李雅

[摘? 要] 為了更好地培養(yǎng)和提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，教師不僅要弄清核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，而且要理清數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含哪些核心素養(yǎng)，只有這樣才能設(shè)計(jì)出有利于培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)策略，以此深化學(xué)生理解，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展. 文章以“定值問題”為例，在問題的驅(qū)動(dòng)下，引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理抽象出一般結(jié)論，同時(shí)在運(yùn)用結(jié)論和構(gòu)造圖形的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，以此促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、思維能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力等綜合能力全面提升.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);問題;綜合能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多數(shù)教師依然側(cè)重結(jié)論教學(xué)，滿足“奇特”的性質(zhì)推廣，忽視過程的探究，從而使得學(xué)生對過程所蘊(yùn)含的思想方法的認(rèn)識不夠充分，不僅影響到了數(shù)學(xué)應(yīng)用，而且不利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng). “定值問題”不僅揭示了圓錐曲線的幾何本質(zhì)，而且體現(xiàn)了動(dòng)中有靜的辯證思想;它不僅是高考的熱門考點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生探究能力和思維品質(zhì)的重要素材. 若在教學(xué)中能夠合理開發(fā)利用，將有助于提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 筆者以“定值問題”為例，以“問題”為驅(qū)動(dòng)力，帶領(lǐng)學(xué)生共同探究蘊(yùn)含其中的有趣結(jié)論，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

[?]借助類比推理，誘發(fā)學(xué)生深度思考

利用類比推理有助于打破思維定式帶來的負(fù)面影響，有助于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有助于引發(fā)學(xué)生深度思考，其是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的重要舉措之一. 教學(xué)中，將相似或相關(guān)的內(nèi)容合理進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由特殊到特殊或由特殊到一般的過程，有助于學(xué)生更好地把握知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而加深學(xué)生對知識之間內(nèi)在聯(lián)系的理解，有助于學(xué)生認(rèn)知體系的建構(gòu)與完善. 教學(xué)中切勿直接將結(jié)論拋給學(xué)生就急于應(yīng)用，那樣只能將學(xué)生培養(yǎng)成解題的“工具”，不利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例1 探究“橢圓斜率之積為定值”.

師：如圖1所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)P為圓O上的任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），連接PA，PB，試問k·k是否為定值？為什么？

圓是學(xué)生較為熟悉的內(nèi)容，以圓為問題的切入點(diǎn)更易于引起學(xué)生共鳴. 問題給出后，學(xué)生很快就根據(jù)“直徑所對的圓周角為直角”這一性質(zhì)得出k·k= -1，即k·k為定值，定值是一個(gè)常數(shù).

師：如果將“圓”改為“橢圓”，你能給出完整的問題表述并加以證明嗎？（學(xué)生思考片刻后都躍躍欲試地想要表達(dá)自己的想法）

生2：如圖2所示，已知橢圓+=1（a>b>0），點(diǎn)A，B分別為橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），連接PA，PB，試問k·k是否為定值？為什么？

師：表述得非常準(zhǔn)確，那么該問題如何求解呢？（與圓相比，橢圓略顯復(fù)雜，教師預(yù)留一定的時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考）

生3：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則+=1，再利用斜率公式化簡消元易得k·k=-.

師：你們是否得出了與生3同樣的結(jié)論呢？（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭）

師：很好！看來大家都已經(jīng)靈活掌握了證明的方法，不過點(diǎn)A，B一定要是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)嗎？如果是上、下兩個(gè)頂點(diǎn)是否能夠得出同樣的結(jié)論呢？（問題給出后，學(xué)生開始積極地進(jìn)行驗(yàn)證）

生4：經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A，B為橢圓的上、下兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，該結(jié)論依然成立，即k·k=-.

師：很好，如果將該問題繼續(xù)拓展，轉(zhuǎn)化為一般性問題，你認(rèn)為點(diǎn)A，B還可以如何變化呢？

生5：點(diǎn)A，B為中心弦AB的兩個(gè)頂點(diǎn).

師：分析得非常好，探究過程在這里就不再重復(fù)了，請同學(xué)們課下進(jìn)行驗(yàn)證. 這樣我們從特殊出發(fā)，通過推理驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)了問題的一般規(guī)律，這是推理公式、證明結(jié)論常用的研究方法. 通過探究容易發(fā)現(xiàn)，雖然點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，但k·k卻是定值，在變化中蘊(yùn)含著不變的規(guī)律，這正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有趣之處.

師：如果繼續(xù)探究這個(gè)問題，你認(rèn)為接下來該如何進(jìn)行擴(kuò)展呢？

生6：接下來我們可以將橢圓換成雙曲線.

師：很好，對于這一類圓錐曲線有很多相似之處，限于課堂時(shí)間有效，解決這個(gè)問題請同學(xué)們課下完成.

這樣從學(xué)生熟悉的“圓”入手，通過類比聯(lián)想使問題由特殊向一般轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)一類問題的性質(zhì)，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力. 教學(xué)中，在學(xué)生基本明晰證明方案的基礎(chǔ)上，教師并沒有急于給出結(jié)論，而是預(yù)留一定的時(shí)間讓學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐親身推理驗(yàn)證，以此借助類比聯(lián)想讓學(xué)生再“跳一跳”，從而深化學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出了一類問題的變化規(guī)律，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

[?]運(yùn)用結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識

數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，若“數(shù)”與“形”能夠巧妙地結(jié)合在一起，不僅可以提高學(xué)生的解題效率，而且可以優(yōu)化解題過程，尤其解答幾何問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想顯得尤為重要. 解析幾何中的基本思想就是用代數(shù)方法來解決幾何圖形問題的，這樣對幾何圖形的認(rèn)識與理解自然就是解決代數(shù)問題的關(guān)鍵.

案例2 如圖3所示，已知點(diǎn)A，B分別為橢圓+=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），直線AP，BP分別交直線l：x=4于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的最小值.

師：觀察圖3，結(jié)合案例1，你能夠得到什么？

生7：k·k=-=-.

師：很好，該圖形符合案例1中的探究條件，因此結(jié)合基本圖形可以得到對應(yīng)的代數(shù)式. 本題要求線段MN的最小值，則先要求M，N的坐標(biāo)，那么求解時(shí)如何選擇參數(shù)能夠更方便、更快捷呢？

生8：可以將直線PA或PB的斜率作為參數(shù).

師：說一說你的想法.

生8：若設(shè)PA的斜率為k，由題意可知點(diǎn)A（-2，0），則直線PA的方程為y=k（x+2），令x=4，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo);又k·k=-=-，故直線PB的斜率為-，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo). 這樣求線段MN的長時(shí)可以根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得到關(guān)于k的表達(dá)式，問題自然就迎刃而解了.

師：很好，思路清晰，運(yùn)算過程簡潔，參數(shù)選擇適當(dāng)，很好地利用了案例1的結(jié)論，可見生8對基本圖形已經(jīng)掌握得非常嫻熟了，值得表揚(yáng).

生9：我剛剛解題沒有選擇斜率作為參數(shù)，選擇的是點(diǎn)P的坐標(biāo). 以點(diǎn)P的坐標(biāo)為參數(shù)，根據(jù)兩點(diǎn)式容易得到直線PA，PB的方程，接下來與生8的解答過程基本相同.

師：很好，大家可以順著兩位同學(xué)的思路“解一解”，比較一下優(yōu)劣.

生10：將斜率作為參數(shù)的運(yùn)算更簡潔，求解更方便.

師：確實(shí)，因?yàn)樯?在解題時(shí)很好地應(yīng)用了圖形的特性，從而使解題更加方便. 在研究解析幾何問題時(shí)，如果能將“數(shù)”與“形”緊密地聯(lián)系在一起，往往可以得到事半功倍的效果.

解析幾何問題是被公認(rèn)的難點(diǎn)問題，除“難”在思路外，運(yùn)算也相對復(fù)雜，需要學(xué)生具備一定的運(yùn)算技能和運(yùn)算技巧. 解決解析幾何問題時(shí)不僅要考慮思維難度，還要考慮運(yùn)算量. 解題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生提升思維的高度，降低運(yùn)算的難度，以此優(yōu)化運(yùn)算程序，提高解題效率.

[?]探究問題本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力

若想提高學(xué)生解決問題的能力，單憑簡單地強(qiáng)化解題方法、解題技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更多的要引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握問題的本質(zhì)，提高思維的敏銳性，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性.

案例3 如圖4所示，已知點(diǎn)M

，-1為橢圓+=1內(nèi)一點(diǎn)，M為弦AB的中點(diǎn)，求弦AB所在的直線方程.

師：對比案例1，觀察圖4，圖4中是否有滿足條件的基本圖形呢？

生齊聲答：沒有.

師：那么是否能構(gòu)造出以上的基本圖形呢？

生11：如圖5所示，連接AO并延長AO交橢圓于點(diǎn)C，連接BC，則k·k= -.

師：很好，基本圖形構(gòu)造好了，如果能夠求出k的斜率，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可求得直線AB的方程，那么如何求k呢？

生12：這個(gè)很簡單，如圖4所示，連接OM，根據(jù)已知可得OM為△ABC的中位線，則OM∥BC. 又k=-2，于是有k=，進(jìn)而求得直線AB的方程為2x-8y-9=0.

師：很好，這樣我們通過構(gòu)造基本圖形順利地建立起了等量關(guān)系，使問題迎刃而解，可見同學(xué)們對基本圖形已經(jīng)了如指掌了. 其實(shí)在很多題目中，基本圖形并不會(huì)直接給出來的，往往需要后面不斷地嘗試、試探，因此解題時(shí)要勇于嘗試，發(fā)揮動(dòng)手實(shí)踐的優(yōu)勢，以此挖掘出問題的本質(zhì)，提升解題效率.

縱觀歷年高考，圓錐曲線問題一直是高考的熱門考點(diǎn)，尤其對于“定值問題”更是考核的重中之重，要想讓學(xué)生將此類問題學(xué)懂學(xué)會(huì)，靠單一的“題海”強(qiáng)化往往是不夠的. 教學(xué)中教師要循序漸進(jìn)地通過引導(dǎo)讓學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，認(rèn)清何為偶然現(xiàn)象，何為必然結(jié)果，如何將特殊推廣至一般，從而提升學(xué)生的邏輯推理和邏輯演繹能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，教師要認(rèn)識到培養(yǎng)和提升學(xué)生的核心素養(yǎng)并不是一蹴而就的事情，因此教學(xué)中需要教師有足夠的耐心，不僅要將知識理解到位，而且要理解學(xué)生、理解教學(xué)，只有這樣才能在教學(xué)中給出科學(xué)的指導(dǎo)，在講授知識的同時(shí)，才能讓學(xué)生掌握蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，以此提高學(xué)生的核心素養(yǎng). 值得注意的是，教師在教學(xué)過程中要充分發(fā)揮引領(lǐng)作用，在問題的驅(qū)動(dòng)下讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)提問、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生的問題意識，促進(jìn)學(xué)生解決問題的能力全面提升.