摘 要：《立體圖形表面積和體積（復習）》是蘇教版小學數學六年級下冊的一節(jié)復習課，其主要功能是梳理學習內容、構建知識體系、提煉數學方法、積累活動經驗。教學時，可從整理、練習、提升三個維度，設計“理一理”“練一練”和“拎一拎”活動，通過知識梳理、查漏補缺、實現認知平衡；同時基于學生的已有經驗，制造認知沖突，幫助學生打破原有的認知平衡，建立新的平衡，從而為復習課增值。

關鍵詞：《立體圖形表面積和體積（復習）》；復習課；認知平衡

【課前思考】

皮亞杰認為，兒童心理發(fā)展是個體通過同化和順應日益復雜的環(huán)境而達到平衡的過程。以已有的認知結構解釋新情境就是同化，個體改變原有認知結構來適應新的需要就是順應，而平衡是使認知結構和環(huán)境之間達到最佳適應狀態(tài)的生物驅動力。這對深入理解復習課的教學意蘊大有裨益。因為認知平衡是短暫且惰性的，教師應基于學生的已有經驗，創(chuàng)設認知沖突，幫助學生打破原有的認知平衡，建立新的認知平衡。

學生的年齡特點決定了其知識多呈散點狀分布，因此，復習課要注意引導學生進行橫向和縱向的關聯融通，以“結構圖”等形式顯性呈現，建立知識框架，達成整體認知。復習課不僅要幫助學生拾遺補漏、補充經驗，以實現認知平衡，更要引導學生對內容結構、思想方法等進行深度挖掘與重構，打破原有的認知平衡，逐步實現對數學知識的個性化理解，建立新的認知平衡。如此，學生的學習興趣才得以激發(fā)，才更愿意主動質疑、探究，復習課的教學價值才能得以增長。

基于以上思考，筆者嘗試從整理、練習、提升三個維度來設計這節(jié)復習課：整理維度設計“理一理”活動，活動目的是梳理知識，整體建構，建立認知平衡；提升維度設計“拎一拎”活動，活動的目的是使學生“跳一跳，摘到桃”，打破原有的認知平衡，建立新的認知平衡；練習維度設計“練一練”活動，活動目的是幫助學生鞏固新建立的認知平衡。這三個活動可以看作一般復習課的基本活動流程，具體到每節(jié)課中，有時也可穿插進行。

【教學目標】

1.借助結構圖，鞏固立體圖形表面積與體積知識。

2.通過對比，加深對面積和體積本質的理解。

3.激發(fā)數學學習興趣，培養(yǎng)質疑、反思等學習習慣。

【教學過程】

一、理一理：內容的回顧與拓展

出示問題：（1）你理解的立體圖形是什么樣的？（2）如何由平面圖形得到立體圖形？（3）相鄰面積和體積單位的進率如何？（4）常見立體圖形的表面積和體積公式是什么？

師：小組交流后全班匯報，自由補充。

學生匯報后，形成知識結構圖（如圖1）。

師：長方形面積為什么可以用“長×寬”表示？還有哪些圖形的面積可以用“長×寬”表示？

師：“長×寬×高”為什么可以表示長方體的體積？還可以用來表示什么圖形的體積？

師：為什么長方體和圓柱體的表面積公式都可以記為“底面積×2+側面積”？

師：為什么長方體和圓柱體的側面積都可以使用“底面周長×高”來計算？

[設計意圖：六年級學生處于認知發(fā)展的過渡期，概念的擴充可以幫助學生更好地認識平面圖形與立體圖形的區(qū)別與聯系，更深入地理解面和體。這里強調知識的“全面”復習，包括橫向和縱向兩個層面。橫向的歸納是復習課最低層次的目標要求，在達成此目標的前提下，也需要注重縱向的梳理。“理一理”活動引導學生從長方形（平面圖形）的面積開始梳理，借助多個對比問題，引導學生從整體的視角重新審視以往的學習內容和過程，結構化地梳理知識，使知識從孤立走向關聯，幫助學生建立認知平衡。]

二、拎一拎：方法的概括與創(chuàng)新

師：（出示圖2、圖3、圖4）這三幅圖分別是用什么方法來求立體圖形體積的？

師：這三幅圖都是通過計算物體包含單位立方體的個數來計算體積的。還記得我們是怎么推導常見立體圖形體積的嗎？

師：長方體體積公式，我們是用擺單位立方體來探索的；圓柱的體積公式，我們是把圓柱沿著底面直徑切開轉化成長方體得出的；圓錐的體積公式，我們是通過倒水實驗，依據圓柱和圓錐體積的關系得到的。求三種圖形的體積，用了三種方法。為什么明明用一種方法就可以計算圖形的體積，我們卻學習了三種方法？

師：（指圖1中的圓柱體積公式）有同學說，圓柱的體積還可以用“側面積×底面半徑÷2”來計算，想想為什么？

[設計意圖：同時出示圖2—4是為了強調體積概念的共性，即體積是物體包含的單位立方體的個數，這樣更易于學生遷移。我們在教學“體積”時，往往強調更為上位的轉化思想。轉化思想的應用有一定難度，因此被安排在幾個年級分段教學，但到了六年級的復習階段，學生的認知已經有所發(fā)展，可以較清楚、完整地理解這一系列轉化過程。筆者嘗試將兩種學習序列完整呈現出來，一方面幫助學生回憶“物體包含單位體積的個數是其體積”這一基本推導方法，另一方面幫助學生梳理已學習的立體圖形體積的轉化過程。呈現圓柱體積公式的另一種計算方法，可以引發(fā)學生的認知沖突，打破原有的認知平衡，建立新的認知平衡。]

三、練一練：習題的反思與融合

（一）綜合性練習

師：（出示圖5）你知道蜂窩煤為什么這樣設計嗎？根據圖上數據，你能算出制作一塊蜂窩煤大約需要用多少立方分米的煤嗎？若將蜂窩煤裝箱，一排4塊，每層3排，共2層，需要多大的紙箱（紙箱的長、寬、高分別是多少）？紙箱的體積和表面積分別是多少呢？

[設計意圖：蜂窩式設計從數學角度來說是為了增加表面積，充分體現了生產設計者的智慧。這道題既涉及表面積又包含體積，此基礎上，還可以追問煤的利用率問題，讓單元知識相互關聯，體現復習課的綜合性。]

（二）易錯題練習

師：一個小麥堆的底面周長是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麥大約重750千克。（π取3.14）這堆小麥大約重多少噸？

師：為什么題目不直接告訴我們圓錐的底面積，而是告訴我們底面周長呢？僅僅是為了增加解題難度嗎？

[設計意圖：這道題的計算思路很容易找到，但學生在求出等底等高的圓柱體積后，常忘記除以3。因此，筆者嘗試聯系生活設問，給易錯題植入新的思考，抓住關鍵詞“麥堆”，將學生帶入情境，充分想象小麥堆的形狀。再通過課堂設問：“為什么題目不直接告訴我們圓錐的底面積，而是告訴我們底面周長呢？”引導學生發(fā)現實際生活中，麥堆的底面積不易直接測出。]

（三）多解法對比練習

師：廠家想給長方體餅干盒的四周貼上漂亮的彩紙。罐頭盒長12厘米，寬8厘米，高10厘米，至少需要多少平方厘米的彩紙？

[設計意圖：這道題有兩種解法，一種是將長方體四個側面的面積分別相加，另一種是用“底面周長×高”來計算。兩種解法都對，但體現了不同的思維水平。教師可請學生評價兩種解法，讓學生在比較中發(fā)現兩種解法的列式看似符合乘法對加法的分配律，但在實際操作中卻有不同意義。]

參考文獻：

[1]施銀燕.美國加州教材立體圖形部分的編排特點與啟示[J].小學教學（數學版），2016（4）.

[2] J.皮亞杰，B.英海爾德.兒童心理學[M].吳福元，譯.北京：商務印書館，1980.

（王歡，江蘇省南京市竹山小學，郵編：211100）