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生問引學(xué):學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生,思維切實(shí)提升

2023-12-25 08:22竺柏明童欣
關(guān)鍵詞:發(fā)現(xiàn)問題推理提出問題

竺柏明 童欣

[摘 要]人教版教材中的“分?jǐn)?shù)與除法”是憑借兩個(gè)“被除數(shù)小于除數(shù)”的例子歸納得出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,但學(xué)生對(duì)此可能會(huì)產(chǎn)生疑問。為了促進(jìn)學(xué)生深入思考,教師要鼓勵(lì)學(xué)生提出他們內(nèi)心的疑問,再借助疑問深入探究“被除數(shù)大于或等于除數(shù)”的情況。通過完全歸納的過程,學(xué)生能夠深刻地構(gòu)建知識(shí)體系,學(xué)習(xí)得以真實(shí)發(fā)生,思維得到切實(shí)提升。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù)與除法;發(fā)現(xiàn)問題;提出問題;思維;推理

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2023)29-0002-04

【課前之思】

人教版教材將“分?jǐn)?shù)與除法”編排在五年級(jí)下冊(cè)。從教材呈現(xiàn)的內(nèi)容(如圖1)來看,本課是借助兩個(gè)關(guān)于除法的實(shí)際問題,揭示分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,使學(xué)生不僅能理解分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系(即“份數(shù)”定義),還能理解分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)整數(shù)相除的商(即“商”定義),從而深化和擴(kuò)展對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

教材以1÷4=?和3÷4=?兩道除法算式為例,得出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。然而,這種方法在邏輯上存在一些不足之處,因?yàn)樗鼉H考慮了被除數(shù)小于除數(shù)的情況,沒有涵蓋被除數(shù)大于或等于除數(shù)的情況。這種不完整的歸納可能會(huì)引發(fā)學(xué)生的疑問:“如果被除數(shù)大于除數(shù),或者被除數(shù)和除數(shù)相等,會(huì)有什么結(jié)果呢?”需要指出的是,在之前的除法學(xué)習(xí)中,被除數(shù)大于除數(shù)的情況更為常見,因此,僅以不常見的被除數(shù)小于除數(shù)的情況來得出結(jié)論可能會(huì)引起學(xué)生的疑問。

根據(jù)新的課程理念,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題是培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑精神和批判性思維的重要方式,這也是值得追求的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。因此,筆者建議將學(xué)生提出的問題納入教學(xué)中,以激發(fā)學(xué)生深入探究和全面歸納的興趣。這將為他們提供發(fā)展推理意識(shí)的絕佳機(jī)會(huì),而推理正是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)所強(qiáng)調(diào)的最重要的數(shù)學(xué)思維之一。

也許有人會(huì)擔(dān)心,這樣的教學(xué)是否會(huì)涉及假分?jǐn)?shù)?(在人教版教材中,假分?jǐn)?shù)通常會(huì)在后面的課程中介紹,而不是通過兩數(shù)相除引入)筆者認(rèn)為這種擔(dān)憂是不必要的,因?yàn)椤墩n程標(biāo)準(zhǔn)》鼓勵(lì)教師“要整體分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,合理整合教學(xué)內(nèi)容”。假分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是為了表示被除數(shù)大于除數(shù)時(shí)的商,而這節(jié)課正好介紹了兩個(gè)整數(shù)相除的商可以用分?jǐn)?shù)表示。因此,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生“被除數(shù)大于或等于除數(shù)時(shí),商會(huì)如何表示”的疑問時(shí),正是引入假分?jǐn)?shù)的合適時(shí)機(jī)。(北師大版教材采用了先教假分?jǐn)?shù)再教分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系的順序編排教學(xué)內(nèi)容)

根據(jù)以上思考,筆者進(jìn)行了多次嘗試,最終制訂了可行的教學(xué)方案。

【課堂實(shí)踐】

一、課題引思,明確方向

1.揭示課題,引發(fā)疑問

師:一起來讀一下課題。讀完課題,你有什么疑問?

生1:分?jǐn)?shù)是一種數(shù),除法是一種運(yùn)算,它們有關(guān)系嗎?

生2:分?jǐn)?shù)怎么會(huì)與除法有關(guān)系呢?

師:今天我們就來研究它們的關(guān)系。

2.生成素材,初步感知

師(引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過的分?jǐn)?shù)和除法,并在黑板上寫下五六個(gè)例子):你能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)分?jǐn)?shù)與哪道除法有關(guān)系嗎?

生3:我發(fā)現(xiàn)1÷3和?有關(guān)系,它們是相等的。

師(板書:1÷3=?):怎么解釋其中的道理?

生4:我可以用分餅來解釋。把1個(gè)餅平均分給3個(gè)人,每人就得?個(gè)餅。

師:對(duì),把1個(gè)餅平均分給3個(gè)人,可以用除法算式1÷3,結(jié)果是多少呢?

(教師邊說邊移動(dòng)教具,并強(qiáng)調(diào)1個(gè)餅的?就是?個(gè)餅,如圖2)

[設(shè)計(jì)意圖:把課題作為學(xué)習(xí)素材,在適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下,學(xué)生自然地產(chǎn)生疑問,產(chǎn)生探索知識(shí)的欲望?;仡櫯f知識(shí)能喚起學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)基本含義的記憶,同時(shí),使用教具引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)1個(gè)餅的?就是?個(gè)餅,這為后續(xù)學(xué)生的分析和表達(dá)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。]

二、逐層探究,自主釋問

1.加深感知,初步歸納

師:分?jǐn)?shù)與除法有什么關(guān)系呢?不著急,通過一個(gè)例子就下結(jié)論,太倉促了。我們繼續(xù)研究。如果把3個(gè)餅平均分給4個(gè)人,每人分到幾個(gè)餅?算式怎么列?它的商能用分?jǐn)?shù)表示嗎?在紙上畫一畫、寫一寫你的想法。

生1:把第一個(gè)餅平均分成4份,每人分到?個(gè);把第二個(gè)餅平均分成4份,每人也分到?個(gè);把第三個(gè)餅平均分成4份,每人也分到?個(gè)。一共是3個(gè)?個(gè),所以每人分到的是?個(gè)餅。

生2:3個(gè)餅都平均分成4份,一共就是12份,平均分給4個(gè)人,每人分到3份,因?yàn)槊糠菔?個(gè)餅,所以3份就是?個(gè)餅。

師:同學(xué)們的研究過程很精彩,雖然方法不同,但得到結(jié)果是一致的,也就是3÷4的商是?。我們可以用最基本的思路再來分析一遍。(出示圖3)

師:現(xiàn)在有兩個(gè)例子了。你覺得分?jǐn)?shù)與除法到底有什么關(guān)系?

生3:我發(fā)現(xiàn)被除數(shù)就是分?jǐn)?shù)里的分子,除數(shù)就是分?jǐn)?shù)里的分母。

師:你說的意思能用圖表示嗎?(引導(dǎo)學(xué)生在板書的算式中連線,如圖4)

師:好像的確如此!再試一個(gè)算式“2÷5”。

生4:2÷5等于?,把1個(gè)餅平均分成5份,每份是?個(gè)餅,2個(gè)?就是?。

[設(shè)計(jì)意圖:有了前面分餅的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生能比較順利地通過畫一畫、分一分來獨(dú)立研究3÷4的商。經(jīng)過教師引導(dǎo),學(xué)生進(jìn)行了首次歸納,初步發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。]

2.觀察思考,提出問題

師:愛動(dòng)腦筋的同學(xué)心里面一定產(chǎn)生了一些疑問吧!請(qǐng)說一說。

(給學(xué)生思考時(shí)間)

生5:被除數(shù)大于除數(shù)的除法還是這樣嗎?

生6:被除數(shù)等于除數(shù)的時(shí)候呢?

生7:整除的時(shí)候商也能用分?jǐn)?shù)表示嗎?

……

師:學(xué)習(xí)就是要這樣。在看似得到結(jié)論的時(shí)候,還能有質(zhì)疑的精神,能勇敢地提問,這不但需要智慧,還是一種了不起的能力。

[設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生看似已經(jīng)歸納推理出了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,但不是很確定,更多的是簡單盲從或想當(dāng)然的心態(tài)。因此,教師在此處開啟一個(gè)提問的“窗口”, 鼓勵(lì)學(xué)生深入思考,從而發(fā)現(xiàn)問題并勇敢提出疑問,進(jìn)而形成批判性思維。]

3.再度探究,深刻感知

師:除法算式5÷4等于幾?

生8:等于[5/4]。

師:[5/4]的分子比分母大,你們是怎么理解5÷4=[5/4]的?

生9:把每個(gè)餅平均分成4份,每次拿?個(gè)餅,5次就是[5/4]個(gè)餅。

(因?yàn)槌霈F(xiàn)了分子比分母大的新情況,所以教師和學(xué)生一起借助教具將整個(gè)過程進(jìn)行梳理,如圖5所示)

生10:我的方法跟他的不一樣,5個(gè)餅平均分給4個(gè)人,可以每個(gè)人先分到1個(gè),剩下的1個(gè)餅再平均分成4份,每人又得到?個(gè),所以每個(gè)人就是1個(gè)還多?個(gè)。

師:雖然生10的分法不同,但結(jié)果和生9的是一樣的——1個(gè)餅里面有[4/4]個(gè)餅,再加?個(gè)餅,也就是[5/4]個(gè)。

(教師將1個(gè)餅補(bǔ)畫成[4/4]的樣子)

師:5÷4的商確實(shí)可以用[5/4]表示??磥肀怀龜?shù)大于除數(shù)的時(shí)候,這樣的關(guān)系依然成立。再算算7÷3等于多少?

……

師:剛才有同學(xué)問“被除數(shù)等于除數(shù)的時(shí)候,這個(gè)算法是否成立”,誰來舉個(gè)例子說說看?

生11:5÷5。

師: 5÷5=5/5。5個(gè)?正好是1張餅,跟5除以5等于1一樣。

4.概括歸納,得到結(jié)論

師:我們已經(jīng)研究了很多例子,有被除數(shù)小于除數(shù)的,有被除數(shù)大于除數(shù)的,還有被除數(shù)等于除數(shù)的,三種不同的情況卻有相同的結(jié)論。對(duì)于分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,你能用一個(gè)式子簡約地表示嗎?

生12:可以寫成“被除數(shù)÷除數(shù)=[被除數(shù)/除數(shù)]”。

師:也可以用字母表達(dá),寫成[a÷b=a/b],當(dāng)然,這里的[b]不能等于[0]。

[設(shè)計(jì)意圖:根據(jù)學(xué)生提出的問題,教師組織學(xué)生深度探究。學(xué)生通過研究被除數(shù)小于除數(shù)、被除數(shù)大于除數(shù)、被除數(shù)等于除數(shù)的除法與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系,將前面不完全歸納得出的結(jié)果依次進(jìn)行檢驗(yàn),從而在完全歸納中得出結(jié)論,深刻地建構(gòu)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,并切實(shí)地感受到了完全歸納思想方法的實(shí)用性。]

三、知識(shí)運(yùn)用,加深理解

1.鞏固練習(xí),體會(huì)價(jià)值

師:我們歸納得出了分?jǐn)?shù)與除法的這個(gè)關(guān)系有什么用呢?一起來看大家之前寫的這些除法算式,它們的商分別是多少呢?

生1:20÷4[=20/4],8÷3[=8/3],113÷19[=113/19]。

師:看了這些結(jié)果,你有什么感受?

生2:用分?jǐn)?shù)表示除法的結(jié)果太簡單了!

師:兩個(gè)整數(shù)相除的商可以用分?jǐn)?shù)表示,那么你們之前所列舉的分?jǐn)?shù),它們又分別是哪個(gè)除法算式的商呢?(學(xué)生回答略)

師:看見分?jǐn)?shù)就能想到除法,厲害!

[設(shè)計(jì)意圖:借助課前學(xué)生舉的除法和分?jǐn)?shù)的例子進(jìn)行練習(xí),素材簡單,形式靈活,讓學(xué)生能夠很好地感受到所學(xué)知識(shí)的用途,感受到分?jǐn)?shù)的另一個(gè)來源。]

2.問題延伸,學(xué)法總結(jié)

師:你還有什么疑問嗎?

生3:被除數(shù)或除數(shù)是小數(shù)的時(shí)候也是這樣的關(guān)系嗎?

生4:分?jǐn)?shù)除法的時(shí)候也會(huì)這樣嗎?

……

師:這些問題又能引發(fā)我們進(jìn)一步思考。在學(xué)習(xí)中會(huì)提問太重要了,希望同學(xué)們能保持這樣的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【課后有感】

用以上思路執(zhí)教的“分?jǐn)?shù)與除法”不但讓人眼前一亮,課堂的效果也令人十分滿意。這節(jié)課的創(chuàng)新突破之處,主要就是“學(xué)生提問、以問引學(xué)”促成了學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生和思維的切實(shí)提升。

一、自主開展提問、釋問等活動(dòng),學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生

整個(gè)課程可以看作是由學(xué)生的提問、釋問(即探究問題和解決問題)等活動(dòng)串聯(lián)而成的。學(xué)生的提問分為三輪,每一輪的提問都是學(xué)生真實(shí)思考的表現(xiàn),所提出的問題都激勵(lì)了學(xué)生主動(dòng)地探究和解決問題,解決問題后又引發(fā)新的問題……學(xué)習(xí)在這樣的提問、釋問中真實(shí)發(fā)生,深入發(fā)展。例如,課堂一開始的提問激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,學(xué)生明確了探究方向;探究兩個(gè)例題后,學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中隱含的關(guān)系,此時(shí)提出更深入的問題,自主探究其他類型的除法,通過三種類型的除法,正式構(gòu)建了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,解決了之前的問題。學(xué)生自己提問、自己探究、自己解決問題,學(xué)習(xí)活動(dòng)在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上展開。這樣的課堂讓學(xué)生興趣高漲,積極參與,學(xué)習(xí)活動(dòng)生動(dòng)而具有鮮明的特色。

二、充分經(jīng)歷完全歸納等過程,思維切實(shí)提升

本課的最大特色是將教材上的不完全歸納改為完全歸納,從而建立了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。這么做的原因是推理包括合情推理和演繹推理兩種,小學(xué)生主要接觸到的是合情推理中的不完全歸納推理。然而,隨著年齡的增長和理性思維的發(fā)展,學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中會(huì)產(chǎn)生疑問:“其他例子也是這樣嗎?”或“為什么都是這樣的呢?”這些疑問表明學(xué)生的思維已經(jīng)邁向了更高的水平。在這個(gè)時(shí)候引入演繹推理是適時(shí)的,它有助于學(xué)生思維水平的提升。

從本課可以看出,學(xué)生通過研究兩個(gè)除法算式來歸納出結(jié)論時(shí),伴隨的是問題的出現(xiàn),如“被除數(shù)大于除數(shù)和被除數(shù)等于除數(shù)的情況是否也是如此?”這類問題反映了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,學(xué)生渴望對(duì)問題進(jìn)行分類研究,從而實(shí)現(xiàn)完全歸納。在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生經(jīng)歷了完全歸納的思維過程,從而豐富了對(duì)推理的體驗(yàn)(完全歸納推理是演繹推理的一種),邏輯思維和思考能力也得到了有效的鍛煉。

此外,學(xué)生在課堂中多次發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學(xué)問題,這也促進(jìn)了他們批判性思維和創(chuàng)造性思維的發(fā)展和鍛煉。這與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的強(qiáng)調(diào)是一致的。

通過對(duì)這節(jié)課的研究,筆者再次認(rèn)識(shí)到,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該抓住知識(shí)的育人價(jià)值,重視學(xué)生的學(xué)習(xí)心理,引導(dǎo)學(xué)生提出問題并自主探究,以問題為引導(dǎo)使學(xué)生更加主動(dòng)和深入地學(xué)習(xí)。這種教學(xué)方法有助于學(xué)生更深刻地建構(gòu)知識(shí),更有效地提升思維水平。

(責(zé)編 金 鈴)

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