顧志能 湯佳鋒

［摘 要］教學(xué)“比例的基本性質(zhì)”一課時(shí)，采用傳統(tǒng)的“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”的合情推理教學(xué)思路，學(xué)生容易缺乏學(xué)習(xí)興趣?；趯W(xué)生的學(xué)情和學(xué)習(xí)心理，教學(xué)時(shí)先引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，再借助問(wèn)題讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—證明—結(jié)論”的演繹推理過(guò)程。這樣，學(xué)生可更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更有效地發(fā)展核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］比例的基本性質(zhì)；學(xué)生提問(wèn)；合情推理；演繹推理

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）29-0006-03

【課前之思】

六年級(jí)“比例的基本性質(zhì)”一課，能幫助學(xué)生對(duì)“比例”有一個(gè)全面的理解，同時(shí)是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“解比例”和“用比例解決問(wèn)題”等內(nèi)容的知識(shí)基礎(chǔ)。

對(duì)于這一課，不同版本的教材大多編排了傳統(tǒng)的“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”的教學(xué)模式（圖1為人教版教材的內(nèi)容）：教師首先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察個(gè)別比例的共同特點(diǎn)，得出“外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積”， 再將其作為一個(gè)猜想，鼓勵(lì)學(xué)生驗(yàn)證這個(gè)猜想，通過(guò)更多的例子來(lái)確認(rèn)這一特點(diǎn)，最后以數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字和符號(hào)）進(jìn)行總結(jié)，得出結(jié)論。這種教學(xué)方法有助于學(xué)生集中精力理解比例的基本性質(zhì)，以及正確運(yùn)用這一性質(zhì)來(lái)判斷比例是否成立。因此，大多數(shù)教師都采用這種方式來(lái)教學(xué)這節(jié)課的內(nèi)容。

然而，盡管這種方法在實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)上效果顯著，但它存在一個(gè)明顯的不足之處，即未能充分促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展和素養(yǎng)提升。學(xué)生在四年級(jí)已經(jīng)開(kāi)始且多次經(jīng)歷了“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”的學(xué)習(xí)路徑（如各種運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)等的學(xué)習(xí)），因此，他們?cè)诹昙?jí)再次遇到類(lèi)似的內(nèi)容時(shí)，往往就會(huì)感到缺乏新鮮感，也不想再深入思考。這意味著，學(xué)生雖然獲得了新的數(shù)學(xué)知識(shí)，但在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思維方法以及各種數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)方面，他們都難以有新的發(fā)展和領(lǐng)悟。前測(cè)調(diào)查顯示，有不少學(xué)生在課前已經(jīng)知道了比例的基本性質(zhì)。如此學(xué)情下，運(yùn)用教材推薦的教學(xué)思路進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生或許就只是“配合”教學(xué)而無(wú)思考了。

如何解決上述問(wèn)題？可通過(guò)擴(kuò)展教學(xué)目標(biāo)來(lái)解決：基于學(xué)生的學(xué)情和學(xué)習(xí)心理，更加關(guān)注并激發(fā)學(xué)生內(nèi)心的疑問(wèn)；引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題，并利用這些問(wèn)題來(lái)進(jìn)行有意義的探究式學(xué)習(xí)；引入演繹推理，結(jié)合合情推理的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)。這種教學(xué)調(diào)整的目的是幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑和批判性思維。另外，還可以在推理活動(dòng)方面促使學(xué)生發(fā)展推理意識(shí)，以提升數(shù)學(xué)思維水平，為進(jìn)入初中階段奠定堅(jiān)實(shí)的思維基礎(chǔ)。

【課堂實(shí)踐】

一、回顧舊知，喚醒經(jīng)驗(yàn)

師：回憶比例的意義，并運(yùn)用比例的意義判斷下面哪組中的兩個(gè)比可以組成比例。

（1） 30[∶]5和12[∶]2

（2） 0.8[∶]0.6和4[∶]3

（3）[13][∶][12]和30[∶]20

（4）[18]和[612]

（教師根據(jù)學(xué)生的回答，選取三個(gè)比例進(jìn)行板書(shū)：30[∶]5=12[∶]2，0.8[∶]0.6=4[∶]3， [48=612]）

二、借助生問(wèn)，深入探究

1.基礎(chǔ)知識(shí)，簡(jiǎn)單介紹

師（出示圖2）：在比例中，有“外項(xiàng)”和“內(nèi)項(xiàng)”。

2.觀察比例，獲得發(fā)現(xiàn)

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察30[∶]5=12[∶]2、 0.8[∶]0.6=4[∶]3、 [48=612]這三個(gè)比例，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)每個(gè)比例中外項(xiàng)的積和內(nèi)項(xiàng)的積是相等的。

（其他學(xué)生紛紛附和）

師：真的是這樣的嗎？我們一起來(lái)檢驗(yàn)。

（教師組織學(xué)生口算檢驗(yàn)，確認(rèn)發(fā)現(xiàn)）

3.激發(fā)生問(wèn)，舉例驗(yàn)證

師：顯然，這三個(gè)比例中存在著一個(gè)相同的現(xiàn)象——外項(xiàng)的積等于內(nèi)項(xiàng)的積。對(duì)此，你有什么想法嗎？

生2：是不是所有的比例都有這樣的現(xiàn)象？

生3：有沒(méi)有比例不是這樣的呢？

生4：比例中為什么會(huì)有這樣的特點(diǎn)？

（教師引導(dǎo)學(xué)生感受什么是好問(wèn)題，并讓學(xué)生意識(shí)到這個(gè)發(fā)現(xiàn)只是個(gè)猜想）

師：對(duì)“所有的比例是否都這樣”進(jìn)行舉例驗(yàn)證，同桌之間相互交流。

師：大家一共舉了一百多個(gè)例子進(jìn)行驗(yàn)證，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一個(gè)反例。現(xiàn)在能不能確定地說(shuō)“所有的比例都是外項(xiàng)的積等于內(nèi)項(xiàng)的積”？

生5：能確定，因?yàn)榕e再多的例子，一定也是這樣的。

生6：還不行，因?yàn)槔优e不完，也許就有比例不符合這個(gè)規(guī)律。

生7：不行，因?yàn)槲覀円芯康氖恰八小北壤e例子永遠(yuǎn)舉不完所有。

師：說(shuō)得有道理！舉不完例子，憑什么就能說(shuō)所有的比例都是這樣的呢？所有比例，就是任意一個(gè)比例，那應(yīng)該怎么表示呢？對(duì)于a[∶]b=c[∶]d這樣的比例，一定能得到ad=bc嗎？（出示圖3）你用什么方法來(lái)說(shuō)明？

師（展示學(xué)生的思考方法，如圖4-1、圖4-2）：請(qǐng)這兩位同學(xué)介紹自己的方法，其他同學(xué)可以進(jìn)行提問(wèn)。

師：運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，圍繞之前的猜想，對(duì)一個(gè)用字母表達(dá)的比例進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治?，這樣的過(guò)程就叫證明?，F(xiàn)在證明已經(jīng)成功了，所以我們可以確定地說(shuō)——

生（齊）：所有的比例，外項(xiàng)的積等于內(nèi)項(xiàng)的積。

師：對(duì)，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“比例的基本性質(zhì)”。

師：現(xiàn)在梳理這節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。從個(gè)別例子得出的發(fā)現(xiàn)叫作猜想，猜想是否正確，可以通過(guò)舉例來(lái)驗(yàn)證，但例子通常舉不完，所以我們可以進(jìn)行證明。通過(guò)證明，我們可以得到一個(gè)確定的結(jié)論。同時(shí)，可以看到，大量舉例且舉不出反例，這時(shí)得出的結(jié)論往往是正確的。（出示圖5）

師：猜想—驗(yàn)證—結(jié)論，猜想—證明—結(jié)論，這兩種思維方式都叫推理。第一種是我們以前用過(guò)很多次的，第二種我們用得比較少。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，這兩種不同形式的推理功能不同，各有好處。

三、鞏固應(yīng)用，加深理解

基礎(chǔ)練習(xí)：判斷下面哪組中的兩個(gè)比可以組成比例。

（1） 2[∶]25和4[∶]50

（2） [13][∶][16]和[12][∶][14]

（3）[0.6][∶][0.3]和8[∶]5

（4）[2.4∶34]和[0.4∶18]

變式練習(xí)：已知24×3=8×9，你能寫(xiě)出比例嗎？

四、課堂總結(jié)，強(qiáng)調(diào)學(xué)法（略）

【課后有感】

該課教學(xué)，沒(méi)有精妙的情境，沒(méi)有復(fù)雜的課件，形式很樸素，過(guò)程很簡(jiǎn)約，但卻讓人眼前一亮，讓人感受到了普通的教學(xué)內(nèi)容因創(chuàng)新設(shè)計(jì)而煥發(fā)出的迷人魅力。本課的特色主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

一、兩種推理交融并進(jìn)，推理意識(shí)得到提升

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”，在義務(wù)教育階段，推理是主要數(shù)學(xué)思維（小學(xué)階段叫“推理意識(shí)”）。由此可見(jiàn)，錘煉學(xué)生的推理意識(shí)，就是在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。眾所周知，推理分為合情推理和演繹推理，鑒于小學(xué)生的思維水平，第一和第二學(xué)段的教材主要編排一些適合運(yùn)用合情推理（一般是不完全歸納推理）的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納的過(guò)程，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、感悟思想方法。隨著思維水平的提升，學(xué)生自然還需要學(xué)習(xí)過(guò)程更嚴(yán)謹(jǐn)、思考更理性的演繹推理，但目前的教材只在第三學(xué)段偶有體現(xiàn)，第四學(xué)段（初中）才有系統(tǒng)的編排。

為了讓學(xué)生對(duì)推理有更多的感悟，更順暢地銜接中小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在第三學(xué)段（尤其是六年級(jí)）時(shí)，教師可以自主選擇合適的教學(xué)內(nèi)容，以恰當(dāng)?shù)姆绞揭龑?dǎo)學(xué)生開(kāi)展演繹推理，以幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)、感悟思想?！氨壤幕拘再|(zhì)”一課，知識(shí)的理解和運(yùn)用都比較簡(jiǎn)單，這就為從單純地開(kāi)展合情推理拓展到兩種推理交融并進(jìn)的目標(biāo)定位帶來(lái)了可能。在本課中，借助三個(gè)比例式，學(xué)生自然而然地走上了熟悉的歸納推理之路，但教師并未止步于以前的“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”的目標(biāo)，而是引導(dǎo)學(xué)生深入分析“所有的比例都這樣嗎”“為什么會(huì)這樣”，從而使學(xué)生的思維再上一級(jí)臺(tái)階，使學(xué)生主動(dòng)地走向演繹推理；在利用演繹推理證明后，教師再說(shuō)明歸納推理的價(jià)值，并總結(jié)兩種推理方式的聯(lián)系和區(qū)別。這樣，學(xué)生較好地經(jīng)歷了兩種推理的思維過(guò)程，尤其是充分感受到了演繹推理的力量，推理意識(shí)得到了一定的提升，課堂也因此而綻放光彩。

二、學(xué)生提問(wèn)引領(lǐng)探究，創(chuàng)新意識(shí)得到錘煉

培養(yǎng)有較強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)的學(xué)生，為國(guó)家輸送更多的創(chuàng)新型人才，是時(shí)代賦予教育的重要使命。那么，發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容富含思維元素的優(yōu)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生多開(kāi)展提問(wèn)活動(dòng)，就是一條培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑。學(xué)生面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)往往能主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，尤其是提出好問(wèn)題，這需要高階思維的參與，如批判性思維和創(chuàng)造性思維等，而這些思維活動(dòng)最有利于創(chuàng)新意識(shí)的形成。

因此，多讓學(xué)生在課堂上提問(wèn)，能使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)展開(kāi)分析、比較、批判、質(zhì)疑等高質(zhì)量的思維活動(dòng)，從而增強(qiáng)思維能力，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。在本課中，筆者有意將此作為重要的素養(yǎng)追求納入教學(xué)目標(biāo)，為此精心設(shè)計(jì)提問(wèn)材料，努力引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，并借助學(xué)生的問(wèn)題激勵(lì)學(xué)生深度探究，自主釋問(wèn)?？梢钥吹?，基于學(xué)生對(duì)三個(gè)比例式的“發(fā)現(xiàn)”，教師一句“對(duì)此，你有什么想法嗎？”就將學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)造性思維點(diǎn)燃，接著，“是不是所有的比例都有這樣的現(xiàn)象？”“有沒(méi)有比例不是這樣的呢？”“比例中為什么會(huì)有這樣的特點(diǎn)？”等問(wèn)題噴薄而出。此時(shí)，教師并不滿(mǎn)足于這些問(wèn)題的提出，而是特意引導(dǎo)學(xué)生感受什么是好問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生要有質(zhì)疑精神。在學(xué)生借助問(wèn)題開(kāi)展探究后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)別人的證明方法進(jìn)行提問(wèn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成敢質(zhì)疑、講道理的思維習(xí)慣。如上的過(guò)程，充分體現(xiàn)了“引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題”的教學(xué)理念，學(xué)生的提問(wèn)能力、創(chuàng)新意識(shí)由此得到了有效鍛煉，核心素養(yǎng)更是在潛移默化中得以發(fā)展。

綜上，類(lèi)似于“比例的基本性質(zhì)”這樣的高年級(jí)教學(xué)內(nèi)容，教師都可以帶著上述理念進(jìn)行目標(biāo)的拓展和設(shè)計(jì)的創(chuàng)新。這樣，課堂會(huì)展現(xiàn)全新的面貌，學(xué)生會(huì)得到更大的收獲。

（責(zé)編 金 鈴）