阿麗米熱·艾尼

[摘? 要] 高中數(shù)學的學科地位及學科價值決定教學中不能搞“灌輸”和“題?！?，教師應以發(fā)展學生為出發(fā)點，注意教學素材的積累和整合，以“三個理解”為基礎(chǔ)合理地開發(fā)和利用多樣教學資源，引發(fā)學生數(shù)學思考，優(yōu)化學生認識，提升教學品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 教學素材;數(shù)學思考;教學品質(zhì)

人們常說“得數(shù)學者得天下”，可見數(shù)學學科在高中學科中的價值和地位. 數(shù)學教學旨在促進學生高效、自主地學習. 為了追求高效，大多數(shù)教師認為“灌輸”和“題?！笔亲钣行У慕虒W手段，然實踐證明，“灌輸”和“題?！辈粌H會增加教學負擔，使得“教師教得苦，學生學得累，教學收益低”，而且無法達到教學預期. 其實只有讓學生“樂學”“會學”才能實現(xiàn)高效、高質(zhì)的教學目標. 為了讓學生“樂學”“會學”，教師要從學生實際出發(fā)，知曉學生“之所需”“之所想”，尊重個體發(fā)展，讓“學”變成一件自發(fā)的、自然的事情，從而讓學生心悅誠服地優(yōu)化認知，以此提升課堂效率. 但在實際的解題教學中，為了趕進度，大多數(shù)教師習慣統(tǒng)一標準，將自己認為的最優(yōu)解決方案灌輸給學生，忽視了個體思維差異所帶來的解題差異，忽視了課堂生成性資源的開發(fā)與利用，從而使得課堂氛圍消極、低沉. 由于學生的思維方式、認識結(jié)構(gòu)、學習習慣等存在差異，因此對于同一問題往往可能有著不同的解決方案. 面對這些不同的解決方案時，教師應該為學生創(chuàng)設(shè)一個自我展示的平臺，從而捕捉思維的閃光點和障礙點，繼而通過有針對性的引導來優(yōu)化學生認知，提升學生的學習信心. 筆者以“基本不等式”復習課為例，談談幾點教學體會，以期共鑒！

[?]教學簡錄

1. 積累素材，豐富認知

根據(jù)教學經(jīng)驗和學生實際反饋來看，學生應用基本不等式時常常會因為忽略不等式的適用條件而出現(xiàn)錯解，因此教師在新知教學中會重點強調(diào)三個條件——“一正、二定、三相等”，有的教師還會強調(diào)“和定積最大”“積定和最小”等特征，但學生在實際應用中還是會出現(xiàn)“懂而不會”的現(xiàn)象，究其原因就是學生并沒有真正領(lǐng)悟其本質(zhì)，因此解題時自然會出現(xiàn)漏用或錯用的情況. 基于此，教師應充分暴露學生的思維誤區(qū)，以此找到問題的癥結(jié)，繼而通過有效引導幫助學生突破思維障礙.

本課教學中教師先與學生共同回顧了知識要點，然后給出了兩個具體練習例題進行知識的鞏固和強化.

例1 已知a，b均為正實數(shù)，且ab-a-2b=0，求-+b2-的最小值.

教師預留充足的時間讓學生獨立完成，教師巡視，學生解答如下：

解法1：因為+b2≥ab，+≥2，a+2b≥2=ab，三個不等式均是在a=2b時取“=”，所以只需求出a，b的值，代入所求即可.

解法2：將條件ab-a-2b=0轉(zhuǎn)化為1=+，所求即

-+b2-，猜測=時取最小值.

解法3：條件ab-a-2b=0等價于a+2b=ab，所求化簡為-ab-，整體消元為ab或a+2b的二次函數(shù)再求最小值.

例2 已知非負實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y=21，求xy+5x+4y的最小值.

學生解答如下：

解法1：xy+5x+4y≥xy+2，當且僅當5x=4y時取“=”，結(jié)合條件xy+2x+3y=21解出x，y，代入所求即可.

解法2：將xy+5x+4y消元化簡為10+3

x+3+

，0≤x≤，再利用基本不等式求解.

可見，同一問題涌現(xiàn)出了不同的解題方法，當面對不同的解題方法時教師的態(tài)度將直接影響學生的解題信心. 若教師不進行細致分析，僅對答案的對錯給予評價，將很難培養(yǎng)學生思維的深刻性和嚴謹性;若教師對不同解法視而不見，只是將自己的解題過程講授給學生，然后讓學生進行模仿，這樣不僅難以發(fā)散學生的思維，而且不易實現(xiàn)知識和方法的內(nèi)化. 其實，教師應尊重學生，鼓勵學生多角度、多維度地思考和解決問題，同時要對不同解法給予正面的評價，引導學生發(fā)現(xiàn)不同解法的優(yōu)缺點，從而實現(xiàn)解法的優(yōu)化和認知的完善.

2. 深度剖析，優(yōu)化認知

通過以上解法可以看出，雖然部分學生也得到了正確的答案，然不乏歪打正著和缺乏嚴密邏輯的情況，因此實際教學中教師有必要順著學生的思路“探一探”，明晰學生思維盲點，繼而通過合理的引導幫助學生跳出思維誤區(qū)，優(yōu)化學生認知. 為了明晰學生的思維過程，教師不妨與學生進行深入交流、探討，找到問題的癥結(jié)，繼而對癥下藥，糾正學生認知偏差，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.

（1）探究過程，糾正認知偏差

對于例1，通過以上三種解法所得的最終答案都是7，若學生給出答案后按照教師的方案解題，不僅難以發(fā)現(xiàn)學生解題中存在的問題，而且會深化學生的錯誤認識，繼而影響解決準確率的提升.

對于解法1，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得

+b2

-

+

≥ab-2，顯然這樣的推理是錯誤的，只是剛好在a=2b時取最小值. 實際教學中，教師沒有直接給出具體錯因，而是讓學生思考這樣一個問題：若將問題改編為“求++b2+的最小值”，那么

+b2

+

+

≥ab+2是否可以用解法1求解呢？

教師預留充足的時間讓學生交流，對于以上問題學生持有不同的態(tài)度：有的學生認為用解法1做沒有問題，求出a，b的值代入后就是定值，符合“二定”的條件，同時也能取等號;有的學生認為之所以能得到定值是因為先取了等號，不符合基本不等式的應用條件. 學生一時難以說服彼此. 此時教師并沒有直接指正，而是讓學生分析例2的解法1：等號成立時x=，y=3，但取x=1，y=或x=0，y=7等，代入xy+5x+4y的值均比等號成立時小，可見例1和例2的解法1是存在問題的. 但對于

+b2

+

+

≥ab+2，發(fā)現(xiàn)ab+2可以求出最小值，且當ab=8時取最小值，雖然多次運用了基本不等式，但是每次取等號的條件是相同的，故求++b2+的最小值時應用解法1是正確的.

這樣學生通過交流、對比、探究，發(fā)現(xiàn)了問題的癥結(jié)，達成了認知的共識，即多次應用基本不等式取最值時，一定要確保每次取等號的條件是相同的，也要保證出現(xiàn)定值.

在以上錯因分析過程中，教師預留了充足的時間讓學生自由爭論，引導學生自己發(fā)現(xiàn)了問題的癥結(jié)，有助于培養(yǎng)學生思維的深刻性，顯然優(yōu)于教師直接指正. 在復習階段，學生已經(jīng)具備了一定的分析和解決問題的能力，因此教師應學會放手，多給學生一些機會讓他們自己去發(fā)現(xiàn)，這樣可有效提升學生的自主學習能力.

（2）深度探究，達成共識

在日常教學中發(fā)現(xiàn)，部分學生學習時常常浮于表面，過度依賴直覺思維，不經(jīng)過探究就給問題下定義，如題難、題新、運算復雜等，從而解題時出現(xiàn)了畏難情緒. 大多數(shù)學生習慣在自己擅長的領(lǐng)域、用自己擅長的方式去思考和解決問題，顯然這樣難以發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案，不利于學生長遠發(fā)展. 教學中教師應引導學生進行多角度探究，以此讓學生認清問題的本質(zhì)，優(yōu)化學生的認知.

對于例1的解法2，學生之所以猜測=時取最值，主要源于條件及所求的，的地位的一致性，可見學生具有敏銳的洞察力. 為了深化理解，讓學生達成共識，教師繼續(xù)引導，讓學生通過換元來看清結(jié)構(gòu)特點：令m=，n=，則m+n=1，m>0，n>0，求+-1的最小值. 將+-1化簡為

-1

-2，由條件得0

回顧以上過程不難發(fā)現(xiàn)，“和定積最大”的特征已經(jīng)顯現(xiàn)，因此可以將所求轉(zhuǎn)化為與積有關(guān)的二次函數(shù)，問題即可迎刃而解. 有學生提出（a-2）（b-1）=2的積為定值，令m=a-2，n=b-1，則mn=2，m>0，n>0，所求為-+（n+1）2-的最小值，但轉(zhuǎn)化至此就不知道該如何轉(zhuǎn)化為mn了. 教師提示“積定”就是求m，n和的形式，問題化簡得+（m+2n）-1，而m+2n≥2=4，這樣根據(jù)“積定和最小”亦能求解.

再探究例1的解法3，其解題思路是將ab，a+2b看成兩元，用消元法將所求化簡. 分析學生解題思路后教師提出了這樣的問題：“本題是a，b兩元問題，是否能直接消元呢？”學生認為直接消元會很煩瑣，所以并沒有進行這樣的嘗試，于是師生共同嘗試消元a，得+b2-1，b>1，令b-1=t，即

t+

-2，顯然直接消元a通俗易懂，運算簡便. 可見，憑直覺并不能發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的解決方案，在解題中只有多嘗試，才能收獲最優(yōu)方案. 另外，解題過程中不能一味追求技巧，這樣可能會失去問題的本真，從而造成解題思路偏移，最終影響解題效果.

對于例2，條件xy+2x+3y=21可轉(zhuǎn)化為（x+3）（y+2）=27，符合“積定”的特征，令m=x+3，n=y+2，換元得mn=27，m≥3，n≥2，求3m+n+10的最小值，這樣應用基本不等式或線性規(guī)劃知識即可迎刃而解. 接下來教師又繼續(xù)啟發(fā)學生思考，令t=xy+5x+4y，將xy+2x+3y=21轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的二元一次方程組，消化并化簡得3x2+（28-t）x+3（28-t）=0，由Δ≥0得t≥28，經(jīng)檢驗，等號能取到.

回顧以上過程不難發(fā)現(xiàn)，在解決二元或多元問題時，消元可謂是解決此類問題最常用的處理方法，而合理換元可優(yōu)化整體關(guān)系，簡化運算過程，提升解題效率. 解題時不要拘泥于一種形式，應注意分析問題特征，借助多種渠道（如基本不等式、函數(shù)、方程等）優(yōu)化解題策略. 另外，應用基本不等式時要把握好應用的條件，抓住“和定”“積定”等特征合理轉(zhuǎn)化，繼而提升解題準確率.

3. 借助實踐，升華認知

通過深入探討，學生的探究熱情被激發(fā)出來，學生迫不及待地想用所學知識和方法去解決問題，此時若能提供獨立實踐的機會，定能實現(xiàn)鞏固認知，深化理解的效果. 基于此，教師精心選題，以“舊題新做”幫助學生及時鞏固和優(yōu)化認知.

例3 已知圓C被x軸分成兩段圓弧，弧長比為3∶1，截y軸所得弦長為2. 求圓心C到直線l：x-2y=0的距離最小的圓的方程.

根據(jù)已知，大多數(shù)學生容易得到圓心C（a，b）到直線l的距離為d=，且2b2-a2=1，但是求最值時望而卻步，現(xiàn)分析思路：

解法1：從幾何意義上進行解讀，可以應用線性規(guī)劃知識，轉(zhuǎn)化為l的平行線與雙曲線有公共點的問題，聯(lián)立a-2b=z，2b2-a2=1對a，b有解，消元得2b2+4bz+z2+1=0，由Δ≥0求得d的最小值.

解法2：直接從代數(shù)的角度求解.

①由d=去掉絕對值得a-2b= ±d，分別消元a代入2b2-a2=1，得到關(guān)于b的二次方程，由Δ≥0求得d的最小值.

②由d=兩邊平方去掉絕對值，可得5d2=a2+4b2-4ab，接下來學生又給出了多種解法：有的學生結(jié)合2b2-a2=1，變形得5d2=，分子分母同時除以b2，化簡后令p=3-，則3-2

可見，通過練習將剛剛探究中達成的共識融于解題之中，取得了較好的效果.

通過以上練習，帶領(lǐng)學生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的全過程，不僅讓學生深化了對以上例題的理解，而且糾正了學生認知偏差，使學生對常規(guī)解法和最優(yōu)方案也有了清晰的認識，有效拓展了學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)了思維的變通性.

[?]教后反思

經(jīng)歷以上過程不僅幫助學生夯實了基礎(chǔ)，而且進行了思維的拓展和提升，這對學生學習能力的提升是至關(guān)重要的. 結(jié)合上述教學實踐，筆者談幾點自己的心得體會：

首先，教師不要將自己的想法強加給學生，要尊重學生，將學生的解答過程轉(zhuǎn)化為寶貴的教學資源，并通過合理的開發(fā)和利用實現(xiàn)認知優(yōu)化. 在日常教學中，教師要了解學生，多留意他們?nèi)粘５膶W習過程，只有這樣才能準確把握學生的認識水平、解題習慣、學習動向和實際需求，從而有針對性地選擇教學內(nèi)容，設(shè)計教學過程，調(diào)整教學策略，以此讓課堂教學更適合學生的思維發(fā)展，讓學生學得自然、愉悅.

其次，教師要多鼓勵學生獨立思考、交流、總結(jié)和反思，注意培養(yǎng)學生良好的思維習慣和學習習慣. 教學中教師要多給學生一些時間和空間去思考、去表達、去嘗試、去探究，引導學生從多角度去分析和解決問題，這樣才能拓展學生的思維，優(yōu)化解題思路. 同時，解答后要引導學生進行反思，繼而認清問題的本質(zhì)，掌握解題的通法，形成批判性的思維習慣，進而逐漸提升學生的自主學習能力. 總之，實際教學中教師切勿急于求成，要通過深入探究來誘發(fā)學生深度思維，從而逐漸將知識內(nèi)化為能力，提升學生解決問題的能力.

再次，教學中教師要“以生為主”，遵循學生的認知規(guī)律，通過循序漸進地引導幫助學生完善認知. 在此過程中，教師要有足夠的耐心去啟發(fā)、指導、交流、傾聽，要充分了解學生，這樣才能通過有針對性的引導糾正學生認知的偏差，提升學生解決問題的能力.

最后，教師也要不斷提升自己、完善自己、發(fā)展自己. 在教學中改變傳統(tǒng)單一的教學模式，多方面積累教學素材，通過合理的開發(fā)和整合，助力學生全面提升.

總之，教師要尊重學生、信任學生、理解學生，注重學生“雙基”的提升和認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，為學生營造一個平等和諧的學習環(huán)境，讓學生感覺學習是一件自然的、愉悅的事情，以此激發(fā)學習動機，提升教學效率.