的概念建構(gòu)才是完整的、持久的，學(xué)生對(duì)概念的理解才是深刻的、有效的，才能達(dá)成品質(zhì)學(xué)習(xí)。