祝峰

摘要：基于把握本質(zhì)、設(shè)置情境、提出問題、思考交流的單元整體視角，嘗試以章起始課“生活中的變量關(guān)系”為例，開發(fā)符合學(xué)生認(rèn)知，有助于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可借鑒、能復(fù)制的課堂教學(xué)案例，使高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更貼近新課程理念的應(yīng)然狀態(tài).

關(guān)鍵詞：創(chuàng)設(shè)情境；問題引領(lǐng)；生活中的變量關(guān)系

基金項(xiàng)目：“安徽省電化教育館”2022年度安徽省教育信息技術(shù)研究課題——TPACK視角下提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的實(shí)踐研究（AH2022045）.

“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）所倡導(dǎo)的課程基本理念之一.《標(biāo)準(zhǔn)》建議高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì).這一理念下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，把握本質(zhì)是原則，情境、問題是載體，思考、交流是手段，素養(yǎng)發(fā)展是目的.從背景來看，情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境；從認(rèn)知挑戰(zhàn)性來看，每種情境又包括熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境和綜合的情境.對(duì)于問題，最基本的應(yīng)該是蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)概念、原理和思想方法的問題，它們的解決能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)原理的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)思想的形成；更多的則是需要運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、原理加以解決的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題，在解決過程中能夠有效鞏固“四基”，提升“四能”.同時(shí)，還應(yīng)該包括指向和服務(wù)于數(shù)學(xué)問題解決的元認(rèn)知問題，以自我暗示的形式幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)自我認(rèn)知活動(dòng)的自我調(diào)節(jié)和自我監(jiān)控.把握本質(zhì)、設(shè)置情境、提出問題、思考交流，是區(qū)別“素養(yǎng)為本”的數(shù)學(xué)教學(xué)和“知識(shí)為本”的數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)有效視角.

對(duì)于一線教師來說，充分理解《標(biāo)準(zhǔn)》和教材，設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境，提出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)問題是極具挑戰(zhàn)性的，當(dāng)然這也為教師的實(shí)踐創(chuàng)新提供了一個(gè)廣闊的平臺(tái).教師應(yīng)該不斷學(xué)習(xí)、探索、研究、實(shí)踐，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，了解數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，努力開發(fā)出符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可借鑒、能復(fù)制的教學(xué)案例，使課堂教學(xué)更靠近新課程理念的應(yīng)然狀態(tài).

下文呈現(xiàn)北師大版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“函數(shù)”，章起始課“生活中的變量關(guān)系”（第1課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì)，以期為素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供一個(gè)鮮活的教學(xué)案例.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本教學(xué)設(shè)計(jì)把“生活中的變量關(guān)系”“函數(shù)概念”“函數(shù)的表示法”三節(jié)劃分為本章的第一單元.內(nèi)容包括：“對(duì)應(yīng)說”的函數(shù)概念；函數(shù)的三要素（定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系）；函數(shù)的表示法（解析法、圖象法、表格法）；分段函數(shù)的概念及其表示.

本單元內(nèi)容需要3個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，分別是生活中的變量關(guān)系、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法.這里只給出第1課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì).

2.內(nèi)容解析

函數(shù)概念產(chǎn)生的背景和生成過程.函數(shù)的形式化概念的產(chǎn)生背景有三：一是生活中變量間的依賴關(guān)系；二是初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)的描述性定義；三是預(yù)備知識(shí)中的集合語言.函數(shù)概念的生成大致經(jīng)歷了一系列的過程和階段：變量的依賴關(guān)系；“變量說”的函數(shù)概念；“變量說”概念的局限性；利用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系語言刻畫具體函數(shù)；去除背景；獲得一般意義上函數(shù)的“對(duì)應(yīng)說”概念；函數(shù)的三要素；函數(shù)的常用表示法；等等.

函數(shù)概念的構(gòu)建要經(jīng)歷歸納、抽象概括、符號(hào)表示、反思構(gòu)建等過程.從對(duì)應(yīng)關(guān)系視角觀察、研究事物的運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律是重要的思想方法.三種表示法之間的轉(zhuǎn)化則滲透著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，分段函數(shù)則伴隨著分類討論思想.在完整的函數(shù)概念基礎(chǔ)上構(gòu)建函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)聯(lián)，則集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的整體性思想.

函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系，即單射.學(xué)科方面，從初中階段的描述性定義到高中階段的形式化定義，特別是符號(hào)f（ ） x的引入，使得嚴(yán)格刻畫函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性等）具備了可能，擴(kuò)大了函數(shù)研究的范圍，改變了函數(shù)的研究方法.育人方面，對(duì)于函數(shù)的形式化概念，無論是構(gòu)建還是應(yīng)用過程都更有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

3.教學(xué)重點(diǎn)

在大量的問題情境中，結(jié)合變量間的依賴關(guān)系和函數(shù)“變量說”的概念，概括函數(shù)的本質(zhì)要素，用集合語言刻畫函數(shù)的“對(duì)應(yīng)說”概念，并能用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.單元目標(biāo)

（1）在初中階段用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.

（2）在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.

（3）通過具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志如下.

（1）能用集合語言與對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，能說出定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域的含義和作用，能求出簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.

（2）能用例子（如圖象、表格、解析式等）說明抽象符號(hào)f的意義，能根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎揪唧w函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；在具有明確函數(shù)關(guān)系的實(shí)際問題中，能選用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，并能用于解釋實(shí)際意義.

（3）會(huì)用具體例子說明分段函數(shù)的含義，能用分段函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，刻畫簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的變化規(guī)律.

三、教學(xué)問題診斷

1.問題診斷

在本單元的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生有可能會(huì)在下述節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難.

（1）“變量說”函數(shù)概念基于變量的依賴關(guān)系，強(qiáng)調(diào)用函數(shù)描述一個(gè)變化過程，不強(qiáng)調(diào)變量的取值范圍，學(xué)生對(duì)函數(shù)定義域重要性的認(rèn)識(shí)不足.在本單元教學(xué)中，從“生活中的變量關(guān)系”（第1課時(shí)）開始，就應(yīng)該通過恰當(dāng)?shù)睦幼寣W(xué)生感受到確定自變量范圍的重要性.

（3）在預(yù)備知識(shí)中曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)，集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，可以幫助我們比較精確地、清晰地刻畫研究對(duì)象.用集合語言描述函數(shù)的“對(duì)應(yīng)說”概念學(xué)生第一次遇到，這是函數(shù)概念學(xué)習(xí)的第三個(gè)難點(diǎn).教學(xué)中可以采取“結(jié)合實(shí)例，教師示范，學(xué)生模仿并應(yīng)用”的方式予以突破.

（6）在分段函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)質(zhì)疑其到底是一個(gè)函數(shù)還是多個(gè)函數(shù)組合在一起.可以結(jié)合北師大版教材中的階梯電價(jià)、個(gè)人所得稅、出租車計(jì)費(fèi)等具體問題幫助學(xué)生理解分段函數(shù)刻畫的是一個(gè)完整的變量關(guān)系和規(guī)律，只是在不同定義域上的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同.

2.教學(xué)難點(diǎn)

函數(shù)概念的抽象，符號(hào)“y=f（ ） x，x∈A”的理解，對(duì)應(yīng)關(guān)系的表達(dá)形式與本質(zhì)的理解，選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉坍嬀唧w情境中的函數(shù)關(guān)系，分段函數(shù).

四、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

1.課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

生活中變量間的依賴關(guān)系，“變量說”函數(shù)概念在具體情境中的應(yīng)用，用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系語言描述具體的函數(shù)，分段函數(shù).

2.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

（1）了解本章的主要內(nèi)容和意義，知道本章內(nèi)容大致的研究思路.

（2）結(jié)合“變量說”函數(shù)概念，能從生活中具有依賴關(guān)系的變量中發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系.

（3）結(jié)合實(shí)例，在具體情境中發(fā)現(xiàn)函數(shù)“變量說”概念的局限性，能通過模仿用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系更清晰、準(zhǔn)確地描述函數(shù).

（4）能用具體的實(shí)例說明分段函數(shù)是刻畫變量關(guān)系的一個(gè)完整函數(shù).

3.課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn).

從生活中變量間的依賴關(guān)系中抽象出函數(shù)關(guān)系，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述具體函數(shù).

（2）教學(xué)難點(diǎn).

用集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)時(shí)，集合B的特點(diǎn)；分段函數(shù)的意義.

4.課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：大概念統(tǒng)領(lǐng)下的章結(jié)構(gòu)展望.

引導(dǎo)語：同學(xué)們對(duì)“函數(shù)”并不陌生，初中階段我們學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，并研究了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù).德國著名數(shù)學(xué)家克萊因（Christian Fe？ lix Klein，1849—1925）有這樣一句名言：函數(shù)的概念應(yīng)該成為數(shù)學(xué)思維的心臟和靈魂，滲透到數(shù)學(xué)課程的每一個(gè)部分.函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念之一，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要作用.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線之一.今天我們將開始第二章“函數(shù)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步探索函數(shù)的奧妙及威力.

問題1：現(xiàn)實(shí)世界中充滿著變量，一些變量之間存在著依賴關(guān)系.例如，北京時(shí)間2022年5月10日01時(shí)56分，搭載天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙五運(yùn)載火箭，在我國文昌航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火發(fā)射.在發(fā)射過程中，天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船與發(fā)射點(diǎn)間的距離與時(shí)間之間存在著依賴關(guān)系；2008年以來，我國高鐵運(yùn)營里程與年份存在著依賴關(guān)系.閱讀本章的章引言，想象章頭圖中展示的現(xiàn)實(shí)情境，回答下列問題.

（1）函數(shù)是揭示什么的概念？在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，函數(shù)處于怎樣的地位？

（2）函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著怎樣的地位？

（3）本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)是在什么基礎(chǔ)上展開的？要以何種觀點(diǎn)進(jìn)行研究？

（4）本章主要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？有何意義？

師生活動(dòng)：學(xué)生仔細(xì)閱讀章引言，觀察章頭圖，形成對(duì)上述問題的初步認(rèn)識(shí)后，與同伴交流對(duì)上述問題的理解.

教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：（1）函數(shù)是揭示變量間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)概念，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要作用；（2）函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一，貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終；（3）本章將在初中階段函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，以集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)研究函數(shù)；（4）在新的觀點(diǎn)下，本章將加深對(duì)函數(shù)概念的理解，形成完整的認(rèn)識(shí)，并通過具體實(shí)例，討論一般函數(shù)的表示法和基本性質(zhì)，為整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課是章起始課，問題1本著系統(tǒng)思維和整體觀念，提綱挈領(lǐng)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容有一個(gè)“預(yù)覽”.在“函數(shù)”這一大概念的統(tǒng)領(lǐng)下，通過問題引領(lǐng)，借助章引言及章頭圖，遵循統(tǒng)領(lǐng)性、整體性、邏輯性、發(fā)展性、溫故性、激趣性原則，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的本質(zhì)、函數(shù)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位，以及學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個(gè)梗概性的了解.

環(huán)節(jié)2：在現(xiàn)實(shí)情境中感受變量間的依賴關(guān)系.

情境1：圖1是某高速公路加油站的圖片，加油站在地下常用圓柱體儲(chǔ)油罐儲(chǔ)存汽油等燃料.假設(shè)儲(chǔ)油罐的長(zhǎng)度為d、截面半徑為r、油面的高度為h、油面的寬度為ω、儲(chǔ)油量為V .

問題2：（1）上述五個(gè)量中，哪些是常量？哪些是變量？

（2）變量之間有關(guān)系嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)情境后，自主發(fā)現(xiàn)d，r是常量，h，ω，V是變量，同時(shí)發(fā)現(xiàn)V隨著h和ω的變化而變化.教師明確數(shù)學(xué)中稱V與h之間存在依賴關(guān)系，V與ω之間也存在依賴關(guān)系.

追問：（1）h與ω之間存在依賴關(guān)系嗎？

（2）每取一個(gè)h的值，有幾個(gè)V的值與之對(duì)應(yīng)？每取一個(gè)ω的值，又有幾個(gè)V的值與之對(duì)應(yīng)？

師生活動(dòng)：在問題的引領(lǐng)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)于每一個(gè)h都有唯一確定的V與之對(duì)應(yīng).對(duì)于每一個(gè)ω有時(shí)有兩個(gè)確定的V與之對(duì)應(yīng)，有時(shí)有唯一確定的V與之對(duì)應(yīng).

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生體會(huì)變量之間的依賴關(guān)系.這里只讓學(xué)生體會(huì)到這些變量之間存在依賴關(guān)系即可，不必建立變量之間的關(guān)系式，進(jìn)一步讓學(xué)生感受這些依賴關(guān)系是“一對(duì)一”的還是“一對(duì)多”的.

情境2：自京津城際列車開通運(yùn)營以來，高速鐵路在中國大陸迅猛發(fā)展，和諧號(hào)、復(fù)興號(hào)等已經(jīng)成為一張亮麗的中國名片.截至2017年年底，中國高鐵運(yùn)營里程突破25000km.現(xiàn)在正建設(shè)以八橫八縱為骨架的高速鐵路網(wǎng).圖2表示的是中國高鐵年運(yùn)營里程的變化.

問題3：（1）你能從圖2中找到存在依賴關(guān)系的變量嗎？

（2）你還能從圖2中發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？

師生活動(dòng)：學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的變化高鐵的年運(yùn)營里程在變化，它與年份間存在著依賴關(guān)系.通過觀察圖形也能發(fā)現(xiàn)，從2008年到2017年，高鐵的年運(yùn)營里程是不斷增加的，且2014年相較于前一年增長(zhǎng)最多.學(xué)生可能還會(huì)發(fā)現(xiàn)其他現(xiàn)象，只要符合事實(shí)，教師均給予鼓勵(lì).

追問：（1）2008年到2017年的每個(gè)年份，對(duì)應(yīng)幾個(gè)年運(yùn)營里程？

（2）從圖2中，你能發(fā)現(xiàn)2021年我國高鐵的年運(yùn)營里程嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每個(gè)年份對(duì)應(yīng)唯一確定的年運(yùn)營里程.從圖2中無法得到2021年我國高鐵的年運(yùn)營里程，因?yàn)閳D2只提供了2008年到2017年的高鐵年運(yùn)營里程.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)變量間的依賴關(guān)系，感受我國高鐵的快速發(fā)展.通過問題引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變量依賴關(guān)系中的對(duì)應(yīng)方法.讓學(xué)生體會(huì)研究變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)明確變量取值范圍的必要性.

環(huán)節(jié)3：用“變量說”理解變量間的依賴關(guān)系.

問題4：在初中階段，我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，你還能說出來嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生回憶并說出函數(shù)的概念：如果在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的一個(gè)函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.

追問1：依照這個(gè)概念，在現(xiàn)實(shí)生活中如何確定兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系？

追問2：情境1中，V是關(guān)于h的函數(shù)嗎？V是關(guān)于ω的函數(shù)嗎？情境2中，高鐵的年運(yùn)營里程是關(guān)于年份的函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)，確定兩個(gè)變量間是否具有函數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要看兩個(gè)變量間是否存在依賴關(guān)系，進(jìn)而需要判斷“對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y是否都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)”.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系，但函數(shù)關(guān)系一定是依賴關(guān)系.研究函數(shù)關(guān)系時(shí)，通常要指明自變量和因變量，因?yàn)閮烧呓粨Q位置后不一定還存在函數(shù)關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】直觀的自然語言、符號(hào)語言和公理化語言表示是中學(xué)概念的三種表示方式，用簡(jiǎn)明、直觀的自然語言對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性進(jìn)行描述的定義方式稱為數(shù)學(xué)概念的描述性定義.從定義內(nèi)容看，初中的描述性定義是基于變量的依賴關(guān)系，強(qiáng)調(diào)的是用函數(shù)描述一個(gè)變化的過程.我們稱因變量y是自變量x的函數(shù)，學(xué)生的基本認(rèn)識(shí)是與自變量對(duì)應(yīng)的“數(shù)值”就是函數(shù).本環(huán)節(jié)通過問題引領(lǐng)，讓學(xué)生感受兩個(gè)變量間這種“一對(duì)一”的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是函數(shù)的本質(zhì)特征.

環(huán)節(jié)4：感悟“變量說”的局限性，初識(shí)“對(duì)應(yīng)說”的話語方式.

情境3：圖3中的彈簧的伸長(zhǎng)量x（單位：cm）與彈力y（單位：N）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx，其中k是勁度系數(shù).

問題5：借助物理學(xué)知識(shí)，能用函數(shù)的概念解釋一下為什么彈力y是關(guān)于彈簧的伸長(zhǎng)量x的函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)于變量“伸長(zhǎng)量”的每一個(gè)值，變量“彈力”都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以彈力y是關(guān)于彈簧的伸長(zhǎng)量x的函數(shù).

追問1：若k=5，則y=5x，我們能確定x為15 cm時(shí)，y為75 N嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)不一定，因?yàn)閺那榫持袩o法確定x為15 cm是否在彈簧的彈性限度內(nèi).教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在論及兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，指明變量取值范圍非常重要.

【設(shè)計(jì)意圖】“變量說”強(qiáng)調(diào)變化過程中的依賴關(guān)系與對(duì)應(yīng)方式，沒有強(qiáng)調(diào)自變量的取值范圍.結(jié)合北師大版教材中提供的科學(xué)情境，通過恰當(dāng)設(shè)置問題，讓學(xué)生感受確定自變量取值范圍的必要性和重要性.并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合是刻畫范圍問題最好的語言，進(jìn)而教師示范、學(xué)生感受用集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系描述具體情境中兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系的方式.

問題6：某種筆記本每本5元，超市規(guī)定一名學(xué)生一次購買筆記本的數(shù)量不超過10本.小明準(zhǔn)備去超市購買該種筆記本，你認(rèn)為該怎樣確定小明的購買金額？購買金額y是關(guān)于購買數(shù)量x的函數(shù)嗎？

追問1：能用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系更精確地刻畫這一函數(shù)嗎？

追問2：?jiǎn)栴}5和問題6中的函數(shù)具有相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，你認(rèn)為它們是同一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論后發(fā)表自己的看法.部分學(xué)生認(rèn)為它們不是同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)樽兓^程和變化背景不一樣；也有部分學(xué)生認(rèn)為它們是同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系一樣.教師引導(dǎo)學(xué)生從集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系的視角判斷兩個(gè)函數(shù)的異同.學(xué)生感悟到雖然兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)方式相同，但是兩個(gè)函數(shù)分別建立在不同的集合上，所以不是同一個(gè)函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】借助問題5和問題6，讓學(xué)生嘗試用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)，并進(jìn)一步感受利用集合和對(duì)應(yīng)語言能夠更精確地描述函數(shù)，為第2課時(shí)學(xué)習(xí)函數(shù)的“對(duì)應(yīng)說”概念提供認(rèn)知基礎(chǔ).同時(shí)，讓學(xué)生初步感受兩個(gè)函數(shù)相等的判斷方法，為第2課時(shí)學(xué)習(xí)函數(shù)相等的概念提供認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).

追問：能用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系精確刻畫上述函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生書寫并表述，教師規(guī)范用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)的表達(dá)形式.

【設(shè)計(jì)意圖】在具體情境中，進(jìn)一步讓學(xué)生感受用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)潔性，提升學(xué)生的表達(dá)能力.同時(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用表格來表述.

環(huán)節(jié)5：在具體情境中發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系，提升用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)的能力.

情境4：表1記錄了不同氣壓下水的沸點(diǎn).

問題7：變量“沸點(diǎn)”與變量“氣壓”間存在依賴關(guān)系，“沸點(diǎn)”是關(guān)于“氣壓”的函數(shù)嗎？

追問：能用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系精確刻畫上述函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生書寫并表述，教師規(guī)范用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)的表達(dá)形式.

【設(shè)計(jì)意圖】在具體情境中，進(jìn)一步讓學(xué)生感受用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)潔性，提升學(xué)生的表達(dá)能力.同時(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用表格來表述.

情境5：綠化可以改變環(huán)境氣候.某市有兩個(gè)氣溫觀測(cè)點(diǎn)，觀測(cè)點(diǎn)甲的綠化情況優(yōu)于觀測(cè)點(diǎn)乙.圖4是這兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)某一天觀測(cè)到的氣溫曲線.為了方便比較，將兩條曲線畫在同一平面直角坐標(biāo)系中.

問題8：甲、乙兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到的“氣溫”與“時(shí)間”之間存在依賴關(guān)系.兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到的“氣溫”分別是關(guān)于“時(shí)間”的函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考并討論后發(fā)現(xiàn)兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到的“氣溫”與“時(shí)間”之間均存在函數(shù)關(guān)系.

問題9：對(duì)比情境3、情境4和情境5中的四個(gè)函數(shù)，回答下列問題.

（1）這些函數(shù)所處的背景各異，但是均可以用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系的話語方式表示，用這種話語方式表述函數(shù)有幾個(gè)關(guān)鍵要素？

（2）四個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系各異，在具體情境中是怎樣表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，深入討論后發(fā)表自己的看法，教師總結(jié).

教師總結(jié)：去除各自的具體背景后發(fā)現(xiàn)，用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系的話語方式表述函數(shù)時(shí)，必須有兩個(gè)明確的數(shù)集和一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.有的對(duì)應(yīng)關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式確定，有的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表格呈現(xiàn)，還有的對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖象表示，但必須保證集合A中的任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng).同時(shí)，要注意到集合B不是唯一的.

【設(shè)計(jì)意圖】綜合四個(gè)具體的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系是構(gòu)成函數(shù)的關(guān)鍵，對(duì)應(yīng)關(guān)系可以有多種表述方式，集合B具有不唯一性.這個(gè)環(huán)節(jié)為第2課時(shí)函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素、函數(shù)相等及第3課時(shí)函數(shù)的表示法的教學(xué)作素材和認(rèn)知上的充分準(zhǔn)備.整個(gè)活動(dòng)過程有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

環(huán)節(jié)6：在具體的生活情境中了解分段函數(shù)的意義.

（3）對(duì)于變量“用電量x”的每一個(gè)值，變量“應(yīng)繳電費(fèi)y”都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，應(yīng)繳電費(fèi)y是用電量x的函數(shù)，你認(rèn)為這是幾個(gè)函數(shù)？

師生活動(dòng)：對(duì)于第（1）小題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)電價(jià)有三種，分別為0.488 3元、0.538 3元和0.788 3元.

對(duì)于第（3）小題，學(xué)生提出不同意見.有的學(xué)生認(rèn)為是一個(gè)函數(shù)，有的學(xué)生認(rèn)為是三個(gè)函數(shù).教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的“變量說”概念視角思考問題：這是幾個(gè)變化過程？符合兩個(gè)變量x和y嗎？符合對(duì)于變量x的每一個(gè)值變量y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)嗎？學(xué)生在這樣的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)函數(shù)，刻畫了一個(gè)完整的變量關(guān)系和規(guī)律，只是變量在不同取值范圍內(nèi)有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師說明，形如上述的函數(shù)，一般叫作分段函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】在實(shí)際生活情境中，用問題引領(lǐng)學(xué)生了解引入分段函數(shù)的必要性，并感受分段函數(shù)在實(shí)際問題中的作用和意義.

追問1：能用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述這一函數(shù)嗎？

追問2：集合B5唯一嗎？還能取什么？你能作出此函數(shù)的圖象嗎？

師生活動(dòng)：結(jié)合前述數(shù)集B的特征，學(xué)生發(fā)現(xiàn)B5并不唯一，還可以取R等不同數(shù)集.同時(shí)，學(xué)生自主完成如圖5所示的函數(shù)圖象.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)分段函數(shù)的理解是本單元教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).這是學(xué)生第一次遇到此類函數(shù).通過情境與問題啟發(fā)學(xué)生從函數(shù)的“變量說”定義出發(fā)，領(lǐng)悟到分段函數(shù)是一個(gè)完整的函數(shù)，進(jìn)而再用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述這個(gè)函數(shù)，加深學(xué)生對(duì)分段函數(shù)是一個(gè)完整函數(shù)的理解.最后讓學(xué)生自己動(dòng)手作出分段函數(shù)的圖象，從直觀角度再次深化對(duì)分段函數(shù)整體性的認(rèn)識(shí).

環(huán)節(jié)7：課堂小結(jié).

帶著下述問題回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程.

（1）本章的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么？主要采用何種觀點(diǎn)學(xué)習(xí)？

（2）生活中變量間的依賴關(guān)系和變量間的函數(shù)關(guān)系有何區(qū)別與聯(lián)系？

（3）“變量說”的函數(shù)概念在描述兩個(gè)具有依賴關(guān)系的變量是函數(shù)關(guān)系時(shí)有何局限性？怎樣進(jìn)行更準(zhǔn)確、更簡(jiǎn)潔的描述？

（4）函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系有何特征？在學(xué)習(xí)過程中，你遇到了幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方式？用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)時(shí)，集合B唯一嗎？

（5）分段函數(shù)是幾個(gè)函數(shù)的組合嗎？試想如果沒有分段函數(shù)，能表述清楚情境6中兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系嗎？

師生活動(dòng)：結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，讓學(xué)生自主表達(dá)對(duì)上述問題的認(rèn)識(shí)，教師適時(shí)給予正面、積極的評(píng)價(jià)并規(guī)范表達(dá)方式.

【設(shè)計(jì)意圖】教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”靠問題連接.借助問題，轉(zhuǎn)教師總結(jié)為學(xué)生總結(jié)、轉(zhuǎn)直接傳授為引導(dǎo)、轉(zhuǎn)明示為暗示，收獲“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”的效果.

五、教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1.基于內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律創(chuàng)設(shè)情境與問題

在課堂教學(xué)中，只有基于學(xué)習(xí)內(nèi)容的學(xué)科本質(zhì)創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和需求、指向明確、內(nèi)涵確切的情境和問題，才能促使學(xué)生進(jìn)行高水平的探究活動(dòng).函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心概念之一，更是貫穿初、高中數(shù)學(xué)的一條主線.函數(shù)概念的抽象性和復(fù)雜性決定了其是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最難教和最難學(xué)的概念之一.這使得本節(jié)課問題和情境的設(shè)置極具挑戰(zhàn)性.北師大版教材為教師的教學(xué)指引了明確的方向.在尊重教材、尊重學(xué)生對(duì)“變量說”函數(shù)概念初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合生活情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境中變量之間的依賴關(guān)系提出問題，引導(dǎo)學(xué)生在問題中重新審視“變量說”的函數(shù)概念，是本課時(shí)教學(xué)情境和問題設(shè)置的基本方向.

在本節(jié)課的教學(xué)過程中，教師共創(chuàng)設(shè)6個(gè)情境、10個(gè)問題及相關(guān)追問.這些情境和問題環(huán)環(huán)相扣、依次遞進(jìn)，以學(xué)生認(rèn)知沖突和需求為線索，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，形成一系列循序漸進(jìn)、具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的情境和問題串，助力學(xué)生認(rèn)識(shí)變量之間的依賴關(guān)系，在深化對(duì)函數(shù)“變量說”概念的理解的同時(shí)，也為下一課時(shí)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念及后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的表示法作了充分的準(zhǔn)備.情境1以儲(chǔ)油罐中的相關(guān)量為研究對(duì)象，讓學(xué)生感受生活中的變量間的依賴關(guān)系，并從數(shù)學(xué)視角探討對(duì)應(yīng)的方法是“一對(duì)一”還是“一對(duì)多”.情境2以我國高鐵年運(yùn)營里程變化為背景，激活學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)過的“變量說”函數(shù)概念.并從這個(gè)概念出發(fā)，幫助學(xué)生理解生活中的變量關(guān)系.情境3讓學(xué)生感受到“變量說”函數(shù)概念在描述生活中變量間的特殊依賴關(guān)系時(shí)存在局限性，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需求，并引導(dǎo)學(xué)生嘗試用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系的話語方式描述相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系.情境4和情境5讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉用集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)的方法，展示列表、圖象表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的實(shí)例，在讓學(xué)生感受到函數(shù)表示方法的多樣性的同時(shí)，為在后續(xù)課程中抽象出符號(hào)f（x）作充分的認(rèn)知準(zhǔn)備.

2.引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行多樣化的學(xué)習(xí)活動(dòng)，促進(jìn)教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的改革

《標(biāo)準(zhǔn)》建議教師把教學(xué)活動(dòng)的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)上，積極探索有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化的教學(xué)方式.不僅限于講授和練習(xí)，也包括引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流等.因?yàn)閷W(xué)生在初中階段已經(jīng)獲得了函數(shù)“變量說”概念的內(nèi)涵，并掌握了研究諸如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的知識(shí)和技能.因此，本教學(xué)設(shè)計(jì)在每個(gè)問題之后，都注重讓學(xué)生先獨(dú)立思考再展開小組合作交流，然后教師在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、歸納和總結(jié).在具體活動(dòng)中，既有師生之間的交流和互動(dòng)，又有生生之間的問答；既有閱讀自學(xué)，學(xué)生陳述、板演、小結(jié)，又有教師的點(diǎn)撥與概括.多樣化的活動(dòng)形式使得學(xué)生能夠充分參與到課堂教學(xué)中，真正成為學(xué)習(xí)的主人.

教學(xué)方式改革是育人方式改革的具體化，只有充分信任學(xué)生，給學(xué)生提供充分的時(shí)間和空間，引領(lǐng)學(xué)生開展多樣化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，動(dòng)手操作、觀察對(duì)比、深入思考，學(xué)生才能在主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)過程中獲得“四基”、提高“四能”，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展才能真正落到實(shí)處.

3.站在單元整體視角設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)

整體性是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的突出特征.本課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)始終站在整體視角設(shè)計(jì)各個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)活動(dòng).內(nèi)容和內(nèi)容解析、目標(biāo)和目標(biāo)解析、教學(xué)問題診斷均從單元視角對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行理解和分析，在單元構(gòu)建的基礎(chǔ)上，提出課時(shí)教學(xué)內(nèi)容、課時(shí)教學(xué)目標(biāo)、課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)和課時(shí)教學(xué)難點(diǎn).在課時(shí)教學(xué)的具體實(shí)施中，諸如用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)的必要性和簡(jiǎn)潔性，用列表法、解析法、圖象法表述函數(shù)，分段函數(shù)的實(shí)際意義等內(nèi)容，并沒有拘于課時(shí)教學(xué)要求，而是把每個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)均納入整個(gè)單元教學(xué)規(guī)劃來考慮.基于這種整體性視角組織教學(xué)，有利于優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握更加深入、系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)化.

關(guān)注課時(shí)教學(xué)的層序性.站在單元整體視角設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)既要關(guān)注單元內(nèi)每個(gè)課時(shí)之間的關(guān)聯(lián)，還要關(guān)注單元與單元之間的邏輯.教師應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知需求和認(rèn)知可能為依據(jù)，由淺入深、由易到難、由表及里、由具體到抽象，設(shè)置教學(xué)梯度.本課時(shí)是章起始課，教學(xué)設(shè)計(jì)中先通過章引言和章頭圖的學(xué)習(xí)讓學(xué)生對(duì)整章內(nèi)容有了結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而通過大量的情境和問題，激活學(xué)生已有的“變量說”函數(shù)概念知識(shí)，體會(huì)“變量說”函數(shù)概念的“有所不能”，嘗試用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)，并體會(huì)其精確性和簡(jiǎn)潔性，在實(shí)際問題中感受分段函數(shù)的意義.這些活動(dòng)和認(rèn)識(shí)既是本課時(shí)的教學(xué)任務(wù)和要求，又是下一個(gè)課時(shí)教學(xué)的結(jié)點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn).從單元視角來看，教學(xué)活動(dòng)各個(gè)環(huán)節(jié)逐層遞進(jìn)，呈階梯式上升.

從單元整體視角設(shè)計(jì)教學(xué)應(yīng)該遵循以學(xué)生為本的理念.首先，知識(shí)的整體性構(gòu)建應(yīng)該符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.以“函數(shù)”概念為例，本教學(xué)設(shè)計(jì)沒有嚴(yán)格遵循北師大版教材在第2課時(shí)直接給出概念的安排，而是從第1課時(shí)開始設(shè)置情境，讓學(xué)生在認(rèn)知上產(chǎn)生沖突和需求，初步感受用集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系話語方式描述函數(shù)的可能性和可行性.有了這樣的認(rèn)知萌芽，下一課時(shí)函數(shù)的“對(duì)應(yīng)說”概念的生成水到渠成.其次，“四基”“四能”“核心素養(yǎng)”的落實(shí)要符合學(xué)生的發(fā)展規(guī)律.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，核心素養(yǎng)水平的達(dá)成最終要落實(shí)到學(xué)生身上.教學(xué)應(yīng)該遵循學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的階段性、連續(xù)性和整體性特點(diǎn).既要關(guān)注每一課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元教學(xué)目標(biāo)，明確這些目標(biāo)對(duì)實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn)，從而把課時(shí)的、單元的、主題的全部教學(xué)活動(dòng)聚焦于以生為本.

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