顧予恒

摘要：以數(shù)列和式放縮為主題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“有通項(xiàng)有和—有通項(xiàng)無和—無通項(xiàng)無和”的研究之旅，逐步探尋一類“類等比數(shù)列”的放縮問題.總結(jié)三種常見的基本模型和解決步驟，讓破解數(shù)列和式不等式有規(guī)律可循，真正實(shí)現(xiàn)放縮有術(shù)，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高三復(fù)習(xí)；數(shù)列求和；放縮

一、問題提出

在新高考背景下，高三復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)該由知識本位向思維和素養(yǎng)本位轉(zhuǎn)變.高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)質(zhì)量是決定高三復(fù)習(xí)效果的關(guān)鍵，復(fù)習(xí)課除了要幫助學(xué)生回顧已學(xué)知識，更重要的是要促使學(xué)生升華知識、總結(jié)方法、提升能力、形成思維和發(fā)展素養(yǎng).因此，要以促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)和發(fā)展能力素養(yǎng)為前提進(jìn)行復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì).

微專題復(fù)習(xí)課是高三復(fù)習(xí)課的一種常見形式，其立足學(xué)情，以高考的高頻考點(diǎn)、學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)、學(xué)生能力的增長點(diǎn)及易錯(cuò)點(diǎn)和易混淆點(diǎn)作為教學(xué)內(nèi)容，具有“小切口聚焦，高精準(zhǔn)突破”的特點(diǎn)，是促進(jìn)學(xué)生深度復(fù)習(xí)的重要方式.具體教學(xué)中，貫徹“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”的理念，通過設(shè)置一系列問題串，示以思維之道，引導(dǎo)學(xué)生開展有邏輯的探究與模型建構(gòu)，通過解決問題促進(jìn)學(xué)生對知識和方法的理解，從而真正掌握解決問題的方式和方法，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力，教會學(xué)生自主思考.筆者認(rèn)為，這是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的應(yīng)有之義.

本文結(jié)合高三數(shù)列微專題復(fù)習(xí)課“數(shù)列求和放縮問題”，給出關(guān)于高三微專題復(fù)習(xí)教學(xué)的思考.

二、教學(xué)內(nèi)容解析

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，求和則是數(shù)列部分研究的主要內(nèi)容之一.在近幾年的高考中，也時(shí)有出現(xiàn)將數(shù)列求和與不等式相結(jié)合命制的試題，用放縮法證明數(shù)列不等式則是問題解決的難點(diǎn).因此，選取“數(shù)列求和放縮問題”作為微專題復(fù)習(xí)教學(xué)的主題具有現(xiàn)實(shí)意義.

數(shù)列放縮法靈活多變，需要一定的代數(shù)變形技巧，因此難度較大，不易掌握.但它也有法可依，只要運(yùn)用得當(dāng)，大部分?jǐn)?shù)列不等式問題是可以放縮有術(shù)的.

本節(jié)課中，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起研究數(shù)列問題中幾種常見的放縮類型和放縮方法，破解思維過程，領(lǐng)悟方法的本質(zhì).通過教學(xué)達(dá)到拓寬學(xué)生思維廣度、延展學(xué)生思維深度、提高學(xué)生思維效度、豐富學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)、升華學(xué)生知識體系、滲透數(shù)學(xué)思想方法，以及在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.溫故知新，數(shù)列求和

問題1：數(shù)列研究的主要內(nèi)容有什么？

預(yù)設(shè)：通項(xiàng)與求和是數(shù)列研究的兩大主要內(nèi)容.

問題2：有和就有通項(xiàng)這種說法對嗎？有通項(xiàng)就能求和（確定的和公式）嗎？

問題3：學(xué)習(xí)過的能求出和公式的數(shù)列有哪些？

預(yù)設(shè)：等差數(shù)列（公式法）、等比數(shù)列（公式法）；等差數(shù)列加等比數(shù)列（分組求和法）；等差數(shù)列乘等比數(shù)列（錯(cuò)位相減法）；可以裂項(xiàng)求和的數(shù)列（裂項(xiàng)相消法）.

【設(shè)計(jì)意圖】以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)列求和的相關(guān)知識和方法，為后續(xù)和式放縮作好鋪墊.

【設(shè)計(jì)意圖】以結(jié)構(gòu)不良題型為呈現(xiàn)方式，將幾種求和（放縮）模型融入一道題目中，這種設(shè)計(jì)方式具有一定的新意.考慮到四個(gè)選項(xiàng)的難度有明顯差異，為此給每個(gè)選項(xiàng)配上不同的分值，在提升學(xué)生研究興趣的同時(shí)，讓學(xué)生在解答的過程中體會結(jié)構(gòu)不良型問題的求解對條件的分析與選擇很有講究.

師生活動：由學(xué)生自選任一選項(xiàng)完成對題目的解答，也可以選擇多個(gè)選項(xiàng)分別完成解答，為不同水平的學(xué)生提供多種選擇.

問題4：預(yù)判選擇哪些條件選項(xiàng)容易完成求解？為什么？

預(yù)設(shè)：選項(xiàng)①用公式法，選項(xiàng)②用分組求和法，選項(xiàng)③用錯(cuò)位相減法，都比較容易求解.而選項(xiàng)④似乎沒有現(xiàn)成的求和公式可用，求解難度較大.

6.課堂小結(jié)，畫龍點(diǎn)睛

數(shù)列求和看通項(xiàng)，因此放縮的過程也通常從數(shù)列的通項(xiàng)入手.本節(jié)課中，我們一起經(jīng)歷了“有通項(xiàng)有和—有通項(xiàng)無和—無通項(xiàng)無和”的研究之旅，逐步探尋了“類等比數(shù)列”的和式放縮問題.我們可以感受到在學(xué)習(xí)中有意識地積累、總結(jié)一些常用的放縮模型和放縮方法非常必要.

和式函數(shù)值域放縮：如果由通項(xiàng)可以求得明確的和公式，那么可以基于函數(shù)求值域的視角，對和公式（和函數(shù)）進(jìn)行放縮，實(shí)現(xiàn)從相等關(guān)系到不等關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

通項(xiàng)放縮目標(biāo)求和：如果由通項(xiàng)不易求得明確的和公式，那么可以研究通項(xiàng)，對通項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)放縮，找尋通項(xiàng)的上界或下界目標(biāo)數(shù)列（可求和），從而實(shí)現(xiàn)放縮.在放縮過程中，對通項(xiàng)的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)靠攏，常見的是向等比數(shù)列和可裂項(xiàng)相消的數(shù)列靠攏.

遞推關(guān)系通項(xiàng)放縮：從遞推公式入手，對其進(jìn)行適當(dāng)變形，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，然后通過“累加”或“累乘”實(shí)現(xiàn)一側(cè)為an，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明.

正所謂：求和首要看通項(xiàng)，求出和式能估值；不易求和變通項(xiàng)，放縮目標(biāo)能求和；通項(xiàng)若是也未知，只待遞推來變形；等差等比最基礎(chǔ)，放縮堅(jiān)持回原點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課研究的內(nèi)容，以及探究的過程和其中涉及的方法和思想，并用一首打油詩幫助學(xué)生記憶和鞏固.

四、教學(xué)反思

1.教學(xué)設(shè)計(jì)遵循數(shù)列研究的一般過程

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)牢牢抓住通項(xiàng)與求和這兩個(gè)數(shù)列研究的主要內(nèi)容，以運(yùn)算為一般觀念，引導(dǎo)學(xué)生通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律、通過代數(shù)推理證明規(guī)律，具有鮮明的代數(shù)特點(diǎn).不同放縮模型的研究過程和方法具有相似性，因此在教學(xué)過程中要注重遵循數(shù)列研究的一般方法，從具體到抽象，讓學(xué)生通過類比展開學(xué)習(xí).等比數(shù)列是最基本而有用的一類數(shù)列，為學(xué)生研究其他類型的數(shù)列提供了工具，本節(jié)課特別注重探究內(nèi)容與等比數(shù)列的聯(lián)系和類比，通過代數(shù)變形將其他類型的數(shù)列問題化歸為類等比數(shù)列解決.

2.教學(xué)過程環(huán)環(huán)相扣、富有新意

本節(jié)課貫徹“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”的思想，以問題串和追問的方式將整節(jié)課的探究內(nèi)容整合成一體，由淺入深、環(huán)環(huán)相扣.特別是以結(jié)構(gòu)不良題型的呈現(xiàn)方式，將幾種求和（放縮）模型融入一道例題中，構(gòu)思巧妙且富有新意.在教學(xué)過程中，教師并不是簡單地給題、做題、講題，而是多次巧妙地分階段呈現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)列通項(xiàng)與求和公式之間的關(guān)系，以加深學(xué)生對相等與不等之間聯(lián)系的體會.

3.教學(xué)實(shí)現(xiàn)破題有術(shù)，學(xué)生素養(yǎng)有所提升

本節(jié)課中，總結(jié)了數(shù)列和式放縮的三種常見模型和放縮步驟，使得破解數(shù)列和式不等式問題有規(guī)律可循、有方法可依.通過對數(shù)列和式放縮法的學(xué)習(xí)，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

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