明蕾

摘要：立足單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)理念，探討在概念教學(xué)中如何在一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)下以“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，以發(fā)展學(xué)生的探索性思維并提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：關(guān)鍵能力；概念教學(xué)；單元教學(xué)設(shè)計(jì)；問(wèn)題串；一般觀念

一、教學(xué)內(nèi)容解析

“三角函數(shù)的概念”（第2課時(shí)）選自人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“三角函數(shù)”.教材對(duì)于三角函數(shù)概念的引入路徑為：從單位圓出發(fā)，利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，建立周期現(xiàn)象，然后再建立其與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系.這種引入方式有利于學(xué)生更自然地以單位圓為基石抽象出三角函數(shù)的定義，進(jìn)而借助單位圓的性質(zhì)（特別是對(duì)稱性）獲得對(duì)三角函數(shù)研究?jī)?nèi)容的啟發(fā).本節(jié)課的教學(xué)就是要不斷引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想展開(kāi)對(duì)三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式一的探究，同時(shí)為后續(xù)對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式二～五的探究作鋪墊，從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

明確研究對(duì)象是開(kāi)展后續(xù)一切學(xué)習(xí)活動(dòng)的基礎(chǔ).三角函數(shù)的研究對(duì)象是周期現(xiàn)象，研究任務(wù)是建立一個(gè)函數(shù)來(lái)描述周期現(xiàn)象的變量關(guān)系，通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)來(lái)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律——性質(zhì).本節(jié)課先讓學(xué)生根據(jù)定義得出三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，由于探究?jī)?nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，可以由學(xué)生獨(dú)立完成.而對(duì)于誘導(dǎo)公式一，其本質(zhì)是函數(shù)值會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，它是“單位圓上任意一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)整數(shù)周就回到原來(lái)的位置”的代數(shù)表示，可以直接由三角函數(shù)的定義得到，不存在理解上的困難.關(guān)鍵是如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，也就是要“讓學(xué)生想到哪里去”.因此，教學(xué)設(shè)計(jì)注重從研究方法的高度進(jìn)行引導(dǎo)，通過(guò)一系列思考、問(wèn)題和追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生找到研究路徑.基于此，確定本節(jié)課的研究路徑為：明確研究對(duì)象—對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)分析—定義—性質(zhì).

二、教學(xué)目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）借助單位圓，理解并掌握三角函數(shù)的定義域及其在各象限的符號(hào)規(guī)律，熟悉數(shù)學(xué)的研究路徑，發(fā)展探究與發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維.

（2）結(jié)合單位圓的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式一，了解三角函數(shù)的周期性，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)的眼光”，提升推理論證能力，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

（3）熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式一解決實(shí)際問(wèn)題，即任意角三角函數(shù)的求值問(wèn)題.

2.目標(biāo)解析

達(dá)到以上教學(xué)目標(biāo)的標(biāo)志如下.

（1）能根據(jù)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律，準(zhǔn)確判斷任意角在各象限的符號(hào).

（2）能根據(jù)三角函數(shù)的定義和單位圓的對(duì)稱性，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式一.

（3）能熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式一和特殊角的三角函數(shù)值求出任意角的三角函數(shù)值.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

在三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律教學(xué)中，注意提醒學(xué)生當(dāng)角的終邊與y軸重合時(shí)，終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.因此，正切函數(shù)的定義域要剔除終邊與y軸重合的角.而對(duì)于三角函數(shù)值的符號(hào)，只要根據(jù)定義及單位圓上點(diǎn)的位置，就可以作出判斷.

在本節(jié)課的教學(xué)中，我們需要利用三角函數(shù)的定義來(lái)研究三角函數(shù)的性質(zhì)，教學(xué)難點(diǎn)在于一些學(xué)生不習(xí)慣借助單位圓的性質(zhì)來(lái)研究三角函數(shù)的性質(zhì)，從聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)不足，對(duì)“如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)”認(rèn)識(shí)不充分.對(duì)此，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生閱讀教材，了解有關(guān)教學(xué)內(nèi)容，再通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)探究.

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：課前回顧，引發(fā)思考.

【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的掌握和應(yīng)用情況.引發(fā)學(xué)生對(duì)題目中出現(xiàn)的三角函數(shù)值的正、負(fù)號(hào)判斷及借助單位圓的特征進(jìn)行性質(zhì)分析等問(wèn)題進(jìn)行初步感知與思考，進(jìn)而展開(kāi)對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的探索.

環(huán)節(jié)2：?jiǎn)栴}導(dǎo)學(xué)，性質(zhì)探索.

引導(dǎo)語(yǔ)：我們前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，根據(jù)已有的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，接下來(lái)應(yīng)該研究關(guān)于三角函數(shù)的哪些問(wèn)題？

在一般觀念的引領(lǐng)下，學(xué)生容易想到定義域、圖象等研究?jī)?nèi)容，但較難聯(lián)想到借助單位圓探究三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).對(duì)此，教師結(jié)合以下問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo).

問(wèn)題1：你能根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，確定正弦、余弦、正切三種函數(shù)在弧度制下的定義域嗎？填寫(xiě)表1.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生熟悉一般觀念下的函數(shù)性質(zhì)的討論方向，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到三角函數(shù)與其他函數(shù)的不同之處，要借助單位圓來(lái)研究三角函數(shù)的性質(zhì)，明確要研究的問(wèn)題和思考方向.

追問(wèn)：在明確三角函數(shù)的定義域后，應(yīng)該繼續(xù)研究關(guān)于三角函數(shù)的哪些問(wèn)題？

【設(shè)計(jì)意圖】由函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易提出值域、取值等研究問(wèn)題，為三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題的提出作好準(zhǔn)備.

問(wèn)題2：由三角函數(shù)的定義及任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)所在象限，你能發(fā)現(xiàn)正弦、余弦、正切三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)規(guī)律嗎？填寫(xiě)圖1中的括號(hào)內(nèi)容，并用集合語(yǔ)言表示上述規(guī)律.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生了解三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，同時(shí)以單位圓為直觀工具，關(guān)注到三角函數(shù)的特殊性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)及誘導(dǎo)公式一的發(fā)現(xiàn)作準(zhǔn)備.通過(guò)用集合語(yǔ)言表示三角函數(shù)的取值規(guī)律，復(fù)習(xí)了象限角、終邊相同的角的集合表示.

練習(xí)1：判斷正誤.

（1）已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sinα>0.

（2）若sinα>0，則α是第一象限角或第二象限角.

（3）對(duì)于任意的角α，sinα，cosα，tanα都有意義.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生利用新知解決問(wèn)題，強(qiáng)化對(duì)三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，以及對(duì)角的終邊位于坐標(biāo)軸上這一特殊情況下三角函數(shù)取值規(guī)律的記憶，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面理解.特別地，練習(xí)3結(jié)合常用邏輯用語(yǔ)中的充要條件，以不等式組呈現(xiàn)問(wèn)題，在問(wèn)題求證過(guò)程中能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象概括能力.

基于問(wèn)題的求解，師生共同總結(jié)有關(guān)三角函數(shù)值符號(hào)問(wèn)題的解題策略，具體如下.

（1）若已知角α的終邊所在的象限，則可以畫(huà)出單位圓，或利用“一全正，二正弦，三正切，四余弦”來(lái)解決角α的三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題.

（2）若已知角α三個(gè)三角函數(shù)值中任意兩個(gè)的符號(hào)，則可以分別確定出角α終邊所在的可能位置，兩者的公共部分即為角α的終邊位置.

（3）對(duì)于多個(gè)三角函數(shù)值符號(hào)的判斷問(wèn)題，需要進(jìn)行分類討論.

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，確定具體三角函數(shù)的值.通過(guò)快問(wèn)快答的形式，收獲學(xué)生的第一反應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生初步感受“周而復(fù)始”，為誘導(dǎo)公式一的探究搭建橋梁.

問(wèn)題3：前面結(jié)合三角函數(shù)的定義和單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)比值研究了三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，而單位圓具有對(duì)稱性和“周而復(fù)始”的特性，反映到三角函數(shù)的取值規(guī)律上，就會(huì)呈現(xiàn)出更豐富的性質(zhì).有哪些特殊情況值得研究？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注單位圓的圖形特征，探究三角函數(shù)的特性，自主發(fā)現(xiàn)并提出接下來(lái)要研究的取值相等或相反、三個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系等問(wèn)題.

問(wèn)題4：聯(lián)系三角函數(shù)的定義及終邊相同的角的表示，你能明確三角函數(shù)取值相等的條件嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形兩個(gè)方面感受誘導(dǎo)公式一，基于圖形直觀感受“單位圓上任意一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)整數(shù)周就回到原來(lái)的位置”，并總結(jié)出其“函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)”的代數(shù)表示，體會(huì)結(jié)合單位圓探索三角函數(shù)性質(zhì)的優(yōu)勢(shì).

追問(wèn)1：基于誘導(dǎo)公式一，你對(duì)三角函數(shù)的取值規(guī)律是否有進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)？它反映了圓的什么特性？

追問(wèn)2：誘導(dǎo)公式一有什么作用？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)兩個(gè)追問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)單位圓“周而復(fù)始”的特性，可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0 ～ 2π內(nèi)的角的三角函數(shù)值，為后續(xù)探索三角函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)提供縮小研究范圍的思路.

練習(xí)5：判斷正誤.

（1）若α=β+720°，則cosβ=cosα.

（2）若sinα=sinβ，則α=β.

【設(shè)計(jì)意圖】利用誘導(dǎo)公式一解決問(wèn)題，第（2）小題借助單位圓的對(duì)稱性情況，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想更多性質(zhì).

練習(xí)6：利用誘導(dǎo)公式一確定三角函數(shù)值的符號(hào)，然后用計(jì)算器驗(yàn)證.

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)5借助誘導(dǎo)公式一和單位圓的對(duì)稱性情況判斷兩角關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式一的理解；練習(xí)6引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)單位圓方法與誘導(dǎo)公式一的有機(jī)融合；練習(xí)7利用特殊角的三角函數(shù)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式一的運(yùn)用與理解.

師生共同總結(jié)利用誘導(dǎo)公式一化簡(jiǎn)、求解三角函數(shù)的步驟，如圖2所示.

環(huán)節(jié)3：拓展思考，總結(jié)聯(lián)想.

問(wèn)題5：誘導(dǎo)公式一表明終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，那么具有對(duì)稱性的角的三角函數(shù)值之間又有什么聯(lián)系？正弦、余弦和正切的三角函數(shù)值都由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)唯一確定，它們之間又有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？總結(jié)本節(jié)課的研究過(guò)程，你能說(shuō)說(shuō)我們是從哪些角度入手發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)的嗎？你認(rèn)為還可以從哪些方面入手研究三角函數(shù)的性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)意圖】帶領(lǐng)學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，并加深對(duì)知識(shí)的理解與掌握.引導(dǎo)學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)并提出有關(guān)具有對(duì)稱性的角的三角函數(shù)值的關(guān)系及其他誘導(dǎo)公式的問(wèn)題，引出下節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)精神.

（1）角θ為第二象限角的充要條件是__________；

（2）角θ為第三象限角的充要條件是__________.

【設(shè)計(jì)意圖】檢測(cè)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律的掌握情況；鞏固學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用及特殊角的三角函數(shù)值的記憶.

課后作業(yè)：教材習(xí)題5.2第1題、第3題、第4題、第5題、第7題、第8題、第9題、第10題.

五、教學(xué)反思

1.基于導(dǎo)向性，承載知識(shí)內(nèi)核

本節(jié)課是學(xué)生探索三角函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的開(kāi)始，需要深化學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解，培養(yǎng)其對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的探究能力，而非單純的理解接受能力.教師在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)的概念出發(fā)，逐步發(fā)現(xiàn)并提出三角函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì).基于此，筆者通過(guò)層層遞進(jìn)的“問(wèn)題串”激發(fā)學(xué)生的探究興趣，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行逐步探究，同時(shí)注重基于一般觀念引導(dǎo)學(xué)生自主提出問(wèn)題，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2.基于生成性，“四能”并重融合

對(duì)于“四能”的培養(yǎng)，要求教師在課堂教學(xué)中關(guān)注一般問(wèn)題的分析與解決，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生生成三角函數(shù)的特性問(wèn)題.本節(jié)課課前回顧中3道題目強(qiáng)調(diào)了單位圓在三角函數(shù)性質(zhì)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的重要性，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”為學(xué)生在本節(jié)課中的具體研究指明方向.需要注意的是，在提出問(wèn)題后，要留給學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)的空間.合理的問(wèn)題設(shè)計(jì)、有效的問(wèn)題解決是學(xué)生問(wèn)題探究能力生成的基礎(chǔ)保障.

3.基于時(shí)代性，促進(jìn)教師成長(zhǎng)

課程改革對(duì)教師在具體教學(xué)過(guò)程中落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)提出了更高的要求，除了要傳授知識(shí)外，更要注重對(duì)學(xué)生適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的思維品質(zhì)與能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)概念教學(xué)對(duì)教師專業(yè)能力的要求較高，不能單純根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的多少來(lái)組織課堂.數(shù)學(xué)概念的抽象性、符號(hào)化、系統(tǒng)性決定了學(xué)習(xí)的難度，需要學(xué)生較高的能力來(lái)支撐.對(duì)此，教師需要不斷探索數(shù)學(xué)概念教學(xué)中蘊(yùn)含的對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)策略.

思維品質(zhì)與能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)要貫穿在日常教學(xué)過(guò)程中.采用“問(wèn)題串”教學(xué)，由淺入深地給學(xué)生提供思維提升的階梯，可以為學(xué)生的自主探究指明方向，從研究方法的高度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題.好的“問(wèn)題串”設(shè)計(jì)對(duì)教師的專業(yè)素養(yǎng)提出了較高要求.因此，“問(wèn)題串”教學(xué)能有效促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)，尤其在數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)中值得推廣.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊文，譚杰中，康健軍，等.基于問(wèn)題串設(shè)計(jì)的概念教學(xué)：以“有理數(shù)的減法”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2021（12）：5-7.

[2]章建躍.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2020（5）：9-16.

[3]威金斯，麥克泰格.追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)[M].閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.