許可雄

摘要：結(jié)構(gòu)不良試題指在條件狀態(tài)、結(jié)論狀態(tài)和解決方法中至少有一個是不明確的問題，具有實踐性、選擇性、開放性和靈活性的特點.利用結(jié)構(gòu)不良試題的具體情境，引導(dǎo)學(xué)生多角度分析、多途徑思考，提出多種解決方案，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性、深刻性、選擇性和發(fā)散性，提高學(xué)生解決實際問題的能力.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)向教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)本質(zhì)；育人功能

基金項目：2021年度福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題——“三單”設(shè)計：“雙減”背景下作業(yè)整體優(yōu)化的實踐研究（MJYKT2021-177）.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）評價體系下高考內(nèi)容改革的一大創(chuàng)新舉措就是要改變試題相對固化的呈現(xiàn)方式，增強試題的開放性和創(chuàng)新性.自2020年高考全國新高考Ⅰ卷和北京卷中出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題以來，近兩年的高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了多道結(jié)構(gòu)不良試題.從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向，結(jié)構(gòu)不良試題符合新高考內(nèi)容改革的重大變化.同時，這一變化對高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義，要求數(shù)學(xué)教學(xué)更重視受教育者未來的思維發(fā)展需求.“引導(dǎo)教學(xué)”是高考評價體系的核心功能之一.結(jié)構(gòu)不良試題具有實踐性、選擇性、開放性和靈活性的特點，是在條件狀態(tài)、結(jié)論狀態(tài)和解決方法中至少有一個是不明確的問題.結(jié)構(gòu)不良試題的解決過程對學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成、素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升具有深遠(yuǎn)意義，能促進(jìn)學(xué)生多角度把握知識本質(zhì)，探索問題背后的價值，有效激發(fā)學(xué)生的求知欲.在課堂教學(xué)過程中，教師利用結(jié)構(gòu)不良試題的具體情境，引導(dǎo)學(xué)生多角度分析、多途徑思考，提出多種解決方案，有利于優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性、深刻性、選擇性和發(fā)散性，提高學(xué)生解決實際問題的能力.本文著重闡述結(jié)構(gòu)不良試題在數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)方面的育人功能.

一、梳理知識，建立數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性指從數(shù)學(xué)知識體系出發(fā)，整合各部分知識的結(jié)構(gòu)和功能，相互聯(lián)系、相互作用，促使人更加精確、綜合、深入地認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué).“單元—課時”教學(xué)設(shè)計的目標(biāo)就是讓知識結(jié)構(gòu)化、思維系統(tǒng)化，追求數(shù)學(xué)的認(rèn)知從“散點”走向“類型”、數(shù)學(xué)的方法從“割裂”走向“聚合”、數(shù)學(xué)的感悟從“斷續(xù)”走向“連續(xù)”、數(shù)學(xué)的理解從“局部”走向“全局”的過程.結(jié)構(gòu)不良試題具有多條件、多選擇、多結(jié)論和多方法的特點，問題的結(jié)構(gòu)從碎片到整體.通過設(shè)計結(jié)構(gòu)不良試題，重新梳理單元知識體系，將數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法重構(gòu)，變換不同的條件得到不同的結(jié)論，讓學(xué)生對單元內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，這是將知識結(jié)構(gòu)化、思維系統(tǒng)化的過程.

例1在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知（）

sinA-sinB2=sin2C-sinAsinB.

（1）求角C；

（2）若，求△ABC的內(nèi)切圓半徑r.

在三個條件①a+b=7；②ab=8；③c=5中任選兩個補充在橫線上并完成答題.

首先，梳理有關(guān)三角形的知識，包括邊、角、三線（中線、高線、角平分線）、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等；其次，整理解三角形的基礎(chǔ)知識，包括內(nèi)角和定理、三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理、面積公式、平面向量等；最后，解三角形就是已知幾個基本元素求出未知元素的過程.這就是結(jié)構(gòu)化解三角形知識的梳理過程.

二、揭示本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)思維的深刻性

當(dāng)下，有些課堂中仍然存在“教師反復(fù)講，學(xué)生雖然聽得懂，但是做題時找不到解題思路”的現(xiàn)象.這種現(xiàn)象存在的根源是教師沒有講清楚知識的本質(zhì).這就要求教師在平時的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生把基本的數(shù)學(xué)概念融會貫通，要透過現(xiàn)象看清數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，弄清數(shù)學(xué)對象之間的聯(lián)系，這是思維深刻性的體現(xiàn).思維的深刻性指思維活動的深度和難易程度，也指思維活動的抽象程度和邏輯層次.如果教師在新授課中把大量的時間和精力花費在單純的解題訓(xùn)練上，那么培養(yǎng)出來的學(xué)生就成了“做題機器”，其認(rèn)知能力會存在極大的局限性，無法真正領(lǐng)會數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和解題方法，也將無法應(yīng)對新高考中出現(xiàn)的新情境.結(jié)構(gòu)不良試題的解答，需要在厘清所給條件的本質(zhì)意義后，綜合比較幾個條件的功能與作用，從而更加合理地進(jìn)行探究和推理，突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻性.

從一個具體的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視知識的形成過程，把題目結(jié)論設(shè)置為遞進(jìn)開放的形式，引導(dǎo)學(xué)生通過類比、化歸、抽象、提升等方法，厘清數(shù)學(xué)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系，真正理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的同時，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性.

三、設(shè)置情境，提供數(shù)學(xué)思維的選擇性

思維的選擇性指人的大腦根據(jù)自己的思考，對需要解決的某一事物或現(xiàn)象所作的選擇.數(shù)學(xué)思維的選擇性指對數(shù)學(xué)問題的解決選擇最優(yōu)化的路徑和方法，學(xué)生要根據(jù)問題所提供的信息進(jìn)行分析、加工和綜合.實際上，面對較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，在進(jìn)行思維和判斷的過程中，一些學(xué)生未能選擇最簡單、正確的路徑，主要原因在于對數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵的理解不夠深入，對數(shù)學(xué)思維策略的掌握不夠熟練，進(jìn)而導(dǎo)致“選擇緊張”和“選擇焦慮”.結(jié)構(gòu)不良試題通常設(shè)置多種情境，可以給學(xué)生提供多種選擇，既能夠反映學(xué)生對問題的多角度思考，又可以顯示不同學(xué)生的數(shù)學(xué)思維智慧.選擇不同的條件會有不同的求解途徑，具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)，給不同知識儲備的學(xué)生以更多選擇.

例3在①tanB=2tanC；②3b2-a2=12；③bcosC= 2ccosB中任選一個補充在橫線上，并完成解答.

問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C及其對邊a，b，c，若c=2，且滿足___________，求△ABC面積的最大值.

也就是說，條件①②③實際上是等價的，無論選擇哪個條件，求得的△ABC面積的最大值都是一樣的.通過這樣的邏輯推理和等價轉(zhuǎn)化，可以對數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵產(chǎn)生比較深入的理解，有助于后續(xù)解題方法的選擇.在做出選擇之前，需要站在不同角度對每個選項進(jìn)行初步推理，進(jìn)而比較每個路徑的運算量，以及自己對解題路徑的熟悉程度等，最終選擇最有把握且高效的選項進(jìn)行解題.這道題目的解法有很多種，筆者從中選擇三個視角進(jìn)行比較分析.

解法1：選擇條件①.

由tanB=2tanC，可知角B與角C均為銳角.

如圖1，過點A作BC的垂線，垂足為點D，則點D一定在線段BC上.

【評析】解法1側(cè)重幾何視角. tanB= 2tanC中只涉及角，由式子可以考慮正切化弦或構(gòu)造直角三角形.此解法借助幾何圖形，通過tanB=2tanC構(gòu)造直角三角形，將代數(shù)條件（三角函數(shù)）轉(zhuǎn)化為幾何圖形，實現(xiàn)由數(shù)思形、以數(shù)構(gòu)形，不僅簡化了運算，而且凸顯了問題的本質(zhì)，即斜邊為定值的直角三角形，當(dāng)兩條直角邊相等時面積取最大值.

【評析】解法3側(cè)重數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)用視角. bcosC= 2ccosB中既有角又有邊，由式子聯(lián)想到用余弦定理實現(xiàn)角化邊，或用正弦定理實現(xiàn)邊化角，進(jìn)而可以用類似選擇條件①或條件②對應(yīng)的解法解題.但運用射影定理，利用式子的特殊性能讓解題過程更加簡潔，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新性和多樣性.

《中國高考評價體系》要求從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變，考查情境從學(xué)科知識化逐漸過渡到真實情境化.結(jié)構(gòu)不良試題往往會呈現(xiàn)出多種情境，迫使學(xué)生從不同角度思考問題的多種可能，這就要求教師在平時的教學(xué)中設(shè)置更加多樣化且更開放的問題情境，以更好地實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.

四、開放問題，培育數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性

結(jié)構(gòu)不良試題的主要功能在于訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的自主性，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時創(chuàng)新、創(chuàng)造.命制數(shù)學(xué)題目，需要學(xué)生既懂得相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，又能夠創(chuàng)造性地提出有意義且數(shù)學(xué)思維層次較高的數(shù)學(xué)問題，以真正體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在設(shè)計結(jié)構(gòu)不良試題時，可以將問題的條件或結(jié)論進(jìn)一步開放，為解決問題提供多種可能，添加或變換不同的條件探索論證思路，并能將論證過程用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述出來，發(fā)揮學(xué)生思維的自主性.從命題角度來看，可以在對結(jié)構(gòu)良好問題求解的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)不良試題，為學(xué)生提出新想法、新解法、新結(jié)論和新思維打開新的空間.這種問題既與所學(xué)知識有較強的聯(lián)系，又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，這種問題情境有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.

例4如圖2，AC為圓O的直徑，B為圓周上不與點A，C重合的點，PA垂直于圓O所在的平面，AN⊥PB于點N，AS⊥PC于點S，連接SN .

（1）證明：平面ANS⊥平面PBC .

（2）若圓O的半徑為1，∠PCA=45°，試提出一個有關(guān)“異面直線所成角或直線與平面所成角或二面角”的問題，并寫出解答過程.

學(xué)生可以提出許多有意義的問題，舉例如下.

（1）若∠ACB=30°，求PB與AC所成角的余弦值.

（2）若∠ACB=45°，求PC與AB所成角的余弦值.

（3）若∠ACB=30°，求PB與平面PAC所成角的正弦值.

（4）設(shè)B為圓上任意一點，PB與平面PAC所成角為θ，求sinθ的最大值.

（5）若∠ACB=30°，求二面角A-PC-B的正弦值.

（6）若∠ACB=30°，求平面ASN與平面PAB所成二面角的余弦值.

設(shè)計一道有意義的數(shù)學(xué)問題，增強學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識，鍛煉學(xué)生獨立思考的數(shù)學(xué)思維能力，變被動接受為主動探索，使學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)新能力得到發(fā)展，這比教師直接給出一道固定的題目更有教育意義.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教育要促進(jìn)學(xué)生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.結(jié)構(gòu)不良試題嘗試將數(shù)學(xué)知識和現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，使學(xué)生認(rèn)識到高考數(shù)學(xué)不僅要求知識和能力，更關(guān)注如何解決現(xiàn)實生活中無處不在的結(jié)構(gòu)不良試題，引導(dǎo)學(xué)生從知識的習(xí)得與記憶轉(zhuǎn)向解決問題、選擇策略，從而真正實現(xiàn)思維層面的優(yōu)化.在平時的教學(xué)中，教師可以滲透一些結(jié)構(gòu)不良試題，采用開放、互動的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)問題情境的變化.在設(shè)計結(jié)構(gòu)不良試題時，要兼顧開放性和公平性，形式不能固化，在問題條件數(shù)據(jù)缺失或冗余、問題目標(biāo)界定不明確、具有多種評價解決方法等特征上深入研究，更好地發(fā)揮結(jié)構(gòu)不良試題的育人功能.

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