沈佩佩

［摘 要］小學(xué)的幾何圖形問(wèn)題是一個(gè)可以用一以貫之的邏輯基礎(chǔ)封裝的模塊化教學(xué)內(nèi)容。在平面圖形和立體幾何的教學(xué)過(guò)程中，教師可以逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握周長(zhǎng)、面積、體積公式以及圖形和幾何體的對(duì)稱性、平移、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，從而幫助學(xué)生建立初步的數(shù)學(xué)邏輯體系。這一體系富有數(shù)學(xué)思想，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面有重要的意義和作用。

［關(guān)鍵詞］幾何圖形問(wèn)題；模塊化教學(xué)；邏輯思維能力

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）29-0084-03

一、引言

小學(xué)數(shù)學(xué)是兒童開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn)，也是培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)思維的啟蒙時(shí)期。隨著國(guó)家科技發(fā)展的需要，基礎(chǔ)科學(xué)人才的系統(tǒng)性培養(yǎng)越來(lái)越受到社會(huì)的廣泛關(guān)注。其中，依托小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生進(jìn)行初步的科學(xué)邏輯思維培養(yǎng)正是其中重要的一環(huán)。這一類(lèi)數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)和養(yǎng)成，無(wú)法通過(guò)增加教學(xué)內(nèi)容的方式做到，也不能簡(jiǎn)單地通過(guò)對(duì)已有數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展和介紹來(lái)實(shí)現(xiàn)。邏輯思維的養(yǎng)成應(yīng)該是教師以具體的例子進(jìn)行引導(dǎo)式教學(xué)，讓學(xué)生在此類(lèi)引導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)邏輯思維復(fù)現(xiàn)，從而能體會(huì)數(shù)理邏輯的價(jià)值與魅力，并從中獲得成就感，最終達(dá)成將邏輯思維方式內(nèi)化為學(xué)生自身思考形式的教學(xué)效果。

小學(xué)數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容涵蓋基本算術(shù)法則、幾何相關(guān)計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。如今的小學(xué)教學(xué)加入了一定的編程思維引導(dǎo)，如初步的編程課程，或者模塊化編程思維訓(xùn)練。這就對(duì)算術(shù)和實(shí)際應(yīng)用做了較為有效的邏輯補(bǔ)充。但同時(shí)應(yīng)注意到，小學(xué)階段的兒童在思維上存在較強(qiáng)的跳躍性，這就要求教師在教學(xué)時(shí)，不能長(zhǎng)篇大論地進(jìn)行數(shù)學(xué)論證，更不能過(guò)分要求學(xué)生完全按照編程的線性思維方式來(lái)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題。一個(gè)有效的教學(xué)方式就是在圖形問(wèn)題上對(duì)學(xué)生進(jìn)行邏輯思維引導(dǎo)。

抽象思維和形象思維都是邏輯思維的重要組成部分。一方面，在小學(xué)課堂的教學(xué)過(guò)程中，形象思維的教學(xué)內(nèi)容更易被學(xué)生接受。例如，在介紹“數(shù)的運(yùn)算”時(shí)，教師常常采用學(xué)生熟悉的糖果、人物等具體形象開(kāi)展教學(xué)引導(dǎo)；在教學(xué)四則運(yùn)算和應(yīng)用題時(shí)，也常常會(huì)采用數(shù)形結(jié)合的方式。另一方面，幾何圖形作為天生的形象思維載體，具有便于學(xué)生讀題、便于學(xué)生理解和便于教師說(shuō)明的特點(diǎn)。因此教師通過(guò)具體的幾何圖形的邏輯推演介紹幾何結(jié)論，并展示邏輯思維的過(guò)程是合適且有效的。

筆者將以小學(xué)幾何圖形問(wèn)題的教學(xué)內(nèi)容為脈絡(luò)，闡述筆者在各個(gè)教學(xué)階段的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)目的，從而論證小學(xué)幾何圖形問(wèn)題在邏輯思維養(yǎng)成中的作用，對(duì)小學(xué)幾何圖形問(wèn)題模塊化教學(xué)方法進(jìn)行總結(jié)。

二、小學(xué)幾何圖形問(wèn)題的類(lèi)型及特點(diǎn)

小學(xué)的幾何內(nèi)容主要分為平面幾何和立體幾何兩部分。平面幾何重點(diǎn)介紹了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形、不規(guī)則圖形和圓。立體幾何主要包括長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐。另外，圖形運(yùn)動(dòng)包含了圖形的基本特征和圖形剛體運(yùn)動(dòng)等的性質(zhì)，例如對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)和反射。

從展現(xiàn)的形式特征上看，小學(xué)幾何問(wèn)題包含了反映幾何圖形性質(zhì)的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形在空間的簡(jiǎn)單位置關(guān)系。前者涉及圖形的長(zhǎng)、寬、高、面積、體積等概念，后者包含圖形的對(duì)稱性、割補(bǔ)性、邊長(zhǎng)和面積的大小關(guān)系等。這種形式上的區(qū)分反映了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)兒童空間維度思考能力的拓展。同時(shí)，二維平面和三維空間是看得見(jiàn)、摸得著的，具有較好空間想象力和觀察力的學(xué)生很容易就能將二維圖形的一些性質(zhì)推廣到三維圖形上。

從學(xué)生對(duì)幾何圖形問(wèn)題接受的難易程度上看，圓的性質(zhì)和相關(guān)問(wèn)題的難度是有別于其他圖形問(wèn)題的。如何引導(dǎo)學(xué)生思考求圓的面積和周長(zhǎng)以及圓錐的體積等問(wèn)題將是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)。說(shuō)它重要的另一個(gè)原因是這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)能夠很好地反映數(shù)學(xué)思維的具體作用方式，反映人類(lèi)思考此類(lèi)問(wèn)題的途徑和動(dòng)機(jī)，這也正符合“復(fù)現(xiàn)人類(lèi)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程”這一教育理念。

從蘊(yùn)含的邏輯內(nèi)核上看，小學(xué)幾何圖形問(wèn)題反映了人類(lèi)的兩種思維方式：整體系統(tǒng)的思維方式和局部變化的思維方式。這兩種思維方式一直隱形貫穿于中小學(xué)數(shù)學(xué)教育始終，直至大學(xué)數(shù)學(xué)才顯形地表現(xiàn)為高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析兩門(mén)課程。具體來(lái)說(shuō)，關(guān)于第一種思維方式，體現(xiàn)在講授圖形的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)和反射等圖形特點(diǎn)，其實(shí)是反映了幾何圖形的群論性質(zhì)。這種將圖形看作一個(gè)整體來(lái)分析的方法是直觀且深刻的，在初中平面幾何的位置關(guān)系判定，高中的圓錐曲線分類(lèi)、射影幾何初步，大學(xué)的線性代數(shù)都有體現(xiàn)。而第二種思維方式具體表現(xiàn)在求幾何體的面積、體積，尤其是涉及圓面積、體積等問(wèn)題，實(shí)質(zhì)反映了幾何圖形尤其是彎曲幾何體的分析。這種將圖形局部分割后逐一分析的方法是基本且實(shí)用的，在小學(xué)的割補(bǔ)法，高中的立體幾何、解析幾何，直到大學(xué)的微積分都是這一思想的具體呈現(xiàn)。

這些特征都表明小學(xué)幾何圖形問(wèn)題是教師傳播數(shù)學(xué)思想和學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的有效途徑和高效載體。

三、小學(xué)幾何圖形問(wèn)題的各階段教學(xué)目的與方法創(chuàng)新

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容要求，筆者在三個(gè)學(xué)段的幾何圖形相關(guān)問(wèn)題教學(xué)過(guò)程中突顯了思維引導(dǎo)和能力培養(yǎng)，將具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容落實(shí)為相應(yīng)的能力培養(yǎng)過(guò)程，從而把每個(gè)知識(shí)點(diǎn)化作具體能力應(yīng)用和思維方式發(fā)展的舞臺(tái)，最終達(dá)到讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)邏輯思維能力的目的。

1.第一學(xué)段 （1～2年級(jí)）：如何抽象描述圖形

在小學(xué)第一學(xué)段，圖形問(wèn)題主要是引導(dǎo)學(xué)生將具體的客觀事物抽象成一定的幾何圖形[參見(jiàn)人教版教材一年級(jí)上冊(cè)第四單元“認(rèn)識(shí)圖形（一）”、一年級(jí)下冊(cè)第一單元“認(rèn)識(shí)圖形（二）”]。這要求圖形具有一定的理想性，比如點(diǎn)沒(méi)有大小、線沒(méi)有寬度、面沒(méi)有體積等。幾何圖形的抽象如同具體數(shù)量被抽象成為自然數(shù)，并逐漸抽象出數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，最終建立起復(fù)雜完備的數(shù)的體系，這種抽象在數(shù)學(xué)研究和思考中具有基礎(chǔ)性。

因此，在教學(xué)過(guò)程中，筆者會(huì)在課前布置任務(wù)讓學(xué)生尋找生活中具有方形、圓形等幾何形狀的具體事物，并提煉出它們的共性。在課堂上，筆者會(huì)讓學(xué)生就這種幾何圖形的共性進(jìn)行討論和描述。不少學(xué)生可以提煉出數(shù)的信息，諸如方形都是4條邊，都是4個(gè)角，反映學(xué)生對(duì)數(shù)字的理解要快于對(duì)圖形的抽象感知。另一方面也說(shuō)明，1～2年級(jí)的學(xué)生在圖形觀察上還需要更多地培養(yǎng)觀測(cè)能力和發(fā)散思維。

在課堂討論之后，筆者會(huì)引導(dǎo)學(xué)生比較各種圖形的幾何特征，并希望學(xué)生盡可能多地從各種特性上區(qū)分不同的圖形。這種開(kāi)放性討論有助于學(xué)生建立抽象圖形和具體實(shí)像的對(duì)應(yīng)，能幫助學(xué)生理解抽象圖形的區(qū)別和圖形的特點(diǎn)。最后，筆者會(huì)解釋這些圖形的中英文名稱，并留下作業(yè)：如果讓你來(lái)命名這些圖形，你會(huì)叫它們什么？

在學(xué)生建立了對(duì)平面圖形的初步感知之后，筆者常常在課堂上延展性地引入諸如七巧板這樣的教具，讓學(xué)生在游戲中初步理解割補(bǔ)法的原理。

2.第二學(xué)段 （3～4年級(jí)）：平面圖形的代數(shù)和分析思考方法

粗略來(lái)講，在第二學(xué)段，小學(xué)數(shù)學(xué)幾何圖形問(wèn)題教學(xué)的主要目的包括熟悉各類(lèi)平面圖形以及圖形的周長(zhǎng)和面積（參見(jiàn)三年級(jí)上冊(cè)第四單元“長(zhǎng)方形和正方形”、三年級(jí)下冊(cè)第五單元“面積”、四年級(jí)上冊(cè)第五單元“平行四邊形和梯形”、四年級(jí)下冊(cè)第五單元“三角形”）；能結(jié)合圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱現(xiàn)象，在感受圖形的位置與運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，形成空間觀念和初步的幾何直觀。這一階段對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、分析能力和代數(shù)思維十分重要。因此，在這一階段的教學(xué)中，筆者做了較長(zhǎng)的鋪墊。

首先，回顧了七巧板、俄羅斯方塊和推箱子等游戲，讓學(xué)生通過(guò)這類(lèi)游戲發(fā)現(xiàn)不同的圖形可能會(huì)有相同的大小（面積），而面積可以把圖形分割后分別計(jì)算再求和得到。其次，以2×2的正方形和1×4的長(zhǎng)方形為例，讓學(xué)生自己總結(jié)計(jì)算矩形面積的方法。然后，通過(guò)不同的分割方式，讓學(xué)生思考平行四邊形、三角形、梯形的面積公式（80%以上的學(xué)生可以完成）。最后，通過(guò)分割正多邊形求面積的方法，建立圓柱體積和圓柱底面周長(zhǎng)之間的關(guān)系。

接著仍以“正方形和長(zhǎng)方形”為例，讓學(xué)生討論總結(jié)出它們的周長(zhǎng)計(jì)算公式。并讓學(xué)生回去思考：為什么兩個(gè)圖形的面積相同，周長(zhǎng)卻不一樣呢？這里面有規(guī)律嗎？

在關(guān)于圖形的剛體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)方面，以現(xiàn)實(shí)中的例子為導(dǎo)引，仍以平面游戲?yàn)榍腥朦c(diǎn)，讓學(xué)生尋找各類(lèi)圖形在對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中體現(xiàn)的性質(zhì)。有些學(xué)生甚至發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱翻轉(zhuǎn)和平移、旋轉(zhuǎn)的不同，前者是一瞬間的，后者是可以慢慢移動(dòng)得到的。這反映了學(xué)生開(kāi)始思考連續(xù)和離散的區(qū)別。筆者以此為契機(jī)，讓學(xué)生思考：是否可以通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)的方法得到某種反射呢？有一部分學(xué)生（30%左右）經(jīng)過(guò)思考能發(fā)現(xiàn)這是不能的，甚至有學(xué)生將圖形的正反兩面涂色做區(qū)分。在這部分教學(xué)的最后，筆者讓學(xué)生課后思考：旋轉(zhuǎn)一個(gè)圖形得到一個(gè)軸對(duì)稱圖形需要什么條件？

3.第三學(xué)段 （5～6年級(jí)）：立體圖形的推廣和技巧性方法

第三學(xué)段，幾何圖形問(wèn)題的主要教學(xué)目的在于讓學(xué)生建立立體圖形的表面積、體積公式以及其他深入的幾何理解（參見(jiàn)人教版教材五年級(jí)上冊(cè)第六單元“多邊形的面積”、五年級(jí)下冊(cè)第三單元“長(zhǎng)方體和正方體”、六年級(jí)上冊(cè)第五單元“圓”、六年級(jí)下冊(cè)第三單元“圓柱與圓錐”），其中立體圖形體積為教學(xué)難點(diǎn)。

通過(guò)第二學(xué)段的教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)初步建立了以幾何概型為直觀背景的邏輯推理方式。教師稍加引導(dǎo)，學(xué)生就可以直接跳過(guò)具體例子的抽象環(huán)節(jié)，直接從長(zhǎng)、寬、高的概念入手建立起正方體、長(zhǎng)方體的體積公式。從立體圖形的高這一概念入手，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生拓展研究圓柱體及其他一般柱體的體積公式。

在立體圖形體積問(wèn)題上，教學(xué)的難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生建立圓錐的體積公式。筆者先通過(guò)實(shí)驗(yàn)法向?qū)W生展示這個(gè)公式。經(jīng)過(guò)筆者的教學(xué)引導(dǎo)，有一部分學(xué)生是不滿意這種論證方式的，這說(shuō)明通過(guò)幾何圖形問(wèn)題讓學(xué)生初步建立數(shù)理邏輯已初見(jiàn)成效。針對(duì)這部分學(xué)生，筆者進(jìn)行了課外興趣拓展。在興趣拓展中，筆者先引導(dǎo)學(xué)生思考圓錐的體積公式應(yīng)該還是三個(gè)維度的乘積，可能是圓柱體積公式乘上一個(gè)固定的比例系數(shù)。為了確定這個(gè)系數(shù)，只需要考慮如何做一個(gè)平行于底面的截面將圓錐一分為二，使得下面的圓臺(tái)和上面的小圓錐合起來(lái)的體積等于和上面的小圓錐等底等高的圓柱的體積。通過(guò)耐心講解，這一具有競(jìng)賽難度的問(wèn)題還是被部分學(xué)生理解。

四、總結(jié)

在小學(xué)的幾何圖形這一專題上，教師可以通過(guò)寓教于樂(lè)、逐步引導(dǎo)的方式逐漸引導(dǎo)學(xué)生建立初步的數(shù)學(xué)邏輯思維體系，并應(yīng)用這種思維體系建立平面圖形和立體圖形的面積、體積公式；建立圖形和幾何體的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。這種數(shù)理邏輯體系是嚴(yán)格的，富有數(shù)學(xué)思想的，在學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的意義和作用。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 牛楠森 ，李紅恩.基礎(chǔ)教育是全社會(huì)的事業(yè)：習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于教育的重要論述學(xué)習(xí)研究之八[J].教育研究，2022，43（8）：4-19.

[2] 倪娟.基礎(chǔ)教育高質(zhì)量發(fā)展戰(zhàn)略研究[J].上海教育科研，2022（7）：5-11.

[3] 李利，肖麗珍，等.小學(xué)數(shù)學(xué)整合編程的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施[J].教學(xué)與管理，2022（26）：48-52.

[4] 陳周慧.圖形化編程應(yīng)用于小學(xué)信息技術(shù)教學(xué)改革中的思考與實(shí)踐[J].亞太教育，2021（21）：144-146.

[5] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

[6] 劉加霞.小學(xué)生代數(shù)思維的特征、表現(xiàn)及培養(yǎng)[J].湖北教育（教育教學(xué)），2021（11）：32-34.

[7] 李金芽.基于“轉(zhuǎn)化思想”滲透的小學(xué)高段圖形與幾何教學(xué)策略研究[J].試題與研究，2022（23）：142-143.

[8] 鄭丙江.小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何知識(shí)的探索步驟[J].教育藝術(shù)，2021（9）：44-45.

[9] 王琴.淺析幾何圖形學(xué)習(xí)與學(xué)生思維的發(fā)展[J].智力，2021（34）：70-72.

（責(zé)編 楊偲培）