郭槐香

[摘 要]新課標(biāo)倡導(dǎo)的自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式.如何具體進(jìn)行探究性教學(xué)？是一線教師值得探討的問題.本文結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，談探究性教學(xué)過程的幾個(gè)環(huán)節(jié).

[關(guān)鍵詞]探究性教學(xué) 創(chuàng)設(shè)情景 啟迪思維 反思價(jià)值

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）320005

探究性教學(xué)是指在教學(xué)的過程中，要求學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過以“自主、探究、合作”的模式進(jìn)行學(xué)習(xí)，主動(dòng)獲取知識(shí)，發(fā)展能力的實(shí)踐活動(dòng)，其目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的主體意識(shí)、創(chuàng)新精神和團(tuán)結(jié)協(xié)作的實(shí)踐能力，使其真正成為學(xué)習(xí)的主人.

課堂上學(xué)生所學(xué)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或問題并非都有探究的價(jià)值.因此探究的主題必須要有一定的可探究性和可操作性，還要有一定的不確定性和發(fā)散性.另外，探究性思維活動(dòng)的表現(xiàn)需要一定的條件.因此，探究性教學(xué)常采用問題教學(xué)法.問題成為貫穿整個(gè)教學(xué)過程的主線，成為教學(xué)活動(dòng)的歸宿.這就要求教師在教學(xué)的過程中設(shè)置問題情境時(shí)要及時(shí)捕捉、挖掘探究信息，及時(shí)將學(xué)生的“一閃念”轉(zhuǎn)化為探究主題，促使學(xué)生去探究.因而，教學(xué)過程應(yīng)是教師連續(xù)、生動(dòng)地與學(xué)生感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)相符合的過程.教師應(yīng)力圖通過自己的“示范”，由學(xué)生主動(dòng)探索、主動(dòng)思考、親身體驗(yàn)“活生生”的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，揭示出隱藏在具體知識(shí)背后的思維方法.同時(shí)教師要保護(hù)學(xué)生的獨(dú)到見解，讓探究學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生“自己想方設(shè)法解決問題”的過程.實(shí)踐證明，只有學(xué)生愿意學(xué)習(xí)，主動(dòng)學(xué)習(xí)，才能將數(shù)學(xué)探究課落到實(shí)處.

下面以等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)為例說明探究性教學(xué)過程的幾個(gè)環(huán)節(jié).

一、創(chuàng)設(shè)探究主題情境

課前導(dǎo)入時(shí)，我給學(xué)生講了這樣一個(gè)故事：傳說，在古印度有一位國王，他擁有超人的權(quán)力和巨大的財(cái)富.但權(quán)力和財(cái)富最終讓他對(duì)生活感到厭倦，他渴望著新鮮的刺激.他決定詔告天下，誰能給他帶來新鮮的玩意，他就獎(jiǎng)賞給誰想要的任何東西.有一天，來了一位老人，他帶著自己的發(fā)明“國際象棋”來朝見國王.國王見了這新奇的玩意兒，就和老人對(duì)下起來.竟然一下上了手，就舍不得放下了，竟留著老人一連下了三天三夜.到了第四天早上，國王感到非常滿足，就對(duì)老人說道：“你給了我無窮的樂趣.我應(yīng)兌現(xiàn)我的承諾，你可以在我這兒得到你所要的任何東西.”發(fā)明者指著棋盤對(duì)國王說：在棋盤的第一個(gè)格子里放1顆麥粒，第二個(gè)格子里放2顆麥粒，第三個(gè)格子里放4顆麥粒，第四個(gè)格子里放8顆麥?！催@樣的規(guī)律放滿64個(gè)格子.

二、定向探究主題

按發(fā)明者的要求國王要給發(fā)明者多少顆麥粒？國王能滿足發(fā)明者的要求嗎？

問題的提出引起了學(xué)生極大的興趣，學(xué)生討論的結(jié)果是：

應(yīng)給發(fā)明者20+21+22+23+…+264顆麥粒.

20+21+22+23+…+264是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題呢？

設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求Sn=a1+a2+a3+…+an.

三、啟迪探究思維、滲透探究主題依據(jù)

人們常說，萬變不離其宗.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，這個(gè)“宗”就是思維.無論采用怎么樣的探究形式，探究的核心都是啟迪學(xué)生的思維，而思維是從問題開始的，問題既是思維的源泉，更是思維的動(dòng)力.而沒有探究主題依據(jù)的探究方案，只會(huì)使學(xué)生的思維、行動(dòng)沒有目標(biāo)，不知所措.因此，在組織探究教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)探究內(nèi)容的特點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)，通過前后知識(shí)的聯(lián)系、對(duì)比，滲透探究主題依據(jù)，努力引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，讓學(xué)生形成一定的思維指向、行動(dòng)指向，使探究過程更加有序、高效，從而充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性.

當(dāng)學(xué)生明確要解決的問題是推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式后，教師可積極啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思考并回答下列問題：

（1）對(duì)等比數(shù)列我們都知道些什么？

等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式

a2a1=a3a2=a4a3=

…=anaa-1=q，

an=a1qn-1（a1≠0，q≠0）.

（2）前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，公式的內(nèi)容是什么？

Sn=n（a1+an）2或Sn=na1+n（n-1）2d.

（3）等差數(shù)列的前項(xiàng)和是用等差數(shù)列中的哪些特征量表示的？

項(xiàng)數(shù)n，首項(xiàng)a1，第n項(xiàng)an，公差d.

（4）把等比數(shù)列與等差數(shù)列進(jìn)行對(duì)比，猜想，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)用哪些特征量表示？

（5）利用等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式及數(shù)學(xué)知識(shí)能推導(dǎo)出Sn=a1+a2+a3+…+an的結(jié)果嗎？

提出問題表示學(xué)生已經(jīng)從“問題情境”中分離出了一系列相關(guān)的問題，緊接著還需調(diào)控探究過程，對(duì)這些問題進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生圍繞探究主題進(jìn)行定向探究，即進(jìn)一步明確所要解決的問題實(shí)質(zhì)或關(guān)鍵所在.

四、展示探究主題成果

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的結(jié)論是開放的，讓學(xué)生對(duì)探究的主題加以分析、預(yù)測，從事主動(dòng)的建構(gòu)活動(dòng)，給學(xué)生充分的獨(dú)立思考與探究的時(shí)間，使學(xué)生對(duì)新問題，對(duì)已有的知識(shí)進(jìn)行信息加工、處理，尋求新的解決辦法，感受投身于探究活動(dòng)的過程是不斷利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題，不斷增強(qiáng)學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的過程.教師在學(xué)生中巡視，了解學(xué)生的探究情況時(shí)，要隨時(shí)調(diào)控探究的過程，做到“收”、“放”結(jié)合，防止探究偏離主題.待學(xué)生有了自己的見解后，及時(shí)給予肯定的評(píng)價(jià)，并與周圍的學(xué)生展開交流，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，用自身的創(chuàng)造活動(dòng)去感受數(shù)學(xué)是探究出來的不是教出來的.

方法一：由等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式得：

a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q.

將n個(gè)式子相加得：a1+a2+a3+…+an=a1+q（a1+a2+a3+…+an-1）.

即Sn=a1+q（Sn-an）.整理得（1-q）Sn=a1-anq.

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1，當(dāng)q≠1時(shí)，

Sn=a1-anq1-q=a1（1-qn）1-q.

學(xué)生的推導(dǎo)思路是，聯(lián)想等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，用基本量首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)表示，猜想等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式也應(yīng)該用首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)基本量表示.于是結(jié)合等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

方法二：由等比數(shù)列的定義得：a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q

.

由等比定理得：a2+a3+…+ana1+a2+…+an-1=q（q≠-1）.

又Sn=a1+a2+a3+…+an ∴Sn-a1Sn-an=q（q≠-1）.

整理得：（1-q）Sn=a1-anq.

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1-anq1-q=a1（1-qn）1-q.

而q=-1當(dāng)時(shí)，n為偶數(shù)時(shí)Sn=0；n為奇數(shù)時(shí)Sn=a1，也滿足上式Sn=a1（1-qn）1-q.

教師在巡視中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的這種推導(dǎo)方法，但學(xué)生沒有分類討論時(shí)，可啟發(fā)性地提示學(xué)生由等比定理得到的那個(gè)式子是否一定有意義，并引導(dǎo)學(xué)生討論應(yīng)怎么解決才能得到完美的結(jié)論.

方法三：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得：a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q.

∴Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+

a1q2+…+

a1qn-1=

a1（1+q+q2+…+qn-1）.

又∵（1-q）（1+q）=1-q2，（1-q）（1+q+q2）=1-q3，（1-q）（1+q+q2+q3）=1-q4，

……

（1-q）（1+q+q2+q3+…+qn-1）=1-qn.

∴a1（1-q）（1+q+q2+q3+…+qn-1）=a1（1-qn）.

∴（1-q）Sn=a1（1-qn）.

∴當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1（1-qn）1-q.

在巡視中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的這種推導(dǎo)方法時(shí)，可問學(xué)生怎么想到這樣推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合結(jié)論試著用另外一種方法推導(dǎo)，直接用基本量將等比數(shù)列前n項(xiàng)和中的每一項(xiàng)表示出來，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用平方差公式、立方差公式，公式（1-q）（1+q+q2+q3+…+qn-1）=1-qn得到出結(jié)論.

方法四：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和得定義得：Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=a1[（1+q）+q2（1+q）+…+qn-2（1+q）].

=a1[1-q21-q+q2（1-q2）1-q+…+qn-2（1-q2）1-q]=

a1[1-q2+q2-q4+q4-…+qn-2-qn1-q]

=a1（1-qn）1-q（q≠1）.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=a1[（1+q）+q2（1+q）+…+qn-3（1+q）+qn-1].

=a1[1-q21-q

+q2（1-q2）1-q+…+qn-3（1-q2）1-q+qn-1

].

=a1[1-q2+q2-q4+q4-…+qn-3-qn-11-q+qn-1

]

=

a1（1-qn）1-q（q≠1）.

故n為任意正整數(shù)時(shí)，Sn=a1（1-qn）1-q.而當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.

用這種方法推導(dǎo)的學(xué)生，已用法一或法二得到了結(jié)論，他是結(jié)合結(jié)論對(duì)Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）作適當(dāng)?shù)淖冃?，雖然推導(dǎo)看起來比較復(fù)雜，但正好說明他不滿足于現(xiàn)狀，有向同學(xué)、教師展示自己成果和才能的欲望，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣.

方法五：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ①

給①式兩邊乘以q，得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn. ②

①減②得：（1-q）Sn=a1-a1qn.

∴當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1（1-qn）1-q.

用這種方法推導(dǎo)的學(xué)生，也是已得到結(jié)論，結(jié)合前面推導(dǎo)中的（1-q）Sn=a1-a1qn，把左邊的（1-q）Sn寫成Sn-qSn，想到兩式相減得到結(jié)論.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）