卞煥清

摘? ? 要：圖形的旋轉(zhuǎn)是義務(wù)教育階段研究的三種基本運(yùn)動(dòng)方式之一，其動(dòng)態(tài)變化的特征對(duì)學(xué)生的直觀想象、歸納推理等能力提出了較高要求，但常規(guī)教學(xué)不能讓學(xué)生體會(huì)前后知識(shí)之間的緊密聯(lián)系、認(rèn)識(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性. 而“做數(shù)學(xué)”理念強(qiáng)調(diào)知識(shí)源于生活，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)觀察生活現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，并在動(dòng)手操作的過(guò)程中經(jīng)歷新概念或者規(guī)律的形成，感悟思維和知識(shí)的發(fā)生.因此，教師可將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為教學(xué)手段，設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中探究旋轉(zhuǎn)的概念和基本性質(zhì)，使其在自主探索數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)體會(huì)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的一般路徑，提升關(guān)鍵能力和學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”;學(xué)科育人;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);圖形的旋轉(zhuǎn)

數(shù)學(xué)具有高度的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性和邏輯性，這使得初中階段的學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)困難重重.同時(shí)，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)往往注重演繹而輕視歸納、類比，滿足于證明現(xiàn)成的結(jié)論，學(xué)生很少能夠親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)過(guò)程，也無(wú)法體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，這進(jìn)一步降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.正是基于這樣的教學(xué)現(xiàn)狀，新課程改革對(duì)數(shù)學(xué)教育不斷提出更高的目標(biāo)和要求. 然而，不論是“四基四能”，還是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，僅僅依靠教師單向的、講授式的教學(xué)，顯然是無(wú)法達(dá)成的.因此，在適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境下，“做數(shù)學(xué)”就成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的應(yīng)然選擇[1，2].

一、“做數(shù)學(xué)”理念下“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)分析

（一）“做數(shù)學(xué)”的基本概念

“做數(shù)學(xué)”教學(xué)理念起源于美國(guó)科學(xué)學(xué)科實(shí)施的“Hands-on”學(xué)習(xí)計(jì)劃，我國(guó)于20世紀(jì)90年代在幼兒園和小學(xué)的科學(xué)教育中引入，后被引入數(shù)學(xué)教育[3].“做數(shù)學(xué)”理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)知識(shí)源于生活，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)觀察生活現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題.和傳統(tǒng)教學(xué)相比，“做數(shù)學(xué)”理念下的教學(xué)，不再將教師作為課堂的主體，教師不直接告知問(wèn)題的答案，而是引導(dǎo)學(xué)生自己設(shè)計(jì)操作、親身實(shí)驗(yàn)，在動(dòng)手操作的過(guò)程中經(jīng)歷新概念或者規(guī)律的形成，感悟思維和知識(shí)的發(fā)生.除了傳授數(shù)學(xué)新知外，“做數(shù)學(xué)”課堂還注重幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)基本思想，探究解決問(wèn)題的基本路徑，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

（二）“圖形的旋轉(zhuǎn)”教材分析

“圖形的運(yùn)動(dòng)”貫穿整個(gè)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，而初中階段強(qiáng)調(diào)學(xué)生能夠通過(guò)探索來(lái)理解平面圖形運(yùn)動(dòng)的內(nèi)涵，這也意味著學(xué)生需要更加主動(dòng)、系統(tǒng)地研究圖形運(yùn)動(dòng)之間的共性和個(gè)性問(wèn)題. 在蘇科版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)中，“旋轉(zhuǎn)”是繼“平移”和“翻折”之后學(xué)習(xí)的另一種圖形的基本運(yùn)動(dòng)方式，也是后續(xù)學(xué)習(xí)“中心對(duì)稱圖形”的基礎(chǔ)，在知識(shí)體系中起著承上啟下的作用.旋轉(zhuǎn)的基本概念及對(duì)其性質(zhì)的探索和歸納是這節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn).數(shù)學(xué)課堂不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等顯性知識(shí)，更應(yīng)重視顯性知識(shí)背后的學(xué)科思維、研究路徑和學(xué)科價(jià)值等默會(huì)知識(shí).然而，在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師一般直接講授圖形旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì).這樣，學(xué)生就很難體會(huì)圖形的旋轉(zhuǎn)到底是如何發(fā)生的，又應(yīng)該如何去探究、發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).這也導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法用運(yùn)動(dòng)的眼光去觀察生活實(shí)際、去分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

為了解決這個(gè)“教與學(xué)”的矛盾，筆者從“做數(shù)學(xué)”理念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，以直觀地感受旋轉(zhuǎn)前后圖形所對(duì)應(yīng)的基本元素在形狀、大小和位置關(guān)系上的不變性，體會(huì)圖形旋轉(zhuǎn)基本概念和性質(zhì)的生成過(guò)程，進(jìn)而歸納研究圖形運(yùn)動(dòng)的一般方法.學(xué)生通過(guò)自己的親身體驗(yàn)來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題，更能提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（三）設(shè)計(jì)理念

1.以生活實(shí)際為源，抽象數(shù)學(xué)新知

任何知識(shí)都離不開(kāi)生活，筆者從學(xué)生生活實(shí)際出發(fā)，從具體到抽象，從感性到理性，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)自然界和生活中的運(yùn)動(dòng)，并從中抽象出旋轉(zhuǎn)模型，然后嘗試歸納旋轉(zhuǎn)的基本概念，探索其性質(zhì).

2.以學(xué)生操作為主，體會(huì)知識(shí)生成

對(duì)旋轉(zhuǎn)基本概念和性質(zhì)的探究是這節(jié)課的核心環(huán)節(jié).筆者讓學(xué)生操作系著砝碼的細(xì)繩以歸納旋轉(zhuǎn)的概念和基本要素，操作半透明的硫酸紙以探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì).整個(gè)課堂緊扣學(xué)生的主體地位，以探究式教學(xué)為主，引導(dǎo)學(xué)生在“觀察—操作—交流—?dú)w納—應(yīng)用”的實(shí)踐過(guò)程中主動(dòng)探索、合作交流，在“做”的過(guò)程中充分體會(huì)新知的生成過(guò)程.

3.以整體理解為引，架構(gòu)知識(shí)脈絡(luò)

笛卡爾指出：“要從錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中區(qū)別出最簡(jiǎn)單事物，然后進(jìn)行有秩序的研究.這就要求我們?cè)谀切┮呀?jīng)通過(guò)演繹得到真理的推理過(guò)程中，觀察哪一個(gè)事物是最簡(jiǎn)單項(xiàng)，以及觀察這個(gè)項(xiàng)與其他項(xiàng)之間關(guān)系的遠(yuǎn)近，或者相等.”[4]圖形的旋轉(zhuǎn)是三種基本運(yùn)動(dòng)方式之一，那么在研究旋轉(zhuǎn)時(shí)就需要認(rèn)識(shí)到平移、翻折、旋轉(zhuǎn)之間的整體聯(lián)系;同時(shí)作為“中心對(duì)稱圖形”的章首課，整個(gè)課堂不應(yīng)止于下位知識(shí)的探索，而是要幫助學(xué)生明確課堂研究的目標(biāo)是什么，又是如何去研究的，即幫助學(xué)生明確圖形的運(yùn)動(dòng)要研究的是圖形的“形狀、大小和位置”，要研究的是運(yùn)動(dòng)中的“變中不變”，從而真正提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

二、“做數(shù)學(xué)”理念下“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一：情境引入，梳理脈絡(luò)

問(wèn)題1：法國(guó)著名哲學(xué)家伏爾泰有過(guò)這樣一句名言“生命在于運(yùn)動(dòng)”，正是因?yàn)楦鞣N運(yùn)動(dòng)，我們的生活才充滿生機(jī)，你能發(fā)現(xiàn)下列生活場(chǎng)景中的運(yùn)動(dòng)方式嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】社會(huì)、數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的影響不是孤立的[5]，“做數(shù)學(xué)”理念下的教學(xué)從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生從生活實(shí)際中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.該問(wèn)題通過(guò)生活場(chǎng)景喚醒學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)其梳理幾種運(yùn)動(dòng)方式的特征。此外，格言引入式開(kāi)場(chǎng)白還能夠活躍課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

問(wèn)題2：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)我們之前是如何研究圖形的平移和翻折的？

【設(shè)計(jì)意圖】平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是義務(wù)教育階段研究的三種基本運(yùn)動(dòng)方式，三種運(yùn)動(dòng)方式的研究路徑也具有一致性. 該問(wèn)題從整體建構(gòu)理念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生回憶平移和翻折的相關(guān)知識(shí)，梳理其研究路徑.在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的鋪墊下，學(xué)生探索圖形的旋轉(zhuǎn)就“有路可循”.同時(shí)，這也能讓學(xué)生初步感悟圖形運(yùn)動(dòng)研究的目標(biāo)是圖形的“形狀、大小和位置”的“變中不變”，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生合理聯(lián)想、類比推理等能力.

環(huán)節(jié)二：探索新知，形成概念

問(wèn)題3：同學(xué)們，生活中有不少旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，你能準(zhǔn)確說(shuō)出旋轉(zhuǎn)的基本概念嗎？

問(wèn)題4：讓我們動(dòng)手操作來(lái)探索旋轉(zhuǎn)的概念（用細(xì)繩和砝碼），同時(shí)請(qǐng)思考，旋轉(zhuǎn)需要研究哪些基本要素？

【設(shè)計(jì)意圖】“做數(shù)學(xué)”理念下，教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用材料和工具，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)操作、實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐等活動(dòng)，讓學(xué)生能夠通過(guò)具身體驗(yàn)來(lái)獲得數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)[6]. 旋轉(zhuǎn)的基本概念和三要素是這節(jié)課要研究的重點(diǎn)，也是研究旋轉(zhuǎn)的起點(diǎn).學(xué)生已經(jīng)初步知曉了什么樣的生活現(xiàn)象是旋轉(zhuǎn)，卻不能給出旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)定義，不論是課件上的圖片還是精美的動(dòng)畫(huà)都無(wú)法讓學(xué)生直觀、準(zhǔn)確地感受到旋轉(zhuǎn)過(guò)程的動(dòng)態(tài)變化，因此也無(wú)法幫助學(xué)生抽象出旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)模型.該環(huán)節(jié)緊扣學(xué)生的具身體驗(yàn)，通過(guò)細(xì)繩和砝碼設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生上臺(tái)演示旋轉(zhuǎn)過(guò)程.在操作的過(guò)程中，教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：“拿住細(xì)繩一端的手是否能夠改變位置？旋轉(zhuǎn)過(guò)程中細(xì)繩的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？砝碼向哪個(gè)方向旋轉(zhuǎn)？砝碼旋轉(zhuǎn)的角度是什么？”在觀察運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生歸納出旋轉(zhuǎn)的基本概念，同時(shí)明確旋轉(zhuǎn)需要研究的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度.值得注意的是，細(xì)繩也代表了旋轉(zhuǎn)中心與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，其長(zhǎng)度不變也代表了旋轉(zhuǎn)中心與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線長(zhǎng)度不發(fā)生改變，這也為旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探究埋下伏筆.

環(huán)節(jié)三：實(shí)踐操作，探索性質(zhì)

問(wèn)題5：我們已經(jīng)知道了旋轉(zhuǎn)的概念，下面我們要研究什么？我們又該如何研究呢？

【設(shè)計(jì)意圖】“做數(shù)學(xué)”理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性和教學(xué)過(guò)程的交互性. 旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探究是這節(jié)課的核心內(nèi)容，這個(gè)環(huán)節(jié)不是直接告知學(xué)生旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，而是引導(dǎo)學(xué)生知曉研究目的、明確研究方法.研究目的是非常明確的，即旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).對(duì)于研究方法，問(wèn)題4中砝碼的旋轉(zhuǎn)恰好給出了一個(gè)范例.我們可以將砝碼抽象成一個(gè)點(diǎn)，從點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)開(kāi)始研究，再研究線段和三角形的旋轉(zhuǎn)，從特殊到一般，從局部到整體，進(jìn)而歸納出圖形旋轉(zhuǎn)的一般性質(zhì). 圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的研究路徑詳見(jiàn)圖1.

問(wèn)題6：請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手操作（旋轉(zhuǎn)硫酸紙），在操作的過(guò)程中探索點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)有什么性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究應(yīng)當(dāng)是有序的，須由淺入深，沿著研究路徑逐步探索復(fù)雜問(wèn)題的解決方法.該環(huán)節(jié)從點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)入手，拾階而上再研究復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn).通過(guò)旋轉(zhuǎn)硫酸紙，學(xué)生能夠觀察到點(diǎn)是如何旋轉(zhuǎn)的，這就解決了“為什么要連接旋轉(zhuǎn)中心與對(duì)應(yīng)點(diǎn)”這個(gè)樸素又關(guān)鍵的問(wèn)題.據(jù)此，學(xué)生能直觀地發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.對(duì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行探索能夠幫助學(xué)生明確探究的目標(biāo)，即在旋轉(zhuǎn)這個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程中有哪些元素是不變的，繼而對(duì)下階段探究線段和三角形的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生類比、聯(lián)想和深化，明確研究旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的一般方法.

問(wèn)題7：你會(huì)探究線段旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)嗎？請(qǐng)按照點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)的研究方法繼續(xù)探究.

追問(wèn)：和點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)不同，線段的旋轉(zhuǎn)要注意什么呢？

【設(shè)計(jì)意圖】基于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)的研究經(jīng)驗(yàn)，線段的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探究路線也逐漸明晰.和點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)有所區(qū)別的是，在線段的旋轉(zhuǎn)中，旋轉(zhuǎn)中心位置具有不確定性，即在線段上和在線段外，這也是在探究過(guò)程中需要處理好的問(wèn)題生成與問(wèn)題深化之間的關(guān)系.在實(shí)際操作中，學(xué)生從點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度延伸能夠自然聯(lián)想到的是圖2-1中旋轉(zhuǎn)中心在線段端點(diǎn)處的情況.這種情況下能夠得到如下發(fā)現(xiàn)：AB=AB′，且∠BAB′即為旋轉(zhuǎn)角.這也是大部分學(xué)生得到的結(jié)果. 此時(shí)應(yīng)進(jìn)行追問(wèn)：旋轉(zhuǎn)中心的位置是否具有不確定性？在圖2-2中不難有如下發(fā)現(xiàn)：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.在圖2-3中可以有如下發(fā)現(xiàn)：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.

問(wèn)題8：相信同學(xué)們已經(jīng)知道如何研究三角形的旋轉(zhuǎn)了，請(qǐng)大家嘗試動(dòng)手操作.

追問(wèn)：對(duì)于更復(fù)雜的圖形的旋轉(zhuǎn)，你要如何探究？

【設(shè)計(jì)意圖】系統(tǒng)地研究了點(diǎn)與線段的旋轉(zhuǎn)后，三角形旋轉(zhuǎn)的探究路線也躍然紙上，這是從局部到整體的遷移.有了線段旋轉(zhuǎn)的研究基礎(chǔ)，學(xué)生在旋轉(zhuǎn)硫酸紙的過(guò)程中就會(huì)很自然地對(duì)旋轉(zhuǎn)中心位置進(jìn)行分類，分別是在三角形邊上（如圖3-1）、三角形內(nèi)部（如圖3-2）和三角形外部（如圖3-3）.學(xué)生在認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)是剛體變換的同時(shí)也知道如何去探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即需要連接旋轉(zhuǎn)中心和對(duì)應(yīng)點(diǎn)，將目光集中于旋轉(zhuǎn)角的相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心連線的長(zhǎng)度相等，去探究“變中不變”.對(duì)于更復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)，探究目標(biāo)和研究路徑也已然明確.由此，學(xué)生不僅習(xí)得了性質(zhì)，更獲得了數(shù)學(xué)研究的方法，提升了解決問(wèn)題的能力.

問(wèn)題9：請(qǐng)同學(xué)們歸納圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】“做數(shù)學(xué)”理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得認(rèn)知的主體性，在性質(zhì)的歸納環(huán)節(jié)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果中歸納、總結(jié)出旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 在學(xué)生探究了點(diǎn)、線段和三角形的旋轉(zhuǎn)之后，教師需引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)三者的共性，即旋轉(zhuǎn)前后圖形全等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角. 值得注意的是，在歸納過(guò)程中教師需要幫助學(xué)生明確旋轉(zhuǎn)的整體性，即圖形上的每一個(gè)點(diǎn)均隨圖形的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn).

環(huán)節(jié)四：巧用性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)作圖

問(wèn)題10：你能畫(huà)出點(diǎn)A繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后獲得的圖形嗎？線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形呢？三角形ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形呢？更多復(fù)雜的圖形呢？

問(wèn)題11：如圖4（見(jiàn)下頁(yè)），在正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別在BC、AB上，△ABE經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到△ADF.

（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？（2）旋轉(zhuǎn)角為多少度？（3）你能找到點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G′嗎？（4）若點(diǎn)M是△ABE內(nèi)任意一點(diǎn)，你能找到點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】性質(zhì)的應(yīng)用與性質(zhì)的探索類似，還是按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的研究路徑.問(wèn)題10的設(shè)置，是為了引導(dǎo)學(xué)生思考如何畫(huà)出復(fù)雜圖形旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，即可將復(fù)雜圖形進(jìn)行分解，如將三角形的旋轉(zhuǎn)分解成點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，從而確定旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，這可讓學(xué)生感受到局部（點(diǎn)、線）與整體（三角形、復(fù)雜圖形）之間的聯(lián)系. 問(wèn)題11的設(shè)置，是為了檢驗(yàn)學(xué)生是否能夠識(shí)別旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角，是否能夠找到旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，以及是否能夠認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)是整體的.

環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)，梳理框架

問(wèn)題12：你能說(shuō)出這節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，是如何來(lái)研究圖形的旋轉(zhuǎn)的嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】課堂小結(jié)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生梳理課堂學(xué)習(xí)流程，幫助學(xué)生梳理研究數(shù)學(xué)新知的一般路徑，即概念、性質(zhì)與應(yīng)用，進(jìn)一步體現(xiàn)類比思想在探究三種運(yùn)動(dòng)方式中的應(yīng)用. 對(duì)研究路徑進(jìn)行梳理還能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到運(yùn)動(dòng)知識(shí)的整體性，以及數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系.圖形的運(yùn)動(dòng)研究路徑詳見(jiàn)圖5.

三、對(duì)“做數(shù)學(xué)”理念下的教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

（一）聚焦生活情境，讓數(shù)學(xué)種子在動(dòng)手操作過(guò)程中生根

義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源、學(xué)習(xí)素材的選取都和現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系，因此，課堂教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生熟悉的生活實(shí)際出發(fā).教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察并用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活現(xiàn)象，引發(fā)共鳴，產(chǎn)生探索新知的內(nèi)在需求及主動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，進(jìn)而樂(lè)于學(xué)習(xí).“做數(shù)學(xué)”理念下旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)的探究，主張從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，強(qiáng)調(diào)自主動(dòng)手探究，這也是其和傳統(tǒng)課堂最大的區(qū)別.一方面，教師要強(qiáng)調(diào)學(xué)生在課堂中應(yīng)圍繞某個(gè)問(wèn)題，自己動(dòng)手開(kāi)展一系列的操作、實(shí)驗(yàn)、歸納等實(shí)踐活動(dòng)，通過(guò)自主操作感悟數(shù)學(xué)知識(shí).另一方面，教師也要鼓勵(lì)學(xué)生選取生活中常見(jiàn)的材料并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn).

例如，在這節(jié)課的教學(xué)中，筆者從常見(jiàn)的生活場(chǎng)景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活情境，抽象出運(yùn)動(dòng)方式，引發(fā)學(xué)生思考：“生活中常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)之間有何關(guān)聯(lián)？旋轉(zhuǎn)到底具有怎樣的性質(zhì)？”由此將課堂需要研究的“大問(wèn)題”拋出，拉開(kāi)課堂探究的序幕.在這節(jié)課安排的“環(huán)節(jié)二”中，筆者讓學(xué)生操作生活中常見(jiàn)的細(xì)繩和砝碼，以此探索旋轉(zhuǎn)的基本概念及三要素，進(jìn)而抽象出點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)的模型. 實(shí)際上，細(xì)繩連接的砝碼正是點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)的雛形，細(xì)繩這一橋梁解決了“為什么要連線”這個(gè)最樸素的問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中細(xì)繩長(zhǎng)度不發(fā)生改變也恰恰折射出對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等這個(gè)性質(zhì)，為后續(xù)探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)打下基礎(chǔ). 經(jīng)過(guò)系列探究，圖形旋轉(zhuǎn)概念的生成過(guò)程不再是機(jī)械的記憶，學(xué)生用自己的頭腦、情感和肢體去思考、體驗(yàn)，“做”出默會(huì)知識(shí)，發(fā)展了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

（二）緊扣學(xué)生主體，讓學(xué)科知識(shí)在思維碰撞中生成

知識(shí)、技能和能力的獲得最終都需要學(xué)生自我進(jìn)行內(nèi)化，因此，整個(gè)課堂教學(xué)應(yīng)該緊密?chē)@學(xué)生的主體實(shí)踐展開(kāi).不論是旋轉(zhuǎn)的概念、旋轉(zhuǎn)三要素還是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探究，都需要學(xué)生親自動(dòng)手操作，教師則要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、歸納.整個(gè)課堂中教師應(yīng)起到主導(dǎo)作用，讓學(xué)生以小組為學(xué)習(xí)形態(tài)，并充分關(guān)注學(xué)生個(gè)體學(xué)習(xí)與協(xié)同發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生在“做”的過(guò)程中不斷完善研究路線和實(shí)驗(yàn)方案，培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性和多樣性.

例如，旋轉(zhuǎn)概念及性質(zhì)的探究是這節(jié)課的核心環(huán)節(jié)，在“環(huán)節(jié)三”中，筆者為學(xué)生提供了協(xié)同學(xué)習(xí)的材料硫酸紙.在探究過(guò)程中，不論是由點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)出發(fā)，經(jīng)歷線段的旋轉(zhuǎn)和三角形的旋轉(zhuǎn)的探究路徑，還是由旋轉(zhuǎn)中心位置的不確定性引發(fā)的不同旋轉(zhuǎn)類型，都需要小組分享、全員溝通，需要教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，從而不斷完善實(shí)驗(yàn)方案.在這樣的協(xié)同學(xué)習(xí)中，學(xué)生才能體會(huì)知識(shí)的生成過(guò)程，感受到自身能力的提升.

（三）著眼學(xué)科育人，讓核心素養(yǎng)在整體探究中生長(zhǎng)

“做數(shù)學(xué)”的課堂預(yù)設(shè)是多元的：不僅關(guān)注知識(shí)的獲取與應(yīng)用，也關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別;不僅關(guān)注問(wèn)題的解決和分享，也關(guān)注問(wèn)題的生成與深化. 學(xué)生之間思維的碰撞往往能夠激發(fā)學(xué)生個(gè)體的思考、發(fā)展創(chuàng)新思維，學(xué)生在交流的過(guò)程中也更易發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

這節(jié)課有一明一暗兩條研究線路. 一是明線，即旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)知識(shí)的生成過(guò)程.整個(gè)過(guò)程以學(xué)生為主體，教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，并在生生、師生對(duì)話中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)元素的不變性. 在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步深化問(wèn)題，提出“對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線有何性質(zhì)，又要如何研究”.二是暗線，即將圖形旋轉(zhuǎn)與平移、翻折之間的聯(lián)系與區(qū)別貫穿于整個(gè)探究過(guò)程. 首先明確的是旋轉(zhuǎn)、平移和翻折研究路徑的一致性，都是從概念出發(fā)，繼而研究其基本性質(zhì)和應(yīng)用. 在旋轉(zhuǎn)概念的探究過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的特征，對(duì)比平移和翻折的概念，生成旋轉(zhuǎn)的基本概念，明確研究要素，即繞著一個(gè)定點(diǎn)、沿著順時(shí)針或者逆時(shí)針?lè)较?、轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度. 在旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探究過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和平移、翻折之間的區(qū)別，要研究的是對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線具有的性質(zhì)，而不是對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間連線的性質(zhì).

在這節(jié)課中，筆者不僅關(guān)注旋轉(zhuǎn)相關(guān)知識(shí)的探究，還通過(guò)“做數(shù)學(xué)”驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三種全等變換之間的邏輯關(guān)系，形成解決該類運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一般思維模式，體會(huì)數(shù)學(xué)研究的一般方法，這也是學(xué)科育人價(jià)值的體現(xiàn). 整個(gè)課堂教學(xué)緊緊圍繞學(xué)生自主設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案并動(dòng)手實(shí)踐，達(dá)成知識(shí)體系的建構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，真正實(shí)現(xiàn)了課堂角色的“翻轉(zhuǎn)”，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)在整體、深度的探究中不斷生長(zhǎng). [□][◢]

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