【摘要】動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重點和難點題型，綜合考查了學(xué)生的幾何知識和思維能力.其中，動點軌跡為圓的最值問題具有一定的難度，致使該題型成為學(xué)生在中考中失分的集中點.掌握軌跡為圓的幾種模型，并構(gòu)建問題解決的一般思路，是應(yīng)對中考與圓有關(guān)的動點問題的一個重要途徑.文章就動點軌跡為圓（圓?。┑哪Ｐ瓦M(jìn)行梳理，并給出相應(yīng)的解題策略，旨在為一線教師在中考備考復(fù)習(xí)中提供教學(xué)參考.

【關(guān)鍵詞】動點問題；定義模型；直角模型；等弦對等角模型；最值問題

引 言

與動點有關(guān)的最值問題，是中考的一個難點.如果學(xué)生能確定動點的運(yùn)動軌跡，然后結(jié)合軌跡的幾何性質(zhì)求解，會事半功倍.下面介紹動點軌跡為圓（圓?。┑娜N模型，并結(jié)合中考題給出每種模型的解題策略.

一、動點軌跡為圓（圓弧）的三種模型

模型1 定義型

如圖1所示，設(shè)點A為定點，點B為動點，若AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓.

模型2 直徑所對的角為直角（直角模型）

一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.如圖2，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P的軌跡是以AB為直徑的圓或圓弧.

模型3 等弦對等角模型

一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧.如圖3，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧.

二、與圓有關(guān)的最值問題

1.定義型

該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的定義判定動點變化的特點，再結(jié)合圓的性質(zhì)和其他幾何知識進(jìn)行解題.

解題策略：

第一步：根據(jù)題意判定動點的變化特性；

第二步：找準(zhǔn)定點和定長（圓心和半徑）；

第三步：結(jié)合圓、三角形、四邊形的相關(guān)知識進(jìn)行解題.

點評 本題考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形面積公式，綜合應(yīng)用這些知識是解題關(guān)鍵.先根據(jù)勾股定理及相似三角形的判定定理和性質(zhì)求出DM的長度，再根據(jù)圓的性質(zhì)求出QM的長度，判斷點E的運(yùn)動軌跡，確定當(dāng)點E與點Q重合時，點E到AB的距離最短為QM，再根據(jù)三角形面積公式求解即可.

2.直角模型

該題型主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度.該題型主要考查對圓的性質(zhì)的理解，有時會結(jié)合直角三角形的相關(guān)知識一起考查.利用數(shù)形結(jié)合思想，對圖形進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.

解題策略：

第一步：觀察圖形特點，找準(zhǔn)直角頂點和定長（圓的直徑）；

第二步：利用圓與直角三角形的相關(guān)知識點進(jìn)行解題；

第三步：涉及最值問題的圖形要考慮線段的轉(zhuǎn)化，熟練掌握共線問題、將軍飲馬問題、垂線段問題等相關(guān)知識點；

第四步：利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析、解答.

解 ∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABF=∠DAE，AD=AB.

∵AE=BF，∴△DEA≌△AFB，

∴∠ADE=∠BAF，

∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，

∴∠ADE+∠DAF=90°，

∴∠DGA=90°，∴點G在以AD為直徑的圓上移動.

點評 根據(jù)SAS可證明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再證明∠DGA=90°，進(jìn)一步可得點G在以AD為直徑的半圓上，且O，G，B三點共線時BG取得最小值.

點評 本題的解題關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識.證明∠AMD=90°，得出點M在以O(shè)點為圓心，AO為半徑的圓上，從而可計算出答案.

3.等弦對等角模型

該模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.常用到結(jié)論：一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差.

解題策略：

第一步：觀察圖形特點，確定定弦和定角；

第二步：根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動點的運(yùn)動軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)圖形（三角形居多）；

第三步：利用四邊形、隱圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識點解題.

點評 本題主要考查圓周角定理、圓的基本性質(zhì)及正方形的性質(zhì).根據(jù)題意得出點E是以AC為直徑的圓上的一個動點，根據(jù)最大的弦是直徑求得AC為CE的最大值，再利用勾股定理可得答案.

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓、特殊角的三角函數(shù)等相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線.先證明∠APB=120°，推出點P的運(yùn)動軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧.再連接CO交☉O于點P′，可知當(dāng)點P運(yùn)動到P′時，CP取到最小值.

結(jié) 語

與圓有關(guān)的最值問題往往涉及動點的軌跡，需要先判定動點的軌跡是否為圓（圓弧），然后利用圓的幾何性質(zhì)及其他幾何知識求解.熟悉圓的以上三種模型及其相關(guān)的平面幾何知識是破解這類最值問題的關(guān)鍵.這類最值問題有一定的難度，主要考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用與邏輯推理能力等，是具有很好區(qū)分度和選拔功能的試題.一線教師在日常教學(xué)或者中考備考復(fù)習(xí)中要重視對這類最值問題的講解、歸納與總結(jié).

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