徐紅兵

[摘? 要] 基于對學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的精準(zhǔn)探明和本學(xué)科獨(dú)特價(jià)值的清晰把握合理地設(shè)計(jì)教學(xué)，驅(qū)動學(xué)生在具體的問題情境中進(jìn)行有意義的探究活動，引導(dǎo)學(xué)生深度參與、深度思考、深度建構(gòu)、深度拓展，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，提升核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)知結(jié)構(gòu);教學(xué)設(shè)計(jì);深度學(xué)習(xí)

當(dāng)前，國家全面深化課程改革，把培育學(xué)生核心素養(yǎng)作為目標(biāo)追求，這必然需要新的教學(xué)理念促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)、落實(shí)核心素養(yǎng)的重要途徑. 本文以“余弦定理”教學(xué)為例說明如何基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

[?]以認(rèn)知結(jié)構(gòu)為本的教學(xué)理論

奧蘇貝爾講過，影響學(xué)習(xí)的唯一的重要因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么. 由此可見，認(rèn)知結(jié)構(gòu)對教學(xué)有著至關(guān)重要的影響，學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)，總是通過將新的知識與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識建立起聯(lián)系而進(jìn)行的，因此教師應(yīng)基于對學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的精準(zhǔn)探明和本學(xué)科獨(dú)特價(jià)值的清晰把握合理地設(shè)計(jì)教學(xué)，驅(qū)動學(xué)生在具體的問題情境中進(jìn)行有意義的探究活動，積極主動建構(gòu)，不斷將新的知識方法有機(jī)地納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系中.

[?]以認(rèn)知結(jié)構(gòu)為本的“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 探明學(xué)情

（1）探明學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識的概括性程度.

學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的與新的學(xué)習(xí)有關(guān)的知識的概括性越高，包容范圍越大，遷移的價(jià)值也就越大，越有助于學(xué)習(xí)新的知識. 學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形中的邊角關(guān)系和勾股定理、三角函數(shù)相關(guān)的知識、平面上兩點(diǎn)間的距離公式、坐標(biāo)法的應(yīng)用、平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，其中的向量法和坐標(biāo)法具有很高的概括性，為學(xué)生探究余弦定理提供了相應(yīng)的知識方法的儲備.

（2）探明學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識的可分辨度.

學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識與新學(xué)習(xí)的相應(yīng)知識的分辨度越高，越有助于實(shí)現(xiàn)正遷移、避免干擾，從而有助于新知識的學(xué)習(xí). 學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的勾股定理研究的是直角三角形中的邊的關(guān)系，這與將要學(xué)習(xí)的斜三角形中的邊角關(guān)系有著明顯的分辨度，以此為思維著力點(diǎn)，學(xué)生容易聯(lián)想到化斜為直、化未知為已知，找到探究余弦定理的思路方法.

2. 挖掘余弦定理在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)方面的教學(xué)價(jià)值

（1）確認(rèn)基本的數(shù)學(xué)觀念方法.

余弦定理的探究過程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)觀念，比如化歸與轉(zhuǎn)化、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、方程思想等，通過這些數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以形成變換觀念、坐標(biāo)觀念、本質(zhì)結(jié)構(gòu)觀念等.

（2）厘清數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識的層級關(guān)系.

按照建構(gòu)新知識的過程中所處的位置和作用，可以將推導(dǎo)余弦定理過程中用到的知識劃分為以下的層級關(guān)系（如圖1所示）：

3. 基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考.

從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量，從大禹治水到都江堰的修建等，人們都離不開對幾何圖形的測量、設(shè)計(jì)和計(jì)算. 例如，測量河流兩岸碼頭之間的距離可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊的問題：如圖2所示，△ABC中，已知AB和CB的長度，∠ABC的大小，求AC.

設(shè)計(jì)意圖：新課標(biāo)倡導(dǎo)以主題為引領(lǐng)，使問題情境化，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，可以引起學(xué)生研究問題的興趣，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)的思維思考問題.

（2）設(shè)置活動，驅(qū)動思考.

如果上述三角形是直角三角形，可以直接使用勾股定理或直角三角形中的銳角三角函數(shù)求解，但是許多情況下，提出的三角形都不是直角三角形，那么任意三角形的邊和角之間存在怎樣的關(guān)系？

師：根據(jù)同學(xué)們現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)，我們可以怎樣研究鈍角三角形中的邊和角之間的關(guān)系？請同學(xué)們思考問題1：已知△ABC中，AB=2，AC=2，∠BAC=120°，求BC的長.

生1：因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以作底邊BC上的高AD，在Rt△ABD中解出BD的長，進(jìn)而解出BC的長.

師：很好，利用等腰三角形的性質(zhì)，將鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形求解. 同學(xué)們再思考問題2：已知△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，求AC的長.

生2：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中解出AD=，BD=1;在Rt△ACD中，利用勾股定理解出AC=2.

生3：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，利用勾股定理列方程組BD2+AD2=22，

CD2+AD2=AC2，兩式相減得CD2-BD2=AC2-4. 又BD=1，BC=4，所以CD=3，代入上述方程解得AC=2.

師：很好，同學(xué)們通過作高，將斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)和勾股定理解決了問題. 請同學(xué)們思考更為一般的問題3：如圖3所示，△ABC為鈍角三角形，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，c和B，求b.

生4：可以過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD和Rt△ACD中應(yīng)用勾股定理可得BD2+AD2=AB2，

CD2+AD2=AC2，即BD2+AD2=c2，

（a-BD）2+AD2=b2，解得BD=. 又BD=ccosB，所以ccosB=，化簡得b2=a2+c2-2accosB.

設(shè)計(jì)意圖：先從特殊的三角形出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用化斜為直，將鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，化陌生為熟悉，再類比上述方法推導(dǎo)出三角形中一般的結(jié)論. 通過這個(gè)過程的求解，可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)中由特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的作用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

師：大家從推導(dǎo)出的結(jié)論b2=a2+c2-2accosB中能發(fā)現(xiàn)什么？

生5：當(dāng)角B為直角時(shí)，這個(gè)等式就是勾股定理.

師：很好，這說明我們得到的這個(gè)等式更具有一般性，還能發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式有什么作用？

生6：已知三角形中的兩邊a，c和它們的夾角B就可以求出第三邊b.

師：大家可以用學(xué)過的三角形中的知識來解釋一下這個(gè)結(jié)論嗎？

生7：根據(jù)三角形全等的判定定理“邊角邊”可知，已知三角形的兩邊a，c和它們的夾角B，則這個(gè)三角形就確定了.

師：很好，我們初中用判定定理“邊角邊”證明兩個(gè)三角形全等，通過剛才的研究，還可以定量計(jì)算. 請大家觀察上式的結(jié)構(gòu)，結(jié)合圖形，思考等式中的“accosB”和我們學(xué)過的什么知識有關(guān)聯(lián).

生8：兩邊及其夾角余弦的乘積是向量數(shù)量積的定義.

師：既然等式中出現(xiàn)了向量數(shù)量積的定義，大家能用向量法再次推導(dǎo)等式b2=a2+c2-2accosB嗎？

生9：結(jié)合三角形可知，等式的右邊“a2+c2-2accosB”是向量“-”的平方，由此可以聯(lián)想到三角形中的向量等式=-，兩邊平方可得2=2-2·+2，即b2=a2+c2-2accosB.

師：同學(xué)們很聰明啊，能從不同知識的角度思考問題、研究問題. 請大家接著思考：在我們已經(jīng)學(xué)過的知識結(jié)構(gòu)中，研究邊長的方法除了平面幾何中的線段長和向量中的模長，還有別的方法嗎？

生10：邊長還可以看成兩點(diǎn)間的距離，我們可以建立平面直角坐標(biāo)系來研究. 為了使點(diǎn)的坐標(biāo)簡單，可以這樣建系：以BC為x軸，B為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則C（a，0），B（0，0），A（ccosB，csinB）. 由平面上兩點(diǎn)間的距離公式可得b=，兩邊平方可得b2=a2+c2-2accosB.

師：非常好，同學(xué)們的視野很開闊，能夠充分地調(diào)動已經(jīng)學(xué)過的知識結(jié)構(gòu)，靈活地研究問題.

設(shè)計(jì)意圖：通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)聯(lián)想，調(diào)動學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中向量的相關(guān)知識，通過設(shè)置“問題串”，驅(qū)動學(xué)生去聯(lián)想、調(diào)動、激活以往的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生積極探究，以融會貫通的方式對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織，建構(gòu)出自己的知識結(jié)構(gòu)體系，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

（3）知識方法的理解和應(yīng)用.

根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accosB的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)生初步理解了應(yīng)用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：①已知三角形的三邊求角;②已知三角形的兩邊及其夾角，可以求出三角形的第三邊和其他兩個(gè)角.

例1 根據(jù)下列條件解三角形：

①已知b=3，c=1，A=60°，求a;

②已知a=4，b=5，c=6，求cosA.

解析：①由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×3×1×cos60°=7，即a=;②由余弦定理得cosA===.

（4）反思總結(jié)，提升素養(yǎng).

本節(jié)課強(qiáng)化化斜為直的轉(zhuǎn)化方法，突出方程（組）思想在求值類問題中的應(yīng)用;通過結(jié)構(gòu)類比，聯(lián)想到向量的相關(guān)知識，使用向量數(shù)量積的方法證明了余弦定理;再運(yùn)用坐標(biāo)法，推導(dǎo)出余弦定理，建構(gòu)了完整的知識方法體系.

[?]促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生

深度學(xué)習(xí)是學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)活動去聯(lián)想、調(diào)動、激活以往的經(jīng)驗(yàn)，以融會貫通的方式對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織，建構(gòu)出自己的知識結(jié)構(gòu)，是一種理解性的學(xué)習(xí). 通過基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)，可以促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，主要表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生深度參與

當(dāng)學(xué)生面對陌生的復(fù)雜問題時(shí)，表現(xiàn)出能夠創(chuàng)造性地分析、較快地形成解決思路、迅速地進(jìn)行決策、快速地整合資源解決問題的可遷移的素養(yǎng)，是深度學(xué)習(xí)學(xué)科育人的追求. 這種素養(yǎng)是學(xué)生解決具體問題的實(shí)踐中形成和發(fā)展的，中間的重要載體就是問題情境.

根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，激發(fā)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的元認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生深度參與新知識的探究思考. 本節(jié)課設(shè)置了生產(chǎn)生活中測量距離的問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，將實(shí)際情境抽象為解三角形的問題，深度參與知識的探究活動.

2. 設(shè)置探究問題，驅(qū)動學(xué)生深度思考

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，超越具體知識和技能深入到思維層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略的學(xué)習(xí)過渡到一般性的思維策略和思維品質(zhì)的提升，是學(xué)生深度思考的重要特征.

設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}，通過反問、追問與提出新的問題驅(qū)動學(xué)生深入思考. 本節(jié)課以直角三角形作為思考的邏輯起點(diǎn)，通過“問題串”的形式不斷追問學(xué)生，驅(qū)動學(xué)生探究問題，引導(dǎo)學(xué)生化斜為直，利用勾股定理構(gòu)造方程組，推導(dǎo)出余弦定理.

3. 開展交流活動，引領(lǐng)學(xué)生深度建構(gòu)

開展交流活動，在活動中碰撞出思維的火花，引領(lǐng)學(xué)生深入互動交流，實(shí)現(xiàn)深度建構(gòu). 本節(jié)課利用勾股定理推導(dǎo)出余弦定理后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，通過小組討論、合作探究等活動，促進(jìn)學(xué)生與任務(wù)、學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間深入互動交流，完善向量法和坐標(biāo)法的應(yīng)用，重新證明了余弦定理.

4. 做好總結(jié)反思，促使學(xué)生深度拓展

數(shù)學(xué)能力的發(fā)展主要指通過高層次的抽象實(shí)現(xiàn)思維能力的發(fā)展. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷優(yōu)化的過程，是學(xué)生的一種自覺行為，這需要教師幫助學(xué)生學(xué)會總結(jié)反思和再認(rèn)識，促使學(xué)生深度拓展.

本節(jié)課中教師應(yīng)教會學(xué)生做好總結(jié)反思，幫助學(xué)生建立這樣的認(rèn)識：余弦定理的推導(dǎo)是化歸思想的應(yīng)用，向量法的應(yīng)用是聯(lián)系變化的思想，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，總結(jié)出研究線段的方法體系，并以此為基礎(chǔ)嘗試推導(dǎo)出正弦定理.

[?]結(jié)語

總之，教學(xué)不能無中生有，更不能將知識硬塞給學(xué)生，基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，要將學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的知識方法作為教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)和主線，這將有助于引導(dǎo)學(xué)生充分地調(diào)動自己的知識結(jié)構(gòu)，多維度地思考和分析問題的解決思路和方法，主動建構(gòu)知識體系，發(fā)展高階思維，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).