賈春波

【摘 要】歷史發(fā)生原理提出個體知識的發(fā)展遵循人類知識發(fā)生的過程。學(xué)生個體對數(shù)學(xué)知識的理解過程遵循數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程。歷史發(fā)生原理對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有指導(dǎo)意義，要根據(jù)歷史發(fā)生的主要步驟設(shè)計教學(xué)的“序”；要根據(jù)歷史發(fā)生的主要問題設(shè)計教學(xué)的“關(guān)鍵問題”；要根據(jù)歷史發(fā)生的主要困難干預(yù)學(xué)習(xí)中的“障礙”。

【關(guān)鍵詞】歷史發(fā)生原理 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 啟示 用字母表示數(shù)

一、歷史發(fā)生原理的基本思想

歷史發(fā)生原理（Historical Principle），即“個體知識的發(fā)展遵循人類知識發(fā)生的過程”。德國生物學(xué)家?？藸枺‥.Hackel）于1866年提出生物發(fā)生學(xué)定律——“個體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”。19世紀(jì)，人們將此移植于教育，歷史發(fā)生原理由此而形成。就數(shù)學(xué)教育而言，歷史發(fā)生原理是指個體對數(shù)學(xué)知識的理解過程遵循數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程。它將個體的心理過程與人類的認識過程對應(yīng)起來，為理解現(xiàn)在學(xué)生的數(shù)學(xué)認知和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路徑提供了有益的思考。

歷史發(fā)生原理一經(jīng)提出，就得到了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家的支持。他們相信，有效的學(xué)習(xí)，要求每個學(xué)習(xí)者回溯所學(xué)學(xué)科歷史演進的主要步驟。如龐加萊指出：教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過某些階段而不跳躍任何階段。①弗賴登塔爾根據(jù)歷史發(fā)生原理提出了“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過程，盡管方式改變了” 。②這些觀點說明，歷史發(fā)生原理對教學(xué)有著重要的指導(dǎo)作用，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有一定的啟發(fā)意義。

二、對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點啟示

（一）要根據(jù)歷史發(fā)生的主要步驟設(shè)計教學(xué)的“序”

許多數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展常常經(jīng)歷比較長的歷史過程，在這個歷史過程中，會有一些主要“步驟”，這些主要步驟是這一數(shù)學(xué)知識整個發(fā)展過程的“標(biāo)志性”階段，這些標(biāo)志性的階段常常是人類認識這一數(shù)學(xué)知識的必經(jīng)過程。因此，借鑒人類歷史上認識這一數(shù)學(xué)知識的主要步驟，可以指導(dǎo)教學(xué)，設(shè)計教學(xué)的順序，比如，德摩根強調(diào)代數(shù)教學(xué)中的歷史次序，認為教師在教學(xué)代數(shù)時，不應(yīng)該一下子把新符號都解釋給學(xué)生，而應(yīng)讓學(xué)生按照歷史的順序去學(xué)習(xí)符號。又如據(jù)蒲淑萍、汪曉勤的研究證明，學(xué)生對“用字母表示數(shù)的認知發(fā)展過程”和“字母表示數(shù)的意義演進過程”之間存在一定的相似性。①由此可見，須先了解字母表示數(shù)的歷史發(fā)生、發(fā)展過程。

1.字母表示數(shù)的歷史演進主要步驟

追溯歷史，不難發(fā)現(xiàn)，“用字母表示數(shù)”作為代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容，主要經(jīng)歷了古老的文字表達算術(shù)、丟番圖用字母表示未知數(shù)，直至韋達與笛卡爾系統(tǒng)的符號表達的3個質(zhì)變、關(guān)鍵時期。19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)史家內(nèi)塞爾曼依據(jù)時間順序并結(jié)合代數(shù)的表達方法，在其《希臘代數(shù)》中首次將代數(shù)的數(shù)學(xué)歷史時間劃分為三個主要階段：修辭代數(shù)→縮略代數(shù)→符號代數(shù)。②對應(yīng)符號代數(shù)的歷史發(fā)展過程，其用來表示數(shù)的“字母”在“具體意義”上的歷史演進過程為：記數(shù)（表示特定的數(shù)）→未知（特定的未知量）→一類（任意的已知量或未知量）。其發(fā)展的路徑是緩慢、曲折、總體呈螺旋上升的。字母表示數(shù)的功能在人類探索現(xiàn)實生活的數(shù)量關(guān)系中，經(jīng)由從具體到抽象、特殊到一般的反復(fù)認知與發(fā)展的過程才得以逐步推進和完善。

2.根據(jù)演進主要步驟確定教學(xué)“序”

字母表示數(shù)的具體意義演進過程經(jīng)歷了3000余年的漫長歷程，因此要讓學(xué)生經(jīng)歷真實的歷史進程。正如弗賴登塔爾指出“有效的學(xué)習(xí)要求每個學(xué)習(xí)者回溯所學(xué)學(xué)科歷史演進的主要步驟”。③即讓學(xué)生經(jīng)歷字母表示數(shù)意義的三個主要歷史步驟：記數(shù)→未知→一類。那么，現(xiàn)實情況學(xué)生對字母表示數(shù)意義的理解會處在哪一步呢？

筆者對某校的五年級學(xué)生進行前測，前測試卷（部分）是根據(jù)人民教育出版社2013年出版的教材（以下簡稱“人教版2013年教材”）五年級上冊第53頁例1改編而成（如圖1），測查的目標(biāo)是依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的“在具體情境中能用字母表示數(shù)”制定。測查學(xué)生在具體情境中對數(shù)學(xué)信息（問題）的理解能力，對具體情境的數(shù)量關(guān)系的理解與抽象能力，對具體數(shù)（包括數(shù)字算式）的抽象與概括能力及表征方式。

從統(tǒng)計表看，學(xué)生的表征差異較大，共有7個水平層次，且低水平層次人數(shù)較多。其中表征中沒用字母的學(xué)生占70.17%，屬于符號代數(shù)的初始階段——“修辭代數(shù)”；29.83%學(xué)生進入了用字母表示“縮略代數(shù)”的階段。在進一步訪談中可看出，學(xué)生對用字母表示的意義的理解上，大多數(shù)學(xué)生停留在較低層次的“記數(shù)符號”，少部分達到了用字母表示“未知量”的水平（如圖2）。在表征中雖用到字母符號，但他是用特定的符號“×”表示小紅的年齡，用“××”表示爸爸的年齡，與歷史中丟番圖的表征方式具有較強的相似性。

測查中學(xué)生所表現(xiàn)的情況，跟教材編排是相關(guān)的。翻看人教版2013年教材，第一學(xué)段編排一些“圖形符號表示特定量”內(nèi)容，意在為學(xué)生積累符號表示未知數(shù)的基本經(jīng)驗，為理解字母表示特定未知數(shù)奠定基礎(chǔ)；第二學(xué)段編排的重點是，學(xué)習(xí)用字母式 1表示數(shù)量關(guān)系（一類量）。從宏觀看，教材對“字母表示數(shù)”的內(nèi)容呈現(xiàn)，大致遵從了該內(nèi)容的歷史形成過程。但從微觀看（測查數(shù)據(jù)），對字母意義演進的水平層次設(shè)計不夠，如從前期“圖形滲透特定未知量”到“運用字母式表示數(shù)量關(guān)系”的跨度過大，期間跨越了對字母表示數(shù)意義的理解，包括字母表示“未知量”（特定未知量和未知變量兩種意義），字母表示已知變量等。這些環(huán)節(jié)的缺失即對其意義缺乏思辨和提升，導(dǎo)致大部分學(xué)生在運用字母式表示數(shù)量關(guān)系時符號意識不強，多數(shù)處在符號歷史的初級階段“修辭代數(shù)”，對字母表示數(shù)的意義的理解概括程度低，基本處在“記數(shù)階段”。

根據(jù)用字母表示數(shù)的歷史發(fā)展順序及學(xué)生的實際情況，重構(gòu)字母表示數(shù)教學(xué)的“序”。從易到難，設(shè)計三個環(huán)節(jié)（如圖3）。此“序”與人教版2013年教材比較，增加環(huán)節(jié)一用字母表示“未知量”，它是字母表示數(shù)的意義演進過程中的第二個關(guān)鍵步驟，是本課的理解基礎(chǔ)。其目的是既培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，實現(xiàn)表征符號化（用字母表示未知量），又提升“未知量”的意義，促使學(xué)生從“特定未知量”走向“未知變量”，為用字母式表示數(shù)量關(guān)系奠定理解的基礎(chǔ)；環(huán)節(jié)二是用字母和字母式表示“一類量”（變量），它是字母表示數(shù)意義演進過程中的第三個關(guān)鍵步驟，是本課的核心重點，目標(biāo)是認識字母和字母式可一般化表示變量，先認識字母表示變量（小紅年齡），提供推理出字母式的邏輯基點，讓學(xué)生可以通過類比推理，得到表示爸爸年齡的字母式；環(huán)節(jié)三為理解字母式表示關(guān)系，是本課的難點，其目標(biāo)是初步感悟字母式不僅能表示數(shù)（對象），還能表示關(guān)系（過程），調(diào)整認識的步驟，先認識字母式表示數(shù)，再在比較中認識字母表示關(guān)系。

（二）要根據(jù)歷史發(fā)生的主要問題設(shè)計教學(xué)的“關(guān)鍵問題”

歷史發(fā)生原理指出，學(xué)生會重蹈知識發(fā)生過程中的關(guān)鍵步驟。閱讀歷史可知，一個數(shù)學(xué)知識從某個關(guān)鍵步驟發(fā)展到下個關(guān)鍵步驟并非是一蹴而就的，其發(fā)展過程是漫長的，問題也是眾多的。那在學(xué)習(xí)該數(shù)學(xué)知識的課堂中，讓學(xué)生經(jīng)歷怎樣的問題情境才比較好呢？我們可以根據(jù)該數(shù)學(xué)知識在歷史關(guān)鍵步驟的過渡、轉(zhuǎn)變中發(fā)生的主要問題，重構(gòu)符合當(dāng)下學(xué)生心理特征的關(guān)鍵問題情境。

對用字母表示數(shù)的意義教學(xué)，需還原歷史，站在歷史的長河中去研究用字母表示數(shù)為何會產(chǎn)生、解決了什么問題、每個步驟間的關(guān)鍵變化是什么等深層次的問題。借鑒這些歷史發(fā)展中的主要問題，設(shè)計成課堂中的關(guān)鍵問題，讓學(xué)生像歷史中的數(shù)學(xué)家一樣進行思考。

查閱數(shù)學(xué)史，在公元前3000年前后，字母主要表示“記數(shù)”（特定數(shù)），如希臘字母“H”表示100，這解決了人類最初的記數(shù)問題，對數(shù)有了清晰的表達，這與我們熟悉的用0～9的數(shù)字符號表示數(shù)，在本質(zhì)上沒有多大的區(qū)別。到公元前3世紀(jì)，主要代表人物丟番圖開始使用字母表示代數(shù)學(xué)，如用希臘字“數(shù)”的第一個音節(jié)的縮寫符號來表示特定的未知量。這是字母表示數(shù)歷史上的第一次關(guān)鍵轉(zhuǎn)變，它使得字母表示數(shù)，除了具備“確定”意義，還增加了“不確定”的意義，即未知意義。盡管這只是一種特定的縮略表示，但對代數(shù)學(xué)來說，無疑是一大進步。它使得代數(shù)學(xué)的表達（主指方程）變得簡潔，但此時的字母仍沒有表示“一類量”。直至16世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達在前人積累下來的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，有意識地、系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)。在他的《美妙的代數(shù)中》，首次用元音（母音）A、E、I等表示未知數(shù)，輔音（字音）B、C、D等表示已知數(shù)。1 這被公認為是對傳統(tǒng)代數(shù)的突破，是代數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的一座重要里程碑。這一階段的字母表示數(shù)，顯然超越了各類數(shù)量的具體特定，開始從一般意義上去表示，使代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問。從中發(fā)現(xiàn)，這一轉(zhuǎn)變使得字母表示數(shù)的意義，從簡單的“縮略代替”轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂谐橄?、概括的“一般性”?/p>

1.根據(jù)主要問題創(chuàng)設(shè)情境，自然生發(fā)“關(guān)鍵問題”

從“記數(shù)”到“未知量”的關(guān)鍵問題是表示對象即“數(shù)”發(fā)生了變化，從具體、確定的數(shù)到未知、不確定（待定）的數(shù)，使得字母表示數(shù)的意義，也從“已知確定”拓展到“未知不確定（待定）”。據(jù)于此，筆者創(chuàng)設(shè)從已知確定的數(shù)到未知不確定的數(shù)變化的一個數(shù)學(xué)問題情境（如圖4）。任務(wù)一中，前兩幅圖中的數(shù)量是確定的，分別是3個和5個1元硬幣，而第三幅圖的存錢罐要表示的數(shù)量，雖然是未知、不確定的，但其情境對學(xué)生來說是熟悉的，學(xué)生可以借助一些生活經(jīng)驗，完成這個具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

在另一次基礎(chǔ)較差班級對比測查中發(fā)現(xiàn)，用改編人教版2013年教材五上例1的問題情境（如圖1），學(xué)生在用“式子”表征爸爸年齡時用到字母的僅為2.7%，但同是這些學(xué)生在解決（如圖4）的問題情境時，有36.64%的人在表征中自發(fā)用到字母。全班學(xué)生對字母表示數(shù)意義的理解，呈現(xiàn)三個典型階段（如圖5），即記數(shù)階段，如（1）式，采用具體數(shù)表征；未知量階段，如（2）式，采用其他符號或文字進行縮略表征；第三階段，一類量（初步）階段，如（3）式，用字母表征，認為字母可以表示任何數(shù)。這與字母表示數(shù)意義的歷史演進過程具有相似性，可成為重要的學(xué)習(xí)素材。筆者對此進行了教學(xué)實踐。

（1）表征對象從確定到不確定。

呈現(xiàn)如圖4的問題情境，學(xué)生嘗試表達，然后依次呈現(xiàn)出一些典型表征方式。

提出關(guān)鍵問題1：剛才，老師看了同學(xué)們的作業(yè)后，發(fā)現(xiàn)前兩幅圖大家表示一致：3和5，而第三幅圖存錢罐的表示卻不同，這是為什么？

生：因為前面，我們能看到圈內(nèi)有3個硬幣和5個硬幣，而存錢罐里硬幣我們不知道。

生：前面的硬幣個數(shù)確定的，是3和5；存錢罐里的硬幣是未知、不確定的。

師：看來同學(xué)們都認為，前兩幅圖的硬幣個數(shù)是確定的，可用數(shù)表示；而存錢罐的硬幣個數(shù)，無法確定，是未知的，所以大家的表示方法就各不相同。

（2）聚焦未知表征的對比。

由低到高整體呈現(xiàn)三種典型表征（如圖6）。

提出關(guān)鍵問題2：這三種方法，你欣賞哪一種，為什么？

生：我喜歡第二種，“8”只表示了一種，用文字寫的意思很明白。

生：我選第三種，“8”是表示一種，存錢罐中的硬幣不只是8，還有很多可能，用“文字”寫較麻煩，字母較為簡單。

生：我也選第三種，“8”是確定的，而存錢罐里的錢是未知的，不確定的，字母可以表示多種情況，又簡潔。

從上述的教學(xué)實踐看，重構(gòu)的表征未知量的問題情境，既符合當(dāng)下學(xué)生的實際，又能凸顯字母表示未知量的內(nèi)在需求。教師引導(dǎo)學(xué)生對不同表征進行對比，就自然生發(fā)出對兩個關(guān)鍵問題的思辨，產(chǎn)生交流的欲望。在交流中，初步感悟字母表示不確定數(shù)的意義及優(yōu)越性。可見“字母表示未知量”的情境是能讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴的“觸發(fā)點”。

2.根據(jù)主要問題提供對比素材，自然觸發(fā)“思辨問題”

從字母表示數(shù)意義的“未知量”階段過渡到“一類量”階段，其主要的問題是表示“對象”的意義發(fā)生了“質(zhì)變”，即從特定量（特殊）到變量（一般）。因此，要據(jù)此創(chuàng)設(shè)出類似的問題情境。數(shù)只能表示一個特定的情況，字母不僅能表示一種特定的情況，還能表示一個集合中任意一個值的量。這是兩者的本質(zhì)區(qū)別，也是字母表示數(shù)的優(yōu)勢所在，即用一般化表示一類量。它是從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維“質(zhì)”的飛躍的重要標(biāo)志。在前測中發(fā)現(xiàn)，雖然同樣都是用字母表示存錢罐的硬幣數(shù)，但對字母表示數(shù)意義的理解卻處在不同的水平層次（如圖7）。圖7中的（1），雖用字母a表示未知量，但把字母a想成某一個數(shù)。圖7（2）中的字母a，則可以表示任何數(shù)，具有廣泛性。兩者對于“變量”意義的理解還不夠到位，因此需要進一步對比與思辨。

實踐中，會在環(huán)節(jié)一和環(huán)節(jié)二各契入兩種典型表征“數(shù)和字母”的比較，對其表示的“意義”進行重點對比，從而自然觸發(fā)“思辨問題”（如圖8）。

師：剛才同學(xué)們認為，存錢罐里的1元硬幣數(shù)是未知的、多種情況的，所以用字母來表示，c可以是0個，也可以是1個、2個……最多是200個（指這個存錢罐最多放的1元硬幣數(shù)）。提出思辨問題1：分別用1與c表示存錢罐里的硬幣有什么不同。

生：1是表示確定的，c表示未知的、不確定的。

生2：1是確定，只表示一種情況，c是不確定，可以表示任何數(shù)。

生3：1只能表示一種情況，c能表示存錢罐里所有可能硬幣數(shù)中的任意一種情況，如0～200中的任意一個數(shù)。

在實踐中，學(xué)生對字母“c”表示未知量意義的理解與前測相同，也處在不同的水平層次，生1是把字母當(dāng)成了“未知”的替代物，生2則把字母提升到了一般數(shù)的層次，生3對“變量”有了初步的理解。經(jīng)過對比、思辨、交流等數(shù)學(xué)活動，促使學(xué)生對字母表示數(shù)的意義的認識從低水平層次向高水平層次的轉(zhuǎn)變，較為深刻地理解字母表示變量的意義，也進一步體會到字母表示數(shù)的優(yōu)越性。也為環(huán)節(jié)二中用字母式表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系（變量）及辯論“思辨問題2”，即“4+32”與“a+32”有什么不同，鋪墊理解的基礎(chǔ)。整個過程，讓學(xué)生沿著數(shù)學(xué)家提出概念所走過的路程，經(jīng)歷“一次次地引發(fā)概念沖突，一次次地修正概念，一次次地完善概念”的探究過程。

（三）要根據(jù)歷史發(fā)生的主要困難干預(yù)學(xué)習(xí)中的“障礙”

在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家們常常會走一些彎路，碰到一些認知上的困難或障礙。歷史發(fā)生原理指出，學(xué)生作為一個群體會重蹈歷史上數(shù)學(xué)家們曾經(jīng)遭遇的這些困難，成為他們認知中的學(xué)習(xí)障礙。因此，教師要了解數(shù)學(xué)家曾經(jīng)走過的彎路，碰到的那些認知障礙，可提前在課堂教學(xué)中采取一些干預(yù)策略。

數(shù)學(xué)家對一類量的認識以及用含有字母的式子表示一個結(jié)果亦是經(jīng)歷漫長的歷史過程。誠如M·克萊因?qū)γ绹摹靶聰?shù)學(xué)運動”的批評：從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達和笛卡爾以前，沒有一個數(shù)學(xué)家能意識到字母可用來代表一類數(shù)1。用字母表示一類量，并非僅僅是“用字母代替數(shù)”，而是形式背后的思維轉(zhuǎn)變，即從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡。要順利完成過渡，其思維必須經(jīng)歷從數(shù)字到符號，從特殊到一般，從程序到結(jié)構(gòu)的飛躍，每一步都是困難重重。

在這個過渡中，代數(shù)數(shù)學(xué)概念的“二重性”是人們碰到的最主要的一個障礙。所謂數(shù)學(xué)概念的二重性，是Sfard在皮亞杰反省抽象理論的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)學(xué)的特殊性提出的。Sfard（1991）認為，抽象數(shù)學(xué)符號 （如：未知數(shù)x）必須基于兩種不同的方法來思考，一為結(jié)構(gòu)性（視為一個對象），一為操作性（視為一個過程）2。在代數(shù)中，如字母式a+32，既表示a與32相加這一個過程操作，又表現(xiàn)為對象、結(jié)構(gòu)，即a+32的結(jié)果就是a+32。

代數(shù)概念的二重性，之所以難理解，不僅僅是因為它本身具有的抽象性，還在于對它的建構(gòu)要抵制已有知識經(jīng)驗的強烈負遷移。因為“式”如3+2算術(shù)中，其目的是為了求出算式的結(jié)果，是具有操作性的、表示過程的，學(xué)生潛意識中要把3+2計算為5；而在代數(shù)運算中是結(jié)構(gòu)性的，是形式變換，關(guān)注結(jié)構(gòu)，注重關(guān)系，此時的“式”除了體現(xiàn)過程外，更多是關(guān)系結(jié)構(gòu)的形式化。也就說，學(xué)生對“式”的已有經(jīng)驗在重構(gòu)、擴充“字母式”表示數(shù)意義的過程中將變?yōu)樨撨w移。

在教學(xué)實踐中，相對應(yīng)的干預(yù)策略：從易到難；鋪墊基礎(chǔ)；遷移比較。

從易到難：合理安排整節(jié)課的“序”（如圖2），把認識字母式概念的二重性放在最后。先經(jīng)歷從數(shù)字到字母符號，字母表征的理解與使用是重要的轉(zhuǎn)折點；再從特殊到一般，字母表征只是進入代數(shù)思維的第一步，其背后的支撐是一般化的想法；最后是從程序到結(jié)構(gòu)的思路，即通過比較認識到字母式概念的二重性（前文已有，不再累述）。

鋪墊基礎(chǔ)：理解“字母式”既能表示過程，又能表示“對象”的基礎(chǔ)是什么？Booth提出：“如果學(xué)生不能理解兩個集合（假定分別含有5個和8個）物件的總數(shù)可以寫成5+8，那么要他們理解a+b表示了兩個集合（分別含有a個和b個）物件的總數(shù)就更不可能了?！?顯然要改造學(xué)生已有的經(jīng)驗，使他們認識到“算式”如5+8，也可表示“對象”。改造過程要結(jié)合“=”意義重構(gòu)一起進行，“=”在算術(shù)中，代表運算得到結(jié)果，是具有方向性、程序性的。而在代數(shù)中，“=”代表一種等價關(guān)系，因此“=”左右兩邊需有同樣的大小，沒有方向性，具有結(jié)構(gòu)性。因此教學(xué)要從重構(gòu)“=”的意義開始。

師：在這些算式中“=”表示什么意思？

生：1+32=33……

生：小紅年齡加32等于爸爸的年齡。

師：左邊的1+32與右邊爸爸的年齡33是相等的。那“1+32”算式可表示爸爸的歲數(shù)？

生：可以表示，因為左右相等。

師：那你喜歡用1+32表示爸爸的年齡呢，還是喜歡用33來表示呢？

生：我喜歡33，因為它很清晰。

生：1+32，能看出爸爸的年齡，還知道比小紅大32歲。

生：我也選1+32，從“+32”可看出與爸爸年齡的關(guān)系。

……

遷移比較：代數(shù)思維是一種假設(shè)性的思維，它是建立在符號基礎(chǔ)上。當(dāng)學(xué)生認為小紅的年齡是變化情況，假設(shè)用a表示時，就能從具體算式中自然地“遷移、概括”或利用爸爸與小紅之間不變的年齡關(guān)系“推理”出爸爸的年齡為a+32，這就自然地建構(gòu)了字母式能表示對象的意義。再用圖8中的4+32與a+32同樣表示爸爸的年齡的對比中說不同之處，進一步強化a+32表示對象的意義。要想讓學(xué)生明白a+32的過程性，就必須要對這個“式”本身進行思辨，這樣的經(jīng)驗對學(xué)生來說是比較缺乏的，因此在教學(xué)中，增加了另一個字母式即a+28。讓它產(chǎn)生于a的對比，從而理解a+28這個字母式包含的關(guān)系。

課件呈現(xiàn)：小紅的年齡a，賈老師的年齡a+28。

師：看呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)信息，你知道了什么？

生：我知道了，賈老師比小紅大28歲。

師（追問）：你是怎么知道的？

生：賈老師的年齡是a+28，是用小紅年齡a加28得到的。

師：誰聽明白了？

生：可以從a+28與a比，知道賈老師是a加28，所以大28歲。

師：哦，原來a+28比a大28，反過來可以怎么說？

生：a比a+28小28。

師：這么說，a+28不僅可表示賈老師的年齡，還可表示賈老師與小紅年齡間的大小關(guān)系。那剛才的a+32又表示什么呢？

生：a+32表示了爸爸的年齡。

生：a+32不僅表示了爸爸的年齡，還可以看出爸爸比小紅大32歲這個關(guān)系。

課件呈現(xiàn)：a+32不僅可以表示爸爸的年齡，還可以表示爸爸與小紅的年齡關(guān)系。

師：根據(jù)剛才的經(jīng)驗，看一看“（a+32）+30”會是誰的年齡？

生：我覺得是爺爺?shù)臍q數(shù)，因為a+32是爸爸的年齡，他比爸爸還要大30歲。

生：姥姥的歲數(shù)，因為（a+32）+30比a+32大30。

生：爸爸的長輩都有可能。

生：只要比爸爸大30歲的人都有可能。

師：（a+32）+30表示什么意思？

生：（a+32）+30表示比爸爸大30歲那些人的歲數(shù)，又可看出比爸爸大30歲。

在類比推理或從具體數(shù)字算式的概括中，初步認知字母式表示對象的含義。再在字母式與字母的比較中，認識字母式所蘊含的關(guān)系，在解釋、說理中領(lǐng)悟字母式的過程性。在實踐中可見，在說明字母式“（a+32）+30”表示誰的年齡時，對字母式表示的對象進行了又一次更深層次的抽象，在解釋過程中，又一次完成對象到過程的轉(zhuǎn)變。整個學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生初步完成對字母式既表示“對象”，又表示“過程”的建構(gòu)。

以上從實踐中而得的啟示，概而言之是以歷史發(fā)生原理為基礎(chǔ)，通過研讀符號代數(shù)的數(shù)學(xué)史，理解“符號代數(shù)”及“字母表示數(shù)意義”的關(guān)鍵步驟，結(jié)合學(xué)生個體認知特征，在現(xiàn)代情境下重構(gòu)推動進化的關(guān)鍵思想或問題，使之貼合學(xué)生學(xué)習(xí)的思考路徑，然后從易到難給出上述重構(gòu)的問題系列，展開課堂教學(xué)，將數(shù)學(xué)冰冷的美麗轉(zhuǎn)變成火熱的思考，有效解決學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的問題與障礙。

（浙江省新昌縣城東小學(xué) 312500）