[摘? 要] PCK（教學內容知識）是數(shù)學教師教學必備知識. 以初高中函數(shù)概念銜接教學為載體，從MK，PK和CK三個維度，以高中數(shù)學課程標準為要求，探討PCK在數(shù)學教學過程中的作用.

[關鍵詞] PCK;函數(shù)概念;初高中銜接

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020修訂）》明確指出：數(shù)學學科核心素養(yǎng)是“具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)”[1]. 這樣的背景下，數(shù)學教師的教育教學理念、教學方法和手段以及教師角色都需要重新定位. 實踐證明，不管采用哪種教學模式，學生主體地位的體現(xiàn)程度都取決于教師的主導作用的發(fā)揮，而PCK（教學內容知識）是能夠支持教師體現(xiàn)主導作用并進行有效教學的最直接、最有效的專業(yè)知識.? 黃毅英、許世紅明確給出了數(shù)學教師教學知識的結構，包括MK（數(shù)學知識）、PK（教學法知識）、CK（內容知識）三個部分，是數(shù)學教師教學必備知識，而PCK是這些必備知識的公共部分[2].

函數(shù)作為初高中銜接的核心知識，不僅在高中知識體系中具有統(tǒng)領作用，而且對于發(fā)展學生的抽象思維和符號語言意識、幫助學生建立模型思想具有重要的意義，影響著高中數(shù)學中所有函數(shù)內容的學習.

[?]從CK的角度來看

CK（內容知識）是指教師具備的數(shù)學學科概念及其他知識，即教師要掌握數(shù)學概念的本質、內涵和外延以及學科內和學科間的聯(lián)系，也就是“教什么”的問題.

1. “課程標準”分析

“初中課程標準”的要求是通過簡單實例，了解函數(shù)的概念和三種表示方法[3];“高中課程標準”的要求是通過學生日常生活中熟悉的實例，用變量的關系，從集合的角度描述函數(shù)概念，通過學習建立完整的函數(shù)概念，深刻理解對應關系和符號的意義.

2. 高中教材分析

（1）高中教材（人教A版，后同）的“函數(shù)的概念和性質”位于“一元二次函數(shù)”和“冪函數(shù)”之間. 通過回顧初中熟悉的一元二次函數(shù)模型，再從集合角度學習函數(shù)概念和性質，緊跟著學習冪函數(shù)，鞏固研究函數(shù)的一般思路和方法. 在函數(shù)的概念教學中，應該把握概念教學的基本路徑，增強教學的整體性.

（2）注重現(xiàn)實問題情境的設置. 教材通過四個日常生活中的真實情境，引導學生思考“上述問題中的函數(shù)有哪些共同特征？”由此概括出函數(shù)概念的本質特征. 在豐富的活動情境中，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維.

（3）例題、習題的設置有梯度，循序漸進地培養(yǎng)學生的抽象能力和建模能力. 教材注重數(shù)學內容本身的背景和模型應用，重視發(fā)展學生的抽象思維和符號語言意識.

綜合以上分析，高中的“函數(shù)概念”對內容知識（CK）有以下要求：

（1）對函數(shù)三要素、“集合對應說”的理解不能停留于表面;

（2）掌握函數(shù)與方程、不等式之間的密切聯(lián)系，課堂問題的設置要呈現(xiàn)梯度;

（3）運用函數(shù)觀察、研究事物運動變化規(guī)律是一種重要的思想，函數(shù)是客觀世界運動變化規(guī)律的重要模型;

（4）整體而言，要從整個單元的高度進行函數(shù)概念教學，讓學生循序漸進地掌握知識.

[?]從MK的角度來看

MK（數(shù)學知識）需要結合學生已有知識和認知水平來分析教學內容，從知識內容、思想方法、能力素養(yǎng)等方面分析學生已經掌握的情況，即教師要掌握學生的最近發(fā)展區(qū)的情況. 同時，教師要了解學生在高中函數(shù)概念學習中可能遇到的知識困難和思維障礙，也就是“學什么”的問題.

1. 知識層面

在初中階段，學生已經從“變量說”層面學習過函數(shù)概念，并且學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質，這是高中階段從“對應說”層面學習函數(shù)概念的基礎. 以初中所學的函數(shù)知識為基礎，在“預備知識”（必修第一冊第二章）中回顧梳理了二次函數(shù)知識. 這樣學生就充分具備了進一步學習函數(shù)概念的最近發(fā)展區(qū)知識. 但是，為什么要重新定義函數(shù)概念？如何通過實例體會對應關系的真正含義和函數(shù)的抽象符號表示？解答這些問題對學生來說還是比較困難的.

2. 思想方法、核心素養(yǎng)層面

在初中階段，通過具體函數(shù)的學習，已經初步培養(yǎng)了學生函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想以及數(shù)學建模素養(yǎng)、數(shù)學抽象素養(yǎng). 高中教材在實例分析的基礎上，通過比較、歸納、總結出不同案例的共同特征，建立函數(shù)概念，這是在初中階段學習函數(shù)的基礎上強化培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的過程. 因此，要讓學生充分觀察、分析、歸納（舍棄無關信息，聚集關鍵特征，獲得共同屬性），形成總結函數(shù)概念所需要的素材，然后歸納總結函數(shù)三要素，這有助于培養(yǎng)學生的分析能力和創(chuàng)新精神[4]. 構建問題情境解釋函數(shù)的對應關系，可以進一步讓學生體會函數(shù)的模型應用，強化培養(yǎng)學生的數(shù)學建模核心素養(yǎng).

根據(jù)以上分析，筆者認為做好初高中函數(shù)概念教學銜接的關鍵是：以初中階段已學的函數(shù)知識（變量之間的依賴關系）為基礎，用數(shù)集的對應關系來描述函數(shù)，建立新的函數(shù)定義，理解新定義的必要性，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用.

[?]從PK的角度來看

PK（教學法知識）就是教師在MK和CK的基礎上，具體落實課堂教學內容. 換句話講，就是教師根據(jù)MK確定教學重點，根據(jù)CK確定教學難點，并有針對性地提出突出重點和突破難點的策略，創(chuàng)設合適的情境，設置合理的問題，利用多種途徑獲取能夠反饋學生學習過程的信息. 綜合各方因素，選擇合適的教學策略，做好相關的概念表征來幫助學生理解數(shù)學概念，建立相應的數(shù)學概念知識體系，等等. 簡單地說，就是“怎么教”的問題.

1. 用集合與對應語言建立函數(shù)概念

（1）具體實例，感知概念

教材中的實例1是“復興號”高速列車行進的路程和運行時間的關系，回顧初中階段所學的“變量說”函數(shù)概念，同時強調運行時間的變化范圍;課堂中，教師由此可以提出問題：你認為怎樣描述才能準確反映這個問題情境中的函數(shù)？教師在與學生討論的基礎上給出表述的示范.

實例2是工人工資與工作天數(shù)的關系，是離散型函數(shù);課堂中，教師可以讓學生模仿實例1給出精確的表述，然后設置“問題串”：問題1，比較實例1與實例2，是同一個函數(shù)嗎？問題2，這兩個函數(shù)有相同的對應關系，為什么不是同一個函數(shù)？問題3，你認為影響兩個函數(shù)不同的要素有哪些？引導學生認識到不能只由對應關系相同判定兩個函數(shù)相同，促使學生思考怎樣區(qū)別不同的函數(shù)，進一步認識函數(shù)自變量的變化范圍的重要性，歸納概括出函數(shù)三要素.

實例3將“空氣質量指數(shù)”的函數(shù)關系用圖像表示，體會其中的對應關系對學生來說是不容易的. 課堂中，教師必須給學生適當?shù)拈喿x思考的時間，可以給出以下幾個問題引導學生思考探索：問題1，根據(jù)給出的圖像，你能說出8：00的空氣質量指數(shù)值I嗎？你能說出16：00的空氣質量指數(shù)值I嗎？問題2，給定任意時刻t，能確定空氣質量指數(shù)值I嗎？問題3，給定時間t，如何找到唯一確定的I與它對應？（讓學生在圖上先找出來，再把對應過程表達出來——體會對應關系）問題4，I是t的函數(shù)嗎？函數(shù)的解析式是什么？問題5，這個函數(shù)可以怎樣表示？（體會用符號表示的必要性）問題6，模仿實例1和實例2，你能用集合語言和對應關系來描述這個問題情境中的函數(shù)嗎？I的取值范圍無法完全確定，這是學生在初中函數(shù)學習中不具備的，教師要適當引導學生可以通過引入一個較大范圍的集合，使函數(shù)值“落在范圍內”（為區(qū)分函數(shù)概念中的集合B和函數(shù)的值域做好鋪墊）.

實例4提供的是恩格爾系數(shù)表，學生在初中已經知道可以用表格表示函數(shù)，實例4能進一步讓學生認識用表格表示函數(shù)的對應關系，為函數(shù)的符號表示做好了充分的鋪墊.

（2）歸納函數(shù)概念

課堂上首先可以設置以下幾個問題：實例1至實例4的四個函數(shù)的共同特征有哪些？你能由此總結概括出函數(shù)的一般特征嗎？教學中一定要給予充分的時間讓學生總結歸納，當學生遇到困難時教師再適時提醒他們重新回顧實例中對函數(shù)的表述，然后師生一起概括出函數(shù)的本質特征，最后由教師引導學生總結：我們可以用圖像、表格、解析式等方式表示函數(shù)的對應關系. 為了方便統(tǒng)一表述，用符號表示對應關系.

筆者認為，在函數(shù)概念教學中，可以設置學生熟悉的日常生活情境，引導學生在多個情境中聚焦共性;可以設置有梯度的問題，引導學生從多個情境中概括出共同特征，總結得到函數(shù)的一般特征. 在這個過程中可以落實學生抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

2. 用具體實例體會對應關系的真正含義

學生對函數(shù)概念中的“任意”“唯一”是比較難以理解的，如果教師只是強調這些字眼，然后就進入解題訓練，這樣做的效果是不太好的. 為了讓學生更好地理解函數(shù)概念，筆者設置了三個問題：問題1，我們學習了新的函數(shù)概念，那你能用新概念解釋舊知識嗎？例如一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，你會怎樣表述這些函數(shù)呢？問題2，你能構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y(tǒng)=x（10-x）來表述嗎？問題3，y=t2（t∈R），y=x2（x∈R）是同一個函數(shù)嗎？引導學生從函數(shù)的定義與要素進行判斷，加深理解函數(shù)符號y=f（x），進一步體會“f”是一種對應關系. 在這個過程中可以落實學生數(shù)學建模素養(yǎng)和抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

總之，作為青年教師，一定要認識到PCK對自身專業(yè)成長的重要性. 在平時的教學實踐中，多反思自己的教學過程，從CK，MK，PK三個維度提升自己的能力. 有了豐富的學識，良好的表達能力，并且能站在學生的立場進行思考，自然就會發(fā)展出許多不同的教學策略，使用不同的教學表征讓學生理解數(shù)學概念.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 劉璇燕. 國內關于學科教學知識（PCK）的研究綜述及其對師資培訓的啟示[J]. 中學數(shù)學雜志（初中版），2010（06）：10-13.

[3]? 中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]? 章建躍. 第三章“函數(shù)的概念與性質”教材介紹與教學建議[J]. 中學數(shù)學教學參考，2019（10）：17-24.