摘 要：溯源代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，大致有“修辭代數(shù)—縮略代數(shù)—符號(hào)代數(shù)”三個(gè)主要時(shí)期。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)《用字母表示數(shù)》時(shí)產(chǎn)生的錯(cuò)誤認(rèn)知與這三個(gè)時(shí)期有較多相關(guān)性，因此，在設(shè)計(jì)《用字母表示數(shù)》一課的教學(xué)時(shí)，可以參照人類“用字母表示數(shù)”的歷史過程進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以此引導(dǎo)學(xué)生走出認(rèn)知誤區(qū)。

關(guān)鍵詞：《用字母表示數(shù)》；歷史溯源；認(rèn)知誤區(qū)

“用字母表示數(shù)”是學(xué)生從自然的算術(shù)語言向抽象的代數(shù)語言過渡的起始，是算術(shù)思維向代數(shù)思維飛躍的開端，也是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“理解數(shù)量”轉(zhuǎn)向“探討關(guān)系”的標(biāo)志，具有非同尋常的價(jià)值定位。然而，正因?yàn)椤坝米帜副硎緮?shù)”是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)代數(shù)的起始，對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透又是隱性要求，導(dǎo)致一些教師的教學(xué)處理淺表化，給學(xué)生的學(xué)習(xí)、認(rèn)知造成了很多誤區(qū)。因此，教師需要對(duì)“用字母表示數(shù)”進(jìn)行深度剖析，在理解其歷史淵源和數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知水平、能夠引領(lǐng)學(xué)生走出認(rèn)知誤區(qū)的教學(xué)。

一、從認(rèn)知誤區(qū)開始分析

學(xué)生學(xué)習(xí)了《用字母表示數(shù)》一課后，有時(shí)并未對(duì)“用字母表示數(shù)”的本質(zhì)產(chǎn)生正確的認(rèn)識(shí)。筆者通過對(duì)一些剛上初中（七年級(jí)）的學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)普遍問題，于是對(duì)這些問題做了初步的分析。

（1）解釋代數(shù)式“2+25m”的實(shí)際意義時(shí)，學(xué)生回答“某工程隊(duì)修路，2天修25米”。說明學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的認(rèn)識(shí)停留在字母表示量的單位的層面，遇到字母無法第一時(shí)間想到其代數(shù)意義。（2）求解問題“已知圓的周長(zhǎng)為r，那么圓的面積是多少”時(shí)，近一半的學(xué)生將題目中的“周長(zhǎng)”當(dāng)作“半徑”來解答。這說明學(xué)生將某些字母的意義固化、窄化了，對(duì)字母在新情境下的意義理解不清。（3）求解問題“長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x，寬為y，求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”時(shí)，部分學(xué)生始終認(rèn)為“2x+2y”不是這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，因?yàn)椤?x+2y不是一個(gè)值”。這說明學(xué)生將代數(shù)式看作運(yùn)算的過程，無法將其作為運(yùn)算結(jié)果看待。（4）學(xué)習(xí)方程之后，學(xué)生依然選擇用算術(shù)方法求解應(yīng)用題，需要經(jīng)歷很長(zhǎng)一段時(shí)間才能轉(zhuǎn)變?yōu)槭褂梅匠痰却鷶?shù)方法……

這些普遍的錯(cuò)誤認(rèn)知再一次提醒我們，“用字母表示數(shù)”的價(jià)值定位不能只停留在理論上的“起始”“開端”“飛躍”，而要在學(xué)生接觸概念伊始就引領(lǐng)他們深入了解概念本質(zhì)，并帶領(lǐng)他們經(jīng)歷概念發(fā)生、發(fā)展的全過程。

二、追溯知識(shí)的發(fā)展歷史

學(xué)生認(rèn)知中的普遍錯(cuò)誤，往往出于對(duì)概念本質(zhì)的不理解，造成這一現(xiàn)象的主要原因之一是概念的發(fā)展歷程和內(nèi)在聯(lián)系被省略了，學(xué)生學(xué)到的只是孤零零的概念本身。

數(shù)學(xué)史家通常認(rèn)為，代數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了“修辭代數(shù)—縮略代數(shù)—符號(hào)代數(shù)”三個(gè)主要階段。這三個(gè)階段的特點(diǎn)和人們對(duì)“用字母表示數(shù)”的理解具有高度相關(guān)性。所以，了解和分析這三個(gè)時(shí)期“用字母表示數(shù)”的發(fā)展對(duì)我們?cè)O(shè)計(jì)、優(yōu)化教學(xué)具有重要作用。

代數(shù)學(xué)發(fā)展的早期，人們只會(huì)用大段的文字來表示研究對(duì)象，這一時(shí)期被稱為“修辭代數(shù)”時(shí)期。比如，3700年前，古埃及人用意為“一堆”的特殊文字來表示未知量；2600年前，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派能輕易說出具體的多邊形數(shù)，卻無法表達(dá)“任一”或“任意”；公元前3世紀(jì)，歐幾里得在《幾何原本》中，通過將偶數(shù)設(shè)為可平分的線段來證明“偶數(shù)相加，則其和也為偶數(shù)”。

直到公元3世紀(jì)，丟番圖首次用字母表示未知數(shù)，代數(shù)學(xué)才開始進(jìn)入“縮略代數(shù)”時(shí)期（也稱“簡(jiǎn)單代數(shù)”時(shí)期），人們開始用字母表示未知量。這一時(shí)期，雖然人們對(duì)“用字母表示未知量”有所了解和延伸，但只在用字母表示的未知量的類型和方程解的一般性上有所發(fā)展，而在用字母表示“一般量”上一直少有突破。

“縮略代數(shù)”時(shí)期一直持續(xù)到公元16—17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)有意識(shí)地使用系統(tǒng)的字母與符號(hào)表示數(shù)量，代數(shù)學(xué)才終于走進(jìn)了“符號(hào)代數(shù)”時(shí)期。這一時(shí)期，一些人開始把已知量用輔音字母表示，把未知量以元音字母表示，并將它們稱為“類的算術(shù)”。數(shù)學(xué)史家李文林先生評(píng)價(jià)說：“這就使代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問，因其抽象而應(yīng)用更為廣泛?！边@一時(shí)代，大量的近現(xiàn)代數(shù)學(xué)成就開始涌現(xiàn)。

中國代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程也大致如此。成熟于宋元時(shí)期的“天元術(shù)”標(biāo)志著我國數(shù)學(xué)進(jìn)入“半數(shù)學(xué)符號(hào)”階段，雖然這一階段比公元16世紀(jì)早了300多年，但比起“符號(hào)代數(shù)”時(shí)期，韋達(dá)系統(tǒng)地使用字母與符號(hào)表示數(shù)量，這種“半數(shù)學(xué)符號(hào)”階段依然還處于“縮略代數(shù)”時(shí)期。公元19世紀(jì)，李善蘭和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代數(shù)學(xué)》是我國第一部“符號(hào)代數(shù)”教材，其中的“代數(shù)”一詞，正是“用字母代替數(shù)”之意。

對(duì)比“用字母表示數(shù)”的發(fā)展歷史和學(xué)生學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”時(shí)產(chǎn)生的認(rèn)知誤區(qū)，二者有很高的相似性。例如，前述問題（1）和問題（4）表明學(xué)生只會(huì)用文字表述問題，或認(rèn)為字母只能表示生活中各類量的單位，是典型的“修辭代數(shù)”階段的認(rèn)識(shí)；問題（2）和問題（3）表明學(xué)生認(rèn)為特定的字母只能表示特定的量，字母只是未知量，而不是“具體值”，代數(shù)式只能表示運(yùn)算過程，不能表示結(jié)果，這是典型的“縮略代數(shù)”階段的認(rèn)識(shí)。

三、設(shè)計(jì)揭示概念本質(zhì)的教學(xué)

數(shù)學(xué)家余介石主張“歷史之于教學(xué)……可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融合調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會(huì)之一事也?！眰€(gè)人認(rèn)知過程與歷史上知識(shí)發(fā)展有很大的相似性。了解歷史上數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)、解釋、創(chuàng)造數(shù)學(xué)概念的艱難過程，有助于揭示學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，也有助于我們理解、預(yù)見、突破學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

基于以上思考，教學(xué)《用字母表示數(shù)》一課時(shí)，可以從歷史的發(fā)展順序中獲得教學(xué)的參考和依據(jù)，設(shè)計(jì)三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

（一）交流生活經(jīng)驗(yàn)

活動(dòng)1：師生相互分享生活中的“字母符號(hào)”，比如停車位上的“P”等。

學(xué)生感悟：生活中的字母和數(shù)學(xué)里的數(shù)量單位多是“完整說法的縮寫”。

活動(dòng)2：請(qǐng)學(xué)生將教師帶來的撲克牌從小到大排一排，說說撲克牌里的J表示什么？Q表示什么？K表示什么？

學(xué)生感悟：撲克牌里的字母通常表示“特定的數(shù)”。

活動(dòng)3：想一想“0，3，6，x，12，15”中的x可以表示什么樣的數(shù)，領(lǐng)悟x在這里的意義。

學(xué)生感悟：找規(guī)律中的字母“特定的未知數(shù)”。

（二）體驗(yàn)抽象意義

活動(dòng)4：課件呈現(xiàn)一堆相同長(zhǎng)度的小棒，并用3根小棒搭成1個(gè)三角形，讓學(xué)生解答以下問題：（1）分別用算式表示搭2個(gè)三角形，3個(gè)三角形，4個(gè)三角形所需要的小棒根數(shù)；（2）一直這樣擺下去，如何用算式表示需要的小棒根數(shù)。學(xué)生完成后，教師出示學(xué)生寫出的“3×x”“3×n”等式子，全班討論x和n能表示哪些數(shù)，x和n是不是未知數(shù)。

學(xué)生感悟：一直這樣擺下去，算式是寫不完的，但是可以用字母來表示。這里，字母可以表示“變化的、已知范圍的數(shù)”。

活動(dòng)5：猜年齡。用x表示老師的年齡：（1）x的范圍可能是多少？（2）老師比女兒大28歲，填空：老師的女兒______歲；當(dāng)x=35，即老師35歲，老師的女兒______歲；當(dāng)x=67，即老師67歲，老師的女兒______歲……

學(xué)生感悟：字母表示的數(shù)確定了，字母表示的式子的結(jié)果也就確定了，因此“x-28”這樣的式子也可以表示“具體的數(shù)量”。

（三）運(yùn)用學(xué)習(xí)成果

活動(dòng)6：用“c×4”編一個(gè)故事。出示：如果一支鉛筆的質(zhì)量是c千克，那么4支相同鉛筆的質(zhì)量就是c×4千克。學(xué)生按照給出的示例編故事，然后在小組內(nèi)相互講一講各自編的故事。分享過后，教師從“c×4”開始講述“用字母表示數(shù)”的歷史發(fā)展過程。

學(xué)生感悟：數(shù)學(xué)家在探索“用字母表示數(shù)”的過程中經(jīng)歷了無數(shù)曲折和波瀾，如今學(xué)到的“用字母表示數(shù)”雖然看似只是這部分學(xué)習(xí)的開始，但這一知識(shí)、概念其實(shí)已經(jīng)跨越了幾千年的歷史長(zhǎng)河。

這三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)突顯了學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)到概念形成的認(rèn)知過程，6個(gè)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的理解經(jīng)歷了“字母表示完整意義的縮寫—字母表示特定的數(shù)—字母表示特定的未知數(shù)—字母表示變化的、已知范圍內(nèi)的數(shù)—字母式子表示具體數(shù)量”的完整過程，再現(xiàn)了“用字母表示數(shù)”的歷史發(fā)展順序，揭示了概念的本質(zhì)，尊重了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

人類完整地認(rèn)識(shí)“用字母表示數(shù)”的本質(zhì)經(jīng)歷了數(shù)千年，學(xué)生自然不可能在短短一節(jié)課的時(shí)間里深刻而全面地領(lǐng)悟這些內(nèi)容，因此，教師需要在揭示概念本質(zhì)的過程中逐漸滲透概念背后的思想和精神，在歷史溯源中引領(lǐng)學(xué)生走出認(rèn)知誤區(qū)。

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（周逸君，特級(jí)教師，江蘇省無錫市教師發(fā)展學(xué)院，郵編：214000）