【關(guān)鍵詞】數(shù)學思想;初高中銜接;教學設(shè)計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）18-0054-03

【作者簡介】陳柏良，浙江省紹興市高級中學（浙江紹興，312000）教師，浙江省特級教師。

2014年10月，筆者應(yīng)邀參加了江蘇省第26屆“教海探航”征文頒獎大會暨蘇派與全國名師課堂教學觀摩研討活動，在此期間開設(shè)了一節(jié)“函數(shù)的最值問題——以二次函數(shù)為例”的示范課。該課既是初中二次函數(shù)知識的拓展課，也是初高中知識的銜接課。由于授課對象是初三學生，因此在課堂上避免使用“單調(diào)性”和“閉區(qū)間”等術(shù)語。本文將授課內(nèi)容進行歸納與總結(jié)，以供參考。

一、教學設(shè)計

1.內(nèi)在邏輯線索。

2.教學過程設(shè)計。

簡短的導語后，讓學生說一說下列函數(shù)的最值情況。

【設(shè)計意圖】給出學生熟知的三個函數(shù)解析式和圖象，讓學生觀察、分析、表達各自的最值情況。師生共同提煉如何從“形”和“數(shù)”兩個方面對函數(shù)的最值情況進行分析與判斷。例如，對函數(shù)（3），既要能從解析式的特征上進行分析，得出y=（x-3）2-4≥-4，即當x=3時，函數(shù)有最小值-4;又要能從圖象特征上進行分析，得出：當x≤3時，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減小;當x>3時，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大。故當x=3時，函數(shù)有最小值-4。

教師指出，“形”是“數(shù)”的幾何反映，“數(shù)”是“形”的代數(shù)刻畫，它們是同一事物的兩種不同表現(xiàn)形式。在分析問題中常采用“數(shù)形結(jié)合”的方法，本節(jié)課將以二次函數(shù)y=x2-6x+5為例，進一步探討函數(shù)的最值問題。課上重點關(guān)注求最小值，最大值的求解留給學生課后探究。

問題1：當1≤x≤2時，求函數(shù)y=x2-6x+5的最小值。

該問題解答后，將自變量的取值范圍分別變更為“1≤x≤4”和“4≤x≤6”，讓學生繼續(xù)思考與分析。

【設(shè)計意圖】給定二次函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍，讓學生求最值，其間通過變更自變量的取值范圍引導學生分辨函數(shù)值是如何隨著自變量的變化而變化的，列出幾種不同情況，從中領(lǐng)悟出求二次函數(shù)最值的基本思想和具體方法。本問重在對知識的操作性理解，即讓學生懂得數(shù)學的基本概念、原理和方法，能夠運用所學知識解決一些識記性與操作性步驟比較強的簡單的問題。這里可先畫圖，然后截取自變量取值范圍內(nèi)的一段圖象，觀察分析。然后引導學生反思與感悟。

二次函數(shù)的解析式確定，如何求它在某一給定自變量取值范圍內(nèi)的最值？

在學生表達、交流的基礎(chǔ)上，師生共同概括出以下兩點：（1）求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;（2）關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與對稱軸的相對位置。

問題2：已知a為實數(shù)，當a≤x≤a+4時，求函數(shù)y=x2-6x+5的最小值。

【設(shè)計意圖】給定二次函數(shù)的解析式，但自變量的取值范圍從“確定”變更為“不確定”，讓學生從“問題1”概括出的思想和方法中受到啟發(fā)，進行畫圖（數(shù)形結(jié)合），分類討論求解。本問重在對知識的關(guān)系性理解，即學生對數(shù)學知識的本質(zhì)有比較深刻的認識，能夠把握數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，能夠運用（上一題）所學知識解決一些較綜合性問題。

接著，引導學生歸納：二次函數(shù)的解析式確定，如何求它在某一自變量取值范圍內(nèi)的最值？

教師仍引導學生從求解的“思想”和“方法”兩個視角加以概括，概括出以下兩點：（1）求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;（2）關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與對稱軸的相對位置。

為檢測學生是否領(lǐng)悟了以上的思想和方法，教師可提出如下問題供學生思考。

思考：已知a為實數(shù)，當a≤x≤a+4時，如何求下列函數(shù)的最小值？（僅要求談思路）

【設(shè)計意圖】置換函數(shù)背景，給學生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用知識的新情境，讓學生面對陌生的函數(shù)圖象，繼續(xù)思考如何求函數(shù)在某一自變量取值范圍內(nèi)的最小值。本問重在對知識的遷移性理解，即學生是否深刻理解數(shù)學知識，能否將數(shù)學思想、方法以及所學數(shù)學知識遷移到別的情境。然后，引導學生進一步歸納：函數(shù)的解析式確定，如何求它在某一自變量取值范圍內(nèi)的最值？

教師仍引導學生從求解的“思想”和“方法”兩個視角加以概括，概括出以下兩點：（1）求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;（2）關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與“關(guān)鍵點”的相對位置。

教師引導學生進一步認識，在“問題1”與“問題2”中，對稱軸不是主要的，主要的是二次函數(shù)的一個“頂點”，關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與“頂點”的相對位置?！绊旤c”在自變量的取值范圍內(nèi)，還是在自變量的取值范圍外？而對于一般函數(shù)，則關(guān)鍵是尋找使函數(shù)值變化規(guī)律發(fā)生變化的“關(guān)鍵點”，自然引出分類。

問題3：當1≤x≤4時，求函數(shù)y=x2-6x+m的最小值。

學生回答后，將函數(shù)解析式變更為y=x2-mx+5和y=mx2-6x+5（m≠0）。

【設(shè)計意圖】將二次函數(shù)的解析式由“確定”變更為“不確定”，讓學生繼續(xù)研究如何求函數(shù)在某一確定自變量取值范圍內(nèi)的最小值，以檢測學生是否“內(nèi)化”了領(lǐng)悟的思想和方法。解析式中的參數(shù)從常數(shù)項置換到一次項處，再到二次項處，不同的位置影響著函數(shù)的“頂點”的變化與否？思維含量逐漸增加，尤其是實數(shù)m作為二次項系數(shù)時，分類討論更為復(fù)雜，出現(xiàn)了二級分類（兩次討論），使問題的探究更為深入，更有意義。

求解后，再引導學生歸納：二次函數(shù)的解析式不確定，如何求它在某一確定的自變量取值范圍內(nèi)的最值？

教師仍引導學生從求解的“思想”和“方法”兩個視角加以概括，概括出以下兩點：（1）求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;（2）關(guān)鍵在于弄清楚開口方向及自變量的取值范圍與“頂點”的相對位置。

在完成以上3個問題的求解和概括后，教師引導學生回顧本節(jié)課研究的思路、所學的知識和領(lǐng)悟的思想、方法。特別地，通過對二次函數(shù)最值問題的研究，讓學生領(lǐng)悟求一般函數(shù)最值問題的思想和方法，即求解的本源在于“探明”在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律;關(guān)鍵在于弄清楚自變量的取值范圍與“關(guān)鍵點”的相對位置，即尋找“單調(diào)性改變的點”在哪里？在閉區(qū)間內(nèi)，還是在閉區(qū)間外，自然引出分類。同時深刻地體會“數(shù)形結(jié)合”和“分類討論”思想。

二、關(guān)于設(shè)計的幾點思考

1.在教學立意上，旨在讓學生領(lǐng)悟“大”的東西。

中國畫論有“意在筆先”一說，意指完成一幅作品，事先有立意：想表達什么意象？借什么具象來表達？怎樣構(gòu)圖？怎樣使用畫語等等。有了這些主觀的構(gòu)思，將之爛熟于胸，再提筆追寫，方能得其形神。數(shù)學課堂教學也是如此，上課前，我們得深入思考：本節(jié)課該設(shè)定怎樣的教學目標？培養(yǎng)學生哪些數(shù)學思維能力？在發(fā)展學生的智力、培育學生的理性精神上能做點什么？如何讓更多的學生在課堂上經(jīng)歷和體驗知識發(fā)現(xiàn)的樂趣？如何讓更多的學生通過課堂上的學與教獲得發(fā)展？有了這些認識和思考后，再合理設(shè)計教學程序和方法，方能實現(xiàn)數(shù)學課堂教學的優(yōu)質(zhì)與高效，實現(xiàn)數(shù)學教學的“育人”目標。

本節(jié)課，筆者的立意是以二次函數(shù)為載體，研究函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的最值問題。教學不拘泥于二次函數(shù)的“羈絆”，而是通過對學生熟悉的二次函數(shù)最值問題的剖析，讓學生領(lǐng)悟到求一般函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的最值問題，這是更為一般意義上的“大”的東西。數(shù)學教學要有模型思想，要培養(yǎng)學生對知識的遷移能力，讓學生能一般性地思考問題，只有當學生認識到一個原理可運用于各種不同的學習情境，并能運用它們使能力有效提高時，這些原理和知識才能算真正掌握并有實用價值，數(shù)學課堂教學才真正體現(xiàn)出它的高效率和高質(zhì)量。

2.在教學內(nèi)容上，善于將“米”釀成“酒”。

有這樣一個故事：一個徒弟去問他師傅，一碗米值多少錢？師傅說，一碗米，這太難說了，看在誰的手里。要是在一個家庭主婦手里，就是一碗飯的價值。要是在有點腦子的小商人手里，用粽葉包成粽子，就是四五塊錢的價值。要是到一個更有頭腦的大商人手里，釀成一瓶酒，有可能是一二十塊錢的價值。所以，一碗米到底值多少錢，因人而異。但可以說明的是：加工的時間越短，費的心思越少，越接近原來的形態(tài)，它的價值就越低。對教材內(nèi)容的加工處理亦如此。面對同樣的教材內(nèi)容，我們要有將其“釀”成酒的意識。這實際上也是解決好一個“教什么”的問題，“教什么”始終比“怎么教”重要。從“教什么”的角度看本節(jié)課，教師先通過一個顯而易見的例子（問題1），給定二次函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍，引導學生分析求解的原理和方法;然后用提煉出的原理和方法去解決后續(xù)問題2;接著拓展到對一般函數(shù)的最值的探究和對含參二次函數(shù)最值的探究。教學時從特殊到一般，從具體到抽象，逐步深入，揭示問題求解的本源和方法。

3.在教學目標上，著意教給學生數(shù)學的思想和觀念。

作為數(shù)學教師，要經(jīng)常思考這樣幾個問題：我們該以怎樣的方式教好數(shù)學？學生該以怎樣的方式學好數(shù)學？我教的課是數(shù)學課嗎？要教好數(shù)學就要充分關(guān)注數(shù)學的思想和觀念，在教學目標上就要突出教給學生數(shù)學的思想和觀念。教師通過知識這一載體，傳達給學生學科的觀點，學科的思想，讓學生能夠通過我們的教學，對數(shù)學問題的理解更加深刻，解決問題的方法更具有普遍意義，更符合數(shù)學學科的特點和邏輯。本節(jié)課在如何達成這一教學目標上構(gòu)思簡單，邏輯清晰。本節(jié)課整個教學設(shè)計有一條主線貫穿，讓人一下子能識別和讀懂求函數(shù)最值問題的“核心”和“精華”。整個設(shè)計從教學起點，到教學過程，再到教學結(jié)果，各個環(huán)節(jié)清清楚楚，自然流暢。學生逐步建構(gòu)起一般函數(shù)求最值問題的思想觀念。

4.在教學實施上，始終做到“近人情”。

清代張問陶《論詩絕句》中有曰：“好詩不過近人情?！逼鋵?，好課也不過近人情。課堂的近人情就是以學生為本去組織課堂教學。課堂上，教師心中要始終裝著學生，否則再巧妙的教學方法、教學技巧，失去這個根本就會變得毫無意義?！捌ぶ淮?，毛將焉附？”就是這個道理。本節(jié)課的設(shè)計，盡顯“以生為本”的理念，首先從淺顯的問題入手，設(shè)問在學生思維的最近發(fā)展區(qū)，從學生原有的知識經(jīng)驗中孕育新知識和新經(jīng)驗。其次，本課的問題設(shè)計逐漸深入，尊重學生的認知規(guī)律，并且在教學中始終尊重學生的思維，讓學生先思考、先表達，不局限于對問題求解思路、方法和結(jié)果的表達與交流，也關(guān)注到了學生在學習過程中的感受、情緒、認識、想法和念頭的表達與交流，包括分析、評論、欣賞、贊嘆等等，即情緒體驗的表達與交流。筆者認為，在平時的日常教學中，教師要多給學生表達和交流的時間和空間，要多傾聽學生的思維成果，由于學生都是在自己已有認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進行新的學習，他們對同樣的知識會有不同角度的理解，課堂上的表達與交流可以使師生獲得同一知識的不同側(cè)面理解的信息，顯然這對于知識的全面理解是極有好處的。另外，本節(jié)課中，筆者經(jīng)常問學生：你是怎么想的？大家都是這么想的嗎？筆者認為，這樣的“追問”，在促使學生“再想一想”的同時，往往會捕捉到學生“高水平的思維”，有時也會常常讓人“眼前一亮”。